RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les sollicitations internes CT 57 (année scolaire 2001/2002) RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les sollicitations internes Diagrammes M,N et V JM CHATEL

Résistance des matériaux Plan de la séance 1 - Rappels sur les différents types d ’appuis 2 - Système isostatique,hyperstatique ou hypostatique 3 - Rappels sur la notion d ’isolement d ’un système matériel (principe d ’action-réaction) 4 - Les sollicitations - Notion de coupure - Tracé des diagrammes M,N et V 5 - Exercices

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 1.1 Généralités (1/2)  B’’ - un degré en rotation  A B Dans le plan, le solide (A,B) possède trois degrés de liberté de mouvement : B’ A’ u v - deux degrés en translation u et v

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 1.1 Généralités (2/2) A chaque blocage d’un degré de liberté Génération d ’une force de liaison (inconnue )

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 1.2 L ’appui simple (appui à rouleau) La liaison appui simple bloque 1 degré de liberté y x o Introduction d ’une inconnue Intensité de la réaction verticale Y Y Modélisation :

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 1.3 L ’articulation La liaison rotule bloque 2 degrés de liberté Introduction de deux inconnues Intensité de la réaction verticale Y Intensité de la réaction horizontale X Y X y x o Modélisation : ou

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 1.4 L ’encastrement La liaison encastrement bloque 3 degrés de liberté Introduction de trois inconnues Intensité de la réaction verticale Y Intensité de la réaction horizontale X Intensité du moment empêchant la rotation M Y X M y x o Modélisation : ou

3 degrés de liberté bloqués Libération de la rotation 2 - NOTION DE STRUCTURE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE (1/3) Un système isostatique est un système en équilibre dont la suppression d ’une liaison entraîne la rupture de l ’équilibre. Exemple : F F Rotule Encastrement 3 degrés de liberté bloqués Libération de la rotation Structure stable ISOSTATIQUE Structure instable HYPOSTATIQUE

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 1.5 Notion de structure isostatique ou hyperstatique (2/3) 2 - NOTION DE STRUCTURE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE (2/3) Un système hyperstatique est un système en équilibre dont la suppression d ’une liaison n’entraîne pas la rupture de l ’équilibre. Exemple : F F Rotule Appui simple Encastrement Appui simple 4 degrés de liberté bloqués Libération de la rotation Structure ISOSTATIQUE Structure HYPERSTATIQUE

3 inconnues (les 3 réactions aux appuis) 1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 1.5 Notion de structure isostatique ou hyperstatique (3/3) 2 - NOTION DE STRUCTURE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE (3/3) Remarque : Structure isostatique 3 inconnues (les 3 réactions aux appuis) Les réactions sont calculables directement par simple application du PFS Application du PFS 3 équations

3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL 3.1 - Principe d ’action-réaction (1/3) Soit deux solides (S1) et (S2) jointifs en A soumis respectivement à un système de forces (F) et (F) : A (S2) F F (S1)

3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL 3.1 - Principe d ’action-réaction (2/3) Le seul point de contact entre ces deux solides étant le point A, nous pouvons en conclure, s ’il y a équilibre du système [(S1) + (S2)], que : F (S1) A A (S2) F F 2/1 F 1/2 L ’effort F2/1 exercé par le solide (S2) sur le solide (S1) est égal en intensité mais de sens inverse à celui F1/2 exercé par (S1) sur (S2).

3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL 3.1 - Principe d ’action-réaction (3/3) Remarques : F1/2 et F2/1 sont des efforts internes (ou intérieurs) au système [(S1) + (S2)], ils s ’annulent, F et F sont des efforts externes, F1/2 et F2/1 sont également des efforts extérieurs pour chacun des solides pris séparément.

3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL 3.2 - Exemple (1/3) Étude de l ’équilibre d ’un madrier posé sur deux cales en bois : F A B

3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL 3.2 - Exemple (2/3) Modélisation de l ’action des cales sur la poutre Isolation de la poutre par rapport à son support F RA = F/2 RB = F/2

3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL 3.2 - Exemple (3/3) Modélisation des actions de la poutre sur chaque cale Isolation des cales par rapport à la poutre - RB - RA Principe d ’action-réaction Les actions des cales sur la poutre sont égales en intensité, mais opposées en sens, aux actions de la poutre sur chaque cale

4 - LES SOLLICITATIONS 4.1 - Notion de coupures (1/5) Remarque préliminaire : Le but premier de la RdM étant de dimensionner une structure, il faut connaître, en tout point de celle-ci les efforts qui transitent. Considérons une poutre soumise à un ensemble d ’effort externe : Isolons cette poutre de ses appuis

4 - LES SOLLICITATIONS 4.1 - Notion de coupures (2/5) Redonnons du volume à cet élément composant la structure : x y z

4 - LES SOLLICITATIONS 4.1 - Notion de coupures (3/5) Coupons cette poutre à l ’abscisse (x) et isolons le tronçon de gauche : x y z - des efforts externes appliqués sur le tronçon de gauche conservé G X - des efforts internes (M,N et V) correspondant aux efforts résultants (calculés au CdG de la section considérée) de l ’ensemble des efforts externes agissant sur le tronçon de droite N V M Ce tronçon de poutre est en équilibre sous l ’action :

4 - LES SOLLICITATIONS 4.1 - Notion de coupures (4/5) Coupons cette poutre à l ’abscisse (x) et isolons le tronçon de droite : x y z X G - des efforts internes (M’,N’ et V’) correspondant aux efforts résultants (calculés au CdG de la section considérée) de l ’ensemble des efforts externes agissant sur le tronçon de gauche N’ V’ M’ - des efforts externes appliqués sur le tronçon de droite conservé Ce tronçon de poutre est en équilibre sous l ’action :

4 - LES SOLLICITATIONS 4.1 - Notion de coupures (5/5) V’ M M’ N N’ V X G Principe d ’action - réaction N’ V’ M’ M ’ = - M N ’ = - N V ’ = - V

4 - LES SOLLICITATIONS 4.2 - Tracé du diagramme V(x) (1/3) Exemple : PFS x y M>0 YB YA XA F = 5 kN L = 6 m L/2 XA = 0 kN YA = (F/2) = 2,5 kN YB = (F/2) = 2,5 kN x 0  x < (L/2) (L/2) < x  L V M N Convention de droite : V(x) x + 2,5 kN F L/2 -2,5 kN V(x) = + [ YB - F] = - 2,5 kN V(x) = + [ YB] = + 2,5 kN

4 - LES SOLLICITATIONS 4.2 - Tracé du diagramme V(x) (2/3) Exemple : PFS x y M>0 YB YA XA F = 5 kN L = 6 m L/2 XA = 0 kN YA = (F/2) = 2,5 kN YB = (F/2) = 2,5 kN x 0  x < (L/2) (L/2) < x  L Convention de gauche : X G N’ V’ M’ V(x) x L/2 -2,5 kN + 2,5 kN F V(x) = - [ YA] = - 2,5 kN V(x) = - [ YA - F ] = + 2,5 kN

4 - LES SOLLICITATIONS 4.2 - Tracé du diagramme V(x) (3/3) Remarques : -2,5 kN + 2,5 kN F 1 - Les diagrammes sont identiques avec les deux conventions 2 - Les maximum sont situés, dans ce cas de figure, aux appuis (valeurs absolues des réactions aux appuis déjà calculées). 3 - Le « saut » observé pour l ’abscisse (L/2) correspond en intensité à F

4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (1/2) Exemple : PFS x y M>0 YB YA XA F = 5 kN L = 6 m L/2 XA = 0 kN YA = (F/2) = 2,5 kN YB = (F/2) = 2,5 kN M(x) = + {+[YB(L-x)] -[F((L/2)-x)]} = (F/2).(L-x) - F ((L/2)-x) = -(F/2).x + F.x = (F/2) . x = 2,5.x x 0  x  (L/2) V M N Convention de droite : (L/2)  x  L M(x) = + [ YB. (L-x)] = (F/2).(L-x) = 2,5.(6-x)

4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (2/2) Diagrammes : M(x) x 0  x  (L/2) (L/2)  x  L M(x) = 2,5.(6-x) L/2 + M(x) = 2,5.x L/2 Mmax = 7,5 kN.m Remarques : 1 - En adoptant la convention de « gauche » nous aurions obtenu le même diagramme 2 - Il y a continuité du diagramme au changement d ’équation 3 - L ’abscisse du maximum correspond à l ’abscisse pour laquelle V(x) est nulle

4 - LES SOLLICITATIONS 4.4 - Tracé du diagramme N(x) Exemple : M>0 PFS x y M>0 YB YA XA F = 5 kN L = 6 m L/2 XA = 0 kN YA = (F/2) = 2,5 kN YB = (F/2) = 2,5 kN x 0  x  (L/2) (L/2)  x  L V M N Convention de droite : N(x) = + [0] = 0 kN N(x) = + [ XA ] = 0 kN N(x) x

4 - LES SOLLICITATIONS 4.5 - Points particuliers 4.5.1 - Rotule interne Remarque : Rotule interne dans la structure Une équation suplémentaire M(rotule) = 0 Exemple : L = 2,00 m L/2 F = 8 kN h = 4,00 m A C p = 3 kN /m B 4 inconnues (XA,YA,MA et YC) PFS 3 équations MB = 0 1 équation 4 équations

4 - LES SOLLICITATIONS 4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (3/3) 4 - LES SOLLICITATIONS 4.5 - Cas particuliers 4.5.2 - Effet de la continuité (1/3) Signification « physique » du signe de M(x) : M(x) x p (kN/m) Mmax = (p.L²)/8 L/2 + Poutre isostatique L ? f0 La flèche maximum sera égale à : Le moment ne changeant pas de signe, les fibres de la poutre seront : - comprimées en partie haute de chaque section composant la poutre (la flexion ne se fait que dans un sens), - tendues en partie basse de chaque section composant la poutre. fo = (5.p.L4)/(384.E.I)

Poutre continue à 2 travées 4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (3/3) 4 - LES SOLLICITATIONS 4.5 - Cas particuliers 4.5.2 - Effet de la continuité (2/3) Signification « physique » du signe de M(x) : p (kN/m) Poutre continue à 2 travées L f f = 0,41 fo Mmax = - (p.L²)/8 = - 0,125 p.L² M = 0,07 p.l² + - M(x) x Fibres supérieures tendues Fibres inférieures comprimées Moment négatif

4 - LES SOLLICITATIONS 4 - LES SOLLICITATIONS 4.5 - Cas particuliers 4.5.2 - Effet de la continuité (3/3) 4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (3/3) La prise en compte de la continuité physique entre les tronçons de la poutre est favorable du point de vue du dimensionnement : 1 - Valeur moins importante de M en travée, Gain en matériau 2 - Flèche moins importante en travée.

4 - LES SOLLICITATIONS 4 - LES SOLLICITATIONS 4.6 - Formulaire RdM (1/2) 4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (3/3) A A A Y CA

4 - LES SOLLICITATIONS 4 - LES SOLLICITATIONS 4.6 - Formulaire RdM (2/2) 4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (3/3) Y A C A Y A C Y A C

4 - LES SOLLICITATIONS 4 - LES SOLLICITATIONS 4.7 - Relations entre N, M et V 4 - LES SOLLICITATIONS 4.3 - Tracé du diagramme M(x) (3/3) Ces relations permettent de déterminer plus rapidement l ’expression de V(x) sans avoir à écrire les équations d ’équilibre. dx x y qx qy -V -N -M M+dM V+dV N+dM V(x) = - dM(x)/dx qy(x) = dV(x)/dx qx(x) = dN(x)/dx

5 - EXERCICES 1- Déterminer les réactions aux appuis p = 2 kN /m L/2 L/4 L = 6,00 m F = 10 kN B 1- Déterminer les réactions aux appuis 2- Tracer les diagrammes M,N et V