Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté

Plan de la leçon : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté Equations du mouvement Equation caractéristique et solutions Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration Système de torsion à deux degrés de liberté Termes de couplage et coordonnées principales

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équations du mouvement Energies cinétique et potentielle et Lagrangien les équations de Lagrange s’écrivent : Ce qui nous donnent les équations du mouvement.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique Les équations du mouvement sont : Supposons que m1 et m2 peuvent osciller avec la même pulsation et la même phase mais avec des amplitudes différentes : Une substitution dans les équations du mouvement donne :

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite) Pour une solution non triviale de X1 et de X2, le déterminant suivant des coefficients de X1 et de X2 doit être égal à zéro : qui donne l’équation caractéristique :

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite) Les pulsations propres, fréquences naturelles ou valeurs caractéristiques du système s’écrivent : Ces solutions 1 et 2 montrent qu’il est possible que le système ait comme mouvement les équations de x1(t) et de x2(t) avec la même pulsation, la même phase mais avec des amplitudes différentes.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite) Il y’aura deux groupes de valeurs (X1, X2), un correspondant à 1 que l’on notera (X1(1), X2(1)), et l’autre correspondant à 2 que l’on notera (X1(2), X2(2)). Puisque les équations qui donnent X1 et X2 sont homogènes, nous ne pouvons déterminer que les rapports :

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite) Les vecteurs propres ou directions propres correspondant aux valeurs propres 1 et 2 peuvent s’écrire Ces vecteurs dénotent les modes normaux des vibrations.

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration Le système aura deux modes de vibration que l’on écrira : où les constantes X1(1), X1(2), 1 et 2 sont déterminées par les conditions initiales.

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite) Chaque équation du mouvement de chacune des masses demande deux conditions initiales. Le système peut être excité pour vibrer dans son ième mode (i=1,2) c’est à dire à la pulsation i , il suffit de prendre : Pour d’autres conditions initiales générales, les deux modes seront excités. Le mouvement résultant est obtenu en superposant les deux modes normaux :

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite) Ce qui veut dire que le mouvement général s’écrit : Si les conditions initiales sont données par : Les constantes X1(1), X1(2), 1 et 2 peut être trouvées en résolvant les quatre équations algébriques suivantes :

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite) Il est plus facile de calculer d’abord les valeurs X1(1) cos 1, X1(2) cos 2, X1(1) sin1, X1(2) sin2 que l’on écrit

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite) A partir desquels on obtient les solutions :

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (1) Enoncé : Trouver les fréquences naturelles et les modes de vibration du système masse-ressort de la figure qui est contraint de se déplacer dans la direction verticale. Prenez n=1 Solution : Si on mesure x1 et x2 des positions d’équilibre statique, les équations que nous venons de développer sont valables avec m1=m2=m, k1=k2=k3=k, on trouve les équations de mouvement suivantes :

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (2) On supposera une solution harmonique de la forme : En substituant dans les équations du mouvement, on obtient l’équation des fréquences :

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (3) Les fréquences naturelles du système sont : Les rapports d’amplitude sont donnés par :

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (4) Les modes naturels de vibration sont donnés par :

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (5) Quand les masses vibrent dans le premier mode, les amplitudes des deux masses restent les mêmes, ce qui implique que la longueur du ressort du milieu reste la même et les deux masses sont en phase. Quand les masses vibrent dans le deuxième mode, leurs déplacements ont la même amplitude mais sont en opposition de phase. Dans ce cas, le centre du ressort central reste stationnaire quelque soit t. un tel point est appelé un nœud. En général, le mouvement du système s’écrit :

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (6) Les deux modes de vibrations

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique Enoncé : Trouver les conditions initiales que l’on doit appliquer au système précédent pour le faire vibrer dans son (a) premier mode, (b) deuxième mode : Nous avons vu que pour des conditions initiales arbitraires, le mouvement des masses est décrit : où nous avons trouvé que : Dans notre cas, r1=1 et r2=-1, les équations se réduisent à :

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique Les constantes X1(1), X1(2), 1 et 2 d’intégration qui sont déterminées à partir des conditions initiales s’écrivent pour r1=1 et r2=-1 :

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique (3) (a) Le premier mode normal du système est donné par : En comparant avec les équations du mouvement du système trouvées dans l’exercice précédent, on voit que cela est possible si X1(2)=0. Ce qui donne d’après l’équation de X1(2) en fonction des conditions initiales :

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique (4) (b) Le deuxième mode normal du système est donné par : En comparant avec les équations du mouvement du système trouvées dans l’exercice précédent, on voit que cela est possible si X1(1)=0. Ceci implique que :

Systèmes de torsion à deux degrés de liberté Système de torsion composé de deux disques montés sur une barre. Les disques ont les moments d’inerties J1 et J2 et les degrés de liberté de rotation θ1 et θ2. Les trois segments de l’arbre ont les constantes de torsion kt1 , kt2, kt3

Systèmes de torsion à deux degrés de liberté(2) Les énergies cinétiques et potentielles s’écrivent : L’application de l’équation de Lagrange donne :

Exemple 3 : Fréquences naturelles d’un système de torsion Enoncé : trouver les fréquences naturelles et les modes de vibration du système de torsion de la figure avec J1=J0, J2=2J0 et kt1=kt2=kt Solution : Les équations du mouvement de réduisent à :

Exemple 3 : Fréquences naturelles d’un système de torsion (suite) En substituant la solution harmonique : On trouve l’équation des fréquences, après des arrangements simples : la solution de l’équation donne les fréquences propres : Les rapports d’amplitude sont données par :

Termes de couplages et coordonnées principales Les équations différentielles d’un système à deux ou plusieurs degrés de liberté sont en général couplées. Dans le cas des équations que nous avons vu, la première contient un terme en x2, et la seconde un terme en x1. Ces termes sont appelés termes de couplage ou termes rectangles. Le mouvement général du système a est donné précédemment dans des équations donnant x1(t) et x2(t) avec les constantes obtenues à partir des conditions initiales. Par exemple, nous avons vu que pour le système horizontale de trois ressorts et deux masses : Ces équations nous permettent d’écrire : où

Termes de couplages et coordonnées principales (suite) Ces nouvelles coordonnées q1(t) et q2(t) sont des fonctions harmoniques qui satisfont donc les équations du mouvement suivantes : Ces équations représentent le même système à deux degrés de liberté mais sans les termes de couplage. Ces nouvelles coordonnées sont appelées les coordonnées principales du système. Les équations de x1(t) et x2(t) nous permettent d’écrire :

Termes de couplages et coordonnées principales (suite) Les équations différentielles du mouvement écrites sous forme matricielle montrent le type de couplage présent dans le choix des cordonnées. Un couplage existe si une ou plus des matrices masse, amortisseur et raideur possèdent un terme non diagonal. Le système vibre suivant sa nature sans relation avec les coordonnées utilisées. Il est toujours possible de choisir un système de coordonnées (q1(t), q2(t)) qui donne des équations de mouvement sans couplage.

Exemples 4 : Coordonnées principales d’un système masse ressort Enoncé : déterminer les coordonnées principales du système de la figure qui comprend deux masses et trois ressorts. Solution : le mouvement général du système est donné par : où B1=X1(1), B2=X1(2), 1 et 2 sont des constantes. On définit les nouvelles coordonnées q1(t) et q2(t) telles que

Exemples 4 : Coordonnées principales d’un système masse ressort (suite) Puisque q1(t) et q2(t) sont des fonctions harmoniques, leurs équations du mouvement correspondantes s’écrivent : On peut écrire qui donnent

Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture Enoncé : Déterminez les fréquences et les localisations des nœuds de vibration, des mouvements angulaire et linéaire d’une voiture avec les données suivantes : Masse m=1000kg, Rayon de giration r=0,9m, Distance entre l’axe frontal et le centre de gravité ℓ1=1m, Distance entre l’axe arrière et le centre de gravité ℓ2=1,5m, Raideur des amortisseurs avant kf=18kN/m, Raideur des amortisseurs arrières kr=22kN/m.

Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite) Réponse : l’énergie cinétique, potentielle et le lagrangien s’écrivent : L’équation de Lagrange donne :

Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite) Nous supposons une solution harmonique de la forme On obtient : en utilisant les données, on trouve :

Exemple 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite) On en déduit, l’équation des fréquences qui s’écrit : Les fréquences naturelles du système sont : Avec ces valeurs, le rapport des amplitudes est calculé à partir de l’équation

Exemple 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite) Les nœuds de vibration sont localisés aux points -2,646m pour 1 et 0,3061m pour 2. Les modes de vibration sont montrés en pointillés sur la figure :