Cela signifie encore que n divise toute expression de la forme ka + k’b où k et k’ sont des entiers. Exemple: 7 divise 14 et 21 donc il divise ,par exemple , 3×14+6×21=168.

Exercices Quel est le nombre de diviseurs positifs de 2880 ? Ecrire l’ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6. Déterminer les entiers relatifs n tels que n-4 divise 6. Déterminer les entiers relatifs n tels que n-4 divise n+2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n+1 divise 3n-4.

Exercice Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ? Réponse: On a 320=𝑞×𝑏+39 c’est-à-dire 𝑞×𝑏=320−39=281. Cherchons les diviseurs de 281: 1 et 281. Ce sont les seules valeurs possibles de q et b.

Exercices Exercice 1: Les nombres suivants sont ils premiers ? 714 ; 1021 ; 753 ; 1 ; 10 729

Exercice 2 :VRAI ou FAUX – Justifier la réponse. 119 est un nombre premier. Le produit de deux nombres premiers est un nombre premier. La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.

a) 119 est un nombre premier. FAUX

Justifications 119 = 17 × 7. L’ensemble des diviseurs dans IN de 119 est donc { 1 , 7 , 17 , 119} donc 119 n’est pas premier.

b) Le produit de deux nombres premiers est un nombre premier. FAUX

Justifications Soient n et m deux nombres premiers. L’ensemble des diviseurs dans IN de m × n est donc { 1 , n , m , m × n } donc m × n n’est pas premier.

c) La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. FAUX

3 et 7 sont premiers cependant leur somme 10 ne l’est pas. Justifications 3 et 7 sont premiers cependant leur somme 10 ne l’est pas.

VRAI ou FAUX 4347 est divisible par 3 et par 9. Si un nombre est divisible par 3 et par 9, alors il est divisible par 27.

4347 est divisible par 3 et par 9. VRAI

Justifications Critère de divisibilité par 3 (par 9): un nombre est divisible par 3 (par 9) si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 3 (par 9).

7422 est divisible par 2 et par 3. VRAI

Justifications 7422 est un nombre pair donc divisible par 2 de plus 7 + 4 + 2 + 2 = 15, la somme des chiffres est divisible par 3 donc 7422 est divisible par 3. Conclusion 7422 est divisible par 2 et par 3.

3) 789100 est divisible par 100 et par 9. FAUX

Justifications 789100 = 7891 × 100 donc il est divisible par 100 mais pas par 9 car la somme des chiffres vaut 25 et n’est pas divisible par 9.

4) Si un nombre est divisible par 3 et par 9, alors il est divisible par 27. FAUX

Justifications Un contre exemple: 18 est divisible par 3 et par 9 mais n’est pas divisible par 27.

Exercice Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants: 37 ; 46 ; 1258 ; 8451 ; 14765

d. Nombre des diviseurs d’un entier naturel Si N a pour décomposition en produit de facteurs premiers: 𝑁= 𝑎 𝑛 × 𝑏 𝑚 × 𝑐 𝑝 Alors N possède 𝑛+1 𝑚+1 𝑝+1 diviseurs.

Exemples 26=2×13= 2 1 × 13 1 donc 26 admet 1+1 1+1 = 4 diviseurs positifs. 60= 2 2 ×3×5= 2 2 × 3 1 × 5 1 donc 60 admet 2+1 1+1 1+1 = 12 diviseurs positifs.

Exercice Combien les nombres suivants admettent-ils de diviseurs ? 57 ; 158 ; 1024

En cherchant les listes de diviseurs. Pour 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60. Pour 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Donc, le pgcd de 60 et 32 est 4.

Avec la décomposition en produit de facteurs premiers. 1500= 2 2 ×3× 5 3 8750=2× 5 4 ×7 On prend tous les facteurs communs avec leur plus petit exposant: Le pgdc de 1500 et 8750 est donc 2× 5 3 =250 ppmc(a,b)×250=1500×8750 donc ppmc(a,b) = 52500 Formule: ppmc(a,b)×pgdc(a,b) =a×b

Avec l’algorithme d’Euclide On effectue une suite de divisions euclidiennes. Par exemple pour 120 et 35: 120=35×3+15 35=15×2+5 15=5×3+0 Le dernier reste non nul, ici 5, fournit le pgdc. Cette méthode se programme bien et est souvent la plus rapide.

Exercices Calculer le pgdc et le ppmc en utilisant la décomposition en produits de facteurs premiers d’une part et l’algorithme d’Euclide d’autre part. 1800 et 580 57 et 94 15821 et 1587