Chapitre II : Les outils Mathématiques et le formalisme de la Mécanique Quantique. II-1) Les postulats de la Mécanique Quantique. 1-1) Le premier postulat. A un instant t0 fixé, l’état d’un système physique est défini par la donnée d’un ket appartenant à l’espace des états E. L’espace des états à une structure d’espace vectoriel Hilbertien. (On verra ce que cela implique) . Le fait d’appeler les vecteurs d’états « ket » (en Français on devrait dire « chet ») a été introduit par P. Dirac. Cette notation simplifie considérablement le formalisme de la Mécanique Quantique. Remarque : Jusqu’à nouvel ordre, nous omettrons la dépendance en temps d’un vecteur d’état. On retrouvera cette dépendance lorsque l’on étudiera le sixième Postulat.

1-1-a) La structure de l’Espace vectoriel des états.  L’espace des états est linéaire sont deux vecteurs d’état pouvant représenter le système, ceci implique que tout combinaison linéaire de ces deux kets est encore un vecteur d’état du système.  On doit pouvoir définir la norme d’un ket. Ce problème est délicat car il nous faut définir un produit scalaire, car par définition, la norme d’un vecteur est le produit scalaire de ce vecteur par lui-même. Cette norme est nécessairement réelle. Dans l’espace Hilbertien, il faut nécessairement définir un espace dual de E que l’on note E* dans lequel les vecteurs s’appellent les « bras » (en français on dirait les « crocs ») . On note ces bras de la façon suivante : Le carré de la norme d’un ket est défini par :

1-1-b) Le produit scalaire. On vient du « même coup » de définir le produit scalaire. Celui-ci est défini par le produit d’un bra par un ket (un braket en anglais, en français un crochet). Les règles de constitution de ce produit scalaire doivent être comprises : Le produit scalaire du ket par le ket est donné par le produit du bra par le ket que l’on note : Le produit scalaire du ket par le ket est donné par le produit du bra par le ket que l’on note : On constate que : , ceci nous permet pour la première fois de définir la conjugaison hermitique notée (*) : Le conjugué hermitique d’un nombre est, tout simplement, son complexe conjugué. Le conjugué hermitique d’un ket est un bra : Le conjugué hermitique d’un bra est un ket: Dans les expressions de la mécanique quantique, et lors d’une conjugaison hermitique : Les kets prennent la place des bras , les bras prennent la place des kets.

Ainsi :  Exemples de calculs de produits scalaires : Soit à calculer : , où Propriété très importante : La norme d’un ket est nécessairement réelle : Si la norme d’un ket est nulle ceci signifie que est le ket du vide, le ket zéro :

1-1-c) Les bases de l’Espace des Etats E . Un ket, représentant l’état d’un système physique, a une existence propre. Cependant, pour faire des calculs il est nécessaire de le représenter dans une base. Autrement dit, on doit définir ses coordonnées c’est-à-dire ses composantes. Rappel :Vous êtes tous habitués à faire ceci pour l’espace vectoriel Dans cet espace à 3 dimensions, nous définissons 3 vecteurs de base tel que :

Globalement nous allons retrouver ces propriétés dans l’espace des états E à N dimensions de la Mécanique Quantique . On peut cependant définir deux types de bases : ) Bases discrètes. Ces bases sont formées de N vecteurs orthonornés. Ces relations simples nous permettent de définir une relation importante : La relation de Fermeture définissant une base.

Opérateur Unité. ) Bases continues. Pour les besoins de la Physique, il est indispensable de définir des bases continues : On remplace les sommes sur les indices discrets (i) par des intégrales sur une variable continue que l’on appelle 

On peut également définir une Relation de Fermeture :

1-1-d) La représentation des kets et des bras . Là encore, on retrouve des notions connues :

On retrouve également :

1-2) Le Second Postulat. Toute Grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur  agissant dans E ; cet opérateur est une observable. 2-1) Définition de l’action d’un opérateur dans E. De façon générale, on définit l’action d’un opérateur, noté Â, par son action sur un ket quelconque appartenant à E. On se restreint toujours à ne considérer que l’action d’opérateur linéaire défini par :

2-2) Commutativité des opérateurs. En règle générale, l’action d’un produit d’opérateur définit par n’est pas commutatif. Ceci signifie concrètement que : , on dira que les deux opérateurs ne commutent pas. La condition de commutation implique que nous ayons : , ce commutateur est lui-même un opérateur.

2-3) La définition de l’adjoint d’un opérateur linéaire  agissant dans E. Etant donnée la structure Hilbertienne de l’espace des états, il est indispensable de pouvoir définir l’action de « Â » dans l’espace dual E*, c’est-à-dire l’action d’opérateurs sur des bras. Ceci se fait grâce à la définition suivante : Â+ est l’opérateur adjoint de Â, c’est l’opérateur conjugué hermitique de Â. Lorsque Â+ est identique à Â, on dira que l’opérateur  est un opérateur hérmitique Ces opérateurs jouent un rôle absolument primordial dans le formalisme de la Mécanique Quantique. Ce sont ces opérateurs qui vont fournir les observables décrivant les grandeurs physiques mesurables d’un système physique quel qu’il soit. Nous allons maintenant établir quelques propriétés très importantes de tels opérateurs.

 Si Â=Â+, on a :  Considérons le produit d’opérateur suivant : Nous obtenons : Deux conditions doivent donc être remplies : - Les deux opérateurs doivent être hermitiques : - Les deux opérateurs doivent commuter : Conclusion très importante : Le produit de deux opérateurs hermitiques n’est hermitique que si ils commutent. Conséquence : Deux grandeurs physiques mesurables associées à des opérateurs qui ne commutent pas ne pourront jamais être déterminées simultanément.

2-4) La représentation des Opérateurs de la Mécanique Quantique. Nous avons vu comment représenter les kets et les bras de l’espace des états, en utilisant des bases discrètes ou continues. Il est facile donc de voir que pour représenter un opérateur  quelconque, agissant dans E, il suffit de représenter le ket : Soit : Mais chacun des nombres, peuvent être exprimés comme :

Finalement : En conclusion, dans une base donnée : , un opérateur sera représenté par une matrice NxN , dont les éléments de matrice s’écrivent : Les matrices NxN représentant les opérateurs hermitiques ont des caractéristiques qu’il est indispensable de connaître.

Si  est un opérateur hermitique nous avons :  Si un opérateur est hermitique, la matrice le représentant présente des éléments symétriques par rapport à la diagonale qui sont complexes conjugués les uns des autres.  De même sur la diagonale les éléments de matrice sont nécessairement réels. 2-5) Les règles de conjugaison hermitique( notée: *). Les règles sont simples :

A cela, il convient d’ajouter la remarque suivante : Dans une expression de la mécanique quantique, la conjugaison hermitique change l’ordre des kets et des bras : les kets prennent la place des bras et les bras prennent la place des kets. La place des nombres n’a aucune importance (en accord cependant avec l’arithmétique élémentaire!) Considérons un exemple général, soit à écrire le conjugué hermitique de l’expression suivante : Donc il nous faut calculer :

2-6) Des opérateurs très particuliers : Les projecteurs. En notation de Dirac, le produit scalaire est représenté comme le produit d’un bra et d’un ket., soit , c’est un nombre. On peut s’interroger sur la signification physique du produit d’un ket par un bra, tel: Cette expression est nécessairement un opérateur linéaire agissant dans E. En effet faisons « agir » cette expression sur un ket quelconque appartenant à E. Cet opérateur n’est cependant pas hermitique car : Il existe une exception. Soit l’opérateur : On a projeté le ket ‘’ sur le ket ‘’ On retrouve la propriété des projecteurs :

1-3) Le troisième Postulat La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable correspondante. 3-1) Valeurs Propres et Vecteurs Propres d’un opérateur De façon plus générale cette équation aux valeurs propres s’écrit : Ici k=1,…………p (Nb de valeurs propres différentes  =1…………….gk est la dégénérescence de la valeur propre k

3-2) Propriétés importantes des vecteurs propres d’un opérateur. Considérons le ket suivant : S’écrivant : , combinaison linéaire de deux vecteurs propres d’un même opérateur La question est la suivante : le ket est-il vecteur propre de ? La réponse est Non sauf si k=k’

Le résultat précédent a des conséquences importantes en Mécanique Quantique. En effet, nous pouvons construire un ket en effectuant une superposition linéaire de tous les gk kets associés à la même valeur propre k. Démontrons qu’un tel état reste vecteur propre de l’opérateur On considère Ce ket appartient au sous-espace associée à la valeur propre k de dimension gk Il est encore vecteur propre de l’opérateur  avec la même valeur propre k , en effet :

Une conséquence importante est la suivante : L’ensemble des vecteurs propres associés à la même valeur propre, d’un opérateur  quelconque, forment une base possible du sous-espace vectoriel Ek de dimension gk associée à cette valeur propre k Mathématiquement, nous traduirons cette conséquence par : On peut démontrer assez simplement (voir polycopié) que cette propriété se généralise à tout l’espace des états E dans le cas d’une observable Les vecteurs propres d’une observable doivent pouvoir former une base possible de l’espace des états E. Définition d’une observable.

3-3) Etude du cas spécifique des opérateurs hermitiques.  Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont nécessairement réelles.  Le nombre de vecteurs propres d’un opérateur hermitique est nécessairement identique à la dimension de l’espace des états.. Vous devez retenir que deux vecteurs propres quelconques d’une observable sont nécessairement orthogonaux :

3-4) Matrice représentant une observable dans la base formée par ses vecteurs propres . Si nous utilisons la base formée par les vecteurs propres d’une observable, Il est très facile de mettre en évidence un résultat tout à fait primordial. Il suffit pour cela de calculer les éléments de matrice de cette observable Â. La matrice représentant une observable est diagonale dans la base formée par ses vecteurs propres.

3-5) Méthodes de Recherche des Valeurs Propres et Vecteurs Propres d’une observable. Supposons que l’on utilise une base quelconque (mais discrète) de l’espace des états. Soit cette base. Dans cette base les éléments de matrice de l’observable  s’écrivent : Les équations aux valeurs propres de  s’écrivent : Nous utilisons la relation de Fermeture

Nous aurons donc à résoudre toujours un système de N équation à N inconnues. Les solutions générales sont donc les solutions données par : 1-4) Le Quatrième Postulat. Nous devons envisager plusieurs situations : a) Cas où le spectre des valeurs propres est discret et non- dégénéré Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état  normé, la probabilité P(ln) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre non-dégénérée ln de l’observable  correspondante est : où un est le vecteur propre normé de  associé à la valeur propre ln.

-b) Cas où le spectre des valeurs propres est discret et dégénéré. Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état  normé, la probabilité P(ln) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre dégénérée ln de l’observable  correspondante est : où gn est le degré de dégénérescence de la valeur propre ln et l’ensemble des kets u na forme une base orthonormée du sous-espace propre Eln , associé à la valeur propre ln. -c) Cas où le spectre des valeurs propres est continu et non- dégénéré. Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état  normé, la probabilité dP(l) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre comprise entre l et l+dl s’écrit : où vl est le vecteur propre correspondant à la valeur Propre l de l’observable  associée à A

1-5) Le Cinquième Postulat (dit de réduction du paquet d’ondes) Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l’état  a donné le résultat ln, l’état du système immédiatement après la mesure est la projection normée : Sur le sous-espace associé à ln et où : On peut écrire :

1-6) Le sixième Postulat. L’évolution dans le temps d’un vecteur d’état (t) est donnée par l’équation de Schrödinger : Où est l’observable associée à l’énergie totale du système. Les conséquences de ce postulat sont très importantes pour la suite. a) Conservation de la norme d’un ket.

b) Le Théorème d’Ehrenfest. On considère la valeur moyenne, dans le temps, d’une observable  qui ne dépend pas explicitement du temps. Calculons :

Ainsi, lorsqu’une observable  commute avec l’observable hamiltonienne du système, on dira que  représente une grandeur A qui est une constante du mouvement. Les vecteurs propres d’une observable associée à une constant du mouvement sont eux-mêmes indépendants du temps. Ainsi, si on considère un système physique isolé dont l’énergie est nécessairement constante, les vecteurs propres de l’hamiltonien du système sont indépendants du temps : ce sont des états stationnaires. Ces états propres doivent continuer à pouvoir fournir une base de l’espace des états. Au temps t=0, on a par exemple. Supposons qu’au temps t=0, on rajoute de l’énergie au système? On va garder les vecteurs propres précédents comme base!

Si au temps t=0, le système se trouve dans un des états alors : Il restera dans cet état quelque soit le temps.

II-2 : Les Ensembles Complets d’Observables qui Commutent. (E.C.O.C.) 2-1) Théorèmes généraux sur les opérateurs et observables qui communtent. Si deux observables commutent, on peut toujours constituer une nouvelle base orthonormée de l’espace des états en utilisant l’ensemble des vecteurs propres commun à . 2-2) La définition d’un ECOC. On dira qu’un ensemble d’observables qui commutent est complet dès l’instant où l’ensemble des valeurs propres associées à un vecteur propre commun permet d’identifier ce vecteur propre de façon unique. On voit que l’on peut identifier un vecteur propre par sa valeur propre : On dira, dans ce cas particulier que l’observable forme un ECOC à elle toute seule.

Dans le cas général, il nous faudra un certain nombre d’observables pour obtenir ce résultat. Soit un vecteur propre commun à l’ensemble des observables qui commutent. Etc…….. Lorsque l’ensemble d’observables est commun, ceci signifie donc que :

Il est important de comprendre qu’un problème de Mécanique Quantique sera « très facile » à résoudre dès l’instant où l’ECOC sera connu. En effet, il sera possible de prévoir très vite les résultats des mesures des grandeurs physiques associées aux observables qui commutent. Il existe un ECOC spécialement important, c’est celui qui contient l’observable Hamiltonienne : dans ce cas, toutes les observables de cet ECOC sont les constantes du mouvement : Les résultats des mesures sont indépendantes du temps.

II-3. Les relations de commutation canoniques. 3-1) Position du problème. Il existe des grandeurs physiques simples d’un système physique. Parmi elles, on peut citer la position d’une particule et son impulsion. A l’évidence des observables vectorielles doivent être associées à ces deux grandeurs physiques mesurables. Les vecteurs propres de ces deux observables doivent donc pouvoir fournir des bases de l’espace des états E.

Nous devons donc avoir : Le problème est que nous ne connaissons pas les kets D’ailleurs ces kets n’appartiennent pas à E mais ils existent 3-2) Les bases . On devrait écrire : Mais,

En conséquence, nous pouvons écrire : Nous obtenons des relations similaires pour l’impulsion

Les kets doivent former des bases de l’espace des états. 3-3) La signification physique des kets Ecrivons que : On pose :

3-4) Les représentations des observables. Nous allons d’abord nous poser une question. Quelle peut-être la signification physique de : Simple…….. Calculons maintenant simple compliqué compliqué simple

La démonstration exacte se trouve dans le polycopié. Nous admettrons Ici que : De façon générale : De même :

3-5) Les relations de commutation canoniques. Nous allons maintenant calculer le commutateur suivant :

On démontre sans aucune difficulté que :

On peut résumer ces relations de commutation dites canoniques par la seule relation suivante : Voilà l’origine des relations d’incertitude d’Heisenberg……….et l’explication du fait Qu’une onde semple être associée à une particule!

II-4 : Les produits tensoriel d’Espace. Supposons qu’un système physique n°1 soit associé à un espace des états que nous notons : E1 de dimension N1, de même un système physique n°2 est associé à un espace E2 de dimension N2. Si on considère maintenant la réunion physique des deux systèmes physiques 1 et 2, on constitue un nouvel espace des états : Où : Les propriétés du produit tensoriel sont simples : - - -

- Action des opérateurs dans le produit tensoriel d’espace Conséquence importante : -