Triangulation de Delaunay Mastère photogrammétrie, positionnement, mesures de déformation Triangulation de Delaunay Yves EGELS

Triangulation de Delaunay Les MNT grille ont une topologie très simple : La gestion informatique est élémentaire : tableau bidimensionnel d ’altitudes Mais la taille de la maille doit être proportionnelle à la plus grande fréquence spatiale représentée On peut implémenter des grilles à pas variable (Quadtree par exemple) Charles Eugène Delaunay 1816-1872

Triangulation de Delaunay Une autre solution : joindre les points de mesure par des triangles Une triangulation simple et unique : Delaunay/Voronoï

Triangulation de Delaunay Propriété caractéristique : aucun sommet n ’est intérieur aux cercles circonscrits aux triangles de Delaunay O appartient à 3 cellules de Voronoï ses 3 plus proches voisins sont A,B C. Donc D est plus éloigné, donc hors du cercle circonscrit A B C O A B C D D Conséquence : la somme des angles opposés à une arête de Delaunay est inférieure à  : AD convient, BC non (B+C < ), soit

Triangulation de Delaunay Toutes les triangulations complètes comprennent le même nombre de triangles : 2n-2-k triangles, 3n-3-k arêtes, n : nb de points; k : nb de sommets de l’enveloppe convexe. Très nombreux algorithmes de génération, de complexité très variable

Triangulation de Delaunay Un exemple : addition récursive [en O(n*ln(n))] Trier les sommets suivant une coordonnée (tout sommet est alors extérieur à l ’enveloppe convexe des précédents) Relier un sommet aux précédents sommets de l ’EC visibles Tester récursivement la contrainte angulaire sur les triangles formés, inverser les quadrilatères mal conformés

Triangulation de Delaunay Usage : trouver en tout point la valeur d ’une fonction connue sur des points isolés : MNT construit sur des point cotés par exemple Il est indispensable de gérer une topologie pour éviter de balayer tous les triangles 1 : A,B,C,2,-,- 2 : B,C,D,4,3,1 3 : B,D,F,5,-,2 4 : D,E,F,-,3,4 5 : C,D,E,5,-,2 Pour chaque triangle: les 3 sommets les 3 triangles opposés au sommet correspondant A B C D E F 1 2 3 4 5 M Pour aller de A à M, on est à l ’intérieur de l ’angle A, donc on sort dans le triangle 2. On coupe le coté CD, opposé à B, on passe au triangle 4, on coupe DE opposé à C, on passe à 5, arrivé!

Triangulation de Delaunay Saisie d ’un MNT pour triangulation : Lignes caractéristiques : crêtes, talwegs, haut et bas de talus Importer les objets au sol : routes, limites de culture… Applications cartographiques Orthophoto par facettes modèles de surface très irréguliers (MNE) réalité virtuelle Semis de points au scanner laser Ces triangulations sont 2,5D. En 3D complet (architecture…) il n ’est pas simple de reconstruire la surface sans information complémentaire. La densité des points doit être proportionnelle à la courbure de la surface (théorème de la croûte)

Triangulation de Delaunay Pour représenter la surface topographique, cette triangulation est insuffisante: il faut tenir compte de lignes contenues dans la surface (lignes de contrainte)

Triangulation de Delaunay Objet VRML : IndexedFaceSet IndexedFaceSet { coord Coordinate { point [ 1 0 -1, -1 0 -1, -1 0 1, 1 0 1, 0 2 0 ] } coordIndex [ 0 4 3 -1 # face A, right 1 4 0 -1 # face B, back 2 4 1 -1 # face C, left 3 4 2 -1 # face D, front 0 3 2 1 ] # face E, bottom

Triangulation de Delaunay OpenGL : pas de support direct On peut générer une liste de triangles, mais les sommets sont redondants La triangulation doit être décomposée en objets plus simples: Hélice : 1,2,3 1,3,4 1,4,5 1,5,6 . . . N+2 sommets décrivent N triangles Bande de triangles : 1,2,3 3,2,4 3,4,5 5,4,6 . . . Mais les algos de découpe automatique sont np-complets…