Suites numériques Définitions

On note un le terme de rang n de la suite. Exemple 1 : n (1/2)n 1 0.5 2 0.25 3 0.125 4 0.0625 5 0.03125 … On note un le terme de rang n de la suite. n ein(pi/2) 1 i 2 -1 3 -i 4 5 … Exemple 2 :

Exemple : Pour tout n supérieur à 0: Si on connaît le terme de rang n en fonction de ses précédents, on dit que la suite est définie par récurrence. Exemple : Pour tout n supérieur à 0: n un 1 2 3 4 5 8 … 89

Un tableur donne les premières valeurs : On a donc intérêt à passer des suites définies par récurrence aux suites définies explicitement en fonction de n. Exemple : Pour n > 0 : n un 1 1.5 2 1.75 3 1.875 4 1.9375 5 1.96875 Un tableur donne les premières valeurs : Ce qui est identique au début à : Pour tout n, n 2-(0.5)n 1 1.5 2 1.75 3 1.875 4 1.9375 5 1.96875

Nous faisons alors une démonstration par récurrence : La méthode : J’initialise la propriété (1er rang de la suite). Je prouve que, si la propriété est vraie au rang p alors elle est vraie au rang suivant (p + 1). Elle sera vraie une fois (père), la partie 2 dit alors qu’elle est vraie au rang suivant (fils). Ce fils sert de père vrai qui fournit un fils vrai qui devient un ….

Exemple : est la même suite que : pour tout n, 1. J’initialise : C’est vérifié puisque c’est donné par le texte. 2. Je dis que la propriété est vraie au rang p : c’est-à-dire Calculons up+1 avec la formule de récurrence… la propriété est vraie au rang p+1 … 1 et 2 sont vérifiés : (YOUPI !!!), la propriété est vraie pour tout n.

majorées, minorées, bornées Suites numériques majorées, minorées, bornées

Une suite majorée et minorée est bornée. Exemple : la suite est majorée par 1 et minorée par 0 Exemple : la suite est majorée par …et minorée par….

Suites numériques Sens de variation

a) , la suite est croissante Si pour tout n, a) , la suite est croissante b) , la suite est décroissante, Lorsque l’inégalité est stricte : < , on dit strictement croissante ( > : strict. décroissante). Quand une suite est uniquement croissante ou uniquement décroissante, on dit qu’elle est monotone. Remarque : si la suite est à termes strictement positifs, la suite est croissante si : Preuve : si , on multiplie par un de part et d’autre de l’inégalité et on conserve l’ordre car … (en barre??)

Suites numériques Convergence

La suite (un) converge (est convergente) si elle admet une limite finie quand n tend vers + Exemple : La suite converge vers 0 car … Dans le cas contraire, on dit que la suite diverge.

Quelques théorèmes : Théorème 1: Une suite croissante majorée est convergente. Une suite décroissante minorée est convergente Une suite décroissante est convergente Théorème 2 (des gendarmes): Si à partir du rang N, la suite est encadrée par deux suites convergentes vers la même limite alors la suite converge vers la limite commune. Pour tout n >N,

Théorème 3 : Une suite convergente est bornée. Attention : Pas la réciproque ! Preuve : au début, il n’y a que quelques valeurs forcément bornées, et à partir d’un certain rang N les termes sont proches de la limite donc bornés. Théorème 4 : Si à partir d’un rang N, la suite est minorée par une suite qui tend vers , alors la suite tend aussi vers

Suites numériques Echantillonage

Une suite définie explicitement (le rang n est connu en fonction de n) : un = u(n), est un échantillonnage (discrétisation) de la fonction u. Exemple : fournit : n un 2 1 1,5 3 0,5 4 5 -0,5 6 -1 7 -1,5 8 -2 9 -2,5 10 -3

Remarque : Certaines suites ne peuvent s’écrire d’aucune des deux manières présentées ici. Exemple : la suite des décimales du nombre . 3,14159265358979…

Suites numériques Les suites classiques

r est la raison de la suite. Suites arithmétiques Une suite (un ) est arithmétique lorsqu’il existe un réel r, tel que : un+1 = un + r . r est la raison de la suite. Remarque : Pour prouver qu’une suite est arithmétique il suffit de faire la différence : un+1 - un . Quand une suite est arithmétique, on démontre que , pour tout n et p : un = up + (n – p)r. Preuve : On utilise la règle des dominos ou une récurrence (fixer p) et faire varier n.

Une suite arithmétique de raison r non nulle a toujours une limite infinie. Si une suite (un) est arithmétique , la somme de ses termes est donnée par la formule :

Suites géométriques Une suite (un ) est géométrique si, il existe un réel q non nul et différent de 1, tel que : un+1 =qun q est la raison de la suite. Pour prouver qu’une suite est géométrique il suffit de calculer : si on a prouvé que un n’est jamais nul Quand une suite est géométrique, on démontre que , pour tout n et p : un = up q(n – p). Preuve : comme pour les arithmétiques. (Ici on la fera par récurrence)

(un) est une suite géométrique de raison q > 1 0 < q <1 -1 < q < 0

Si une suite (un) est géométrique, la somme de ses termes est donnée par la formule : C’est-à-dire : Notation : se note :

Exemple : Pour n > 0 : , et ; Montrez que (vn) est géométrique de raison 0,5. Exprimer vn, puis un en fonction de n.

Equations aux différences Suites numériques Equations aux différences

Ce sont des suites du type : Équation du premier ordre : Équation du deuxième ordre : Elles se résolvent comme les équations différentielles, en deux étapes. Sans second membre Recherche d’une solution particulière de l’équation complète Addition des deux pour une solution générale de l’équation complète puis calcul des constantes en faisant intervenir les conditions initiales.

On peut retenir : Équation du second ordre ssm. Équation caractéristique : A et B sont deux constantes réelles. Équation du premier ordre ssm. (un) est géométrique de raison (-b) A est une constante réelle.