MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 1 (Section 4) François Meunier DMI

Contenu du présent document Notions d’ensemble. Relations entres les ensembles. Diagrammes de Venn. Puissance des ensembles. Produit cartésien.

Introduction à la théorie des ensembles Un ensemble est une structure discrète, représentant une collection non ordonnée de 0 ou plusieurs objets distincts. La théorie des ensembles comprend aussi des opérations, des relations, et des énoncés sur des ensembles. Les ensembles sont omni présents dans les systèmes logiciels. Les énoncés mathématiques peuvent être définis en termes d’ensembles par l’utilisation de la logique des prédicats.

Notations de bases des ensembles Les ensembles sont identifiés par des variables S, T, U, … Un ensemble S est décrit par la liste de tous ces éléments entre parenthèses: {a, b, c} est un ensemble de trois objets dénoté par a, b, c. Notation de construction d’ensembles: Pour une proposition P(x) sur un ud donné {x|P(x)} est l’ensemble de tous les x tel que P(x). Read {a, b, c} as “the set whose elements are a, b, and c” or just “the set a, b, c”. {x | P(x) : 9 <x <16}

Notations de bases des ensembles Les ensembles sont non ordonnés: Pour n’importent quels objets a, b, et c, {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}. Tous les éléments sont distincts; l’ordre des éléments n’a pas d’importance. Si a=b, Alors {a, b, c} = {a, c} = {b, c} = {a, a, b, a, b, c, c, c, c}. Cet ensemble contient au plus 2 éléments.

Définition: Egalité des ensembles Deux ensembles sont égaux SSI ils contiennent les mêmes éléments. La manière avec laquelle est définie n’a pas d’importance. Par exemple: L’ensemble {1, 2, 3, 4} = {x | x est un entier avec x>0 et x<5 } = {x | x est un entier positif dont le carré est >0 et <25}

Ensembles infinis Les ensembles peuvent être infinis (i.e., non fini, sans fin). Symboles associés à certains ensembles infinis: N = {0, 1, 2, …} Nombres Naturels. Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Nombres Entiers. R = Nombres Réels, 374.1828471929498181917281943125… Autres symboliques (ℕ,ℤ,ℝ).

Diagrammes de Venn John Venn 1834-1923 Nombres Premiers < 11 2 4 11 6 -3 12 8 10 Entiers impairs de 1 à 9 1 Entiers pairs de 2 à 12 -1 3 5 7 9 With Venn diagrams, you can see that one set is a subset of another just by seeing that you can draw an enclosure around its members that fits completely inside an enclosure drawn around the larger set’s members. -2 Entiers positifs < 12 Entiers entre -3 à 12

Relations: Membre de xS (“x est dans S”) est la proposition stipulant que l’objet x est un lément ou membre de l’ensemble S. Ex: 3N, “a”{x | x est une lettre de l’alphabet} Peu définir l’égalité en termes de la relation : S,T: S=T  (x: xS  xT) “2 ensembles sont égaux SSI ils ont les mêmes membres.” xS : (xS) “x n’est pas dans S”

Ensemble vide  (“null”, “l’ensemble vide”) un ensemble avec aucun élément.  = {} = {x|FAUX} Pour n’importe quel ud, nous avons l’axiome x: x.

Relations sur les sous-ensembles et les sur-ensembles ST (“S est un sous-ensemble de T”) chaque élément de S est aussi un élément de T. ST  x (xS  xT) S, SS. ST (“S est un sur-ensemble de T”) alors TS. Note S=T  ST ST. signifie (ST), i.e. x(xS  xT) Note also that FORALL x P(x)->Q(x) can also be understood as meaning “{x|P(x)} is a subset of {x|Q{x}}”. This can help you understand the meaning of implication. For example, if I say, “if a student has a drivers license, then he is over 16,” this is the same as saying “the set of students with drivers licenses is a subset of the set of students who are over 16”, or “every student with a drivers license is over 16.” If no students in the universe of discourse have drivers licenses, then the antecedent is always false, or in other words the set of students with drivers licenses is just the empty set, which is of course a member of every set, and so the statement is vacuously true. Alternatively, if every student in the universe of discourse is over 16, then the consequent is always true, that is, the set of students who are over 16 is the entire universe of discourse, and so every set of students in the u.d. is necessarily a subset of the set of students who are over 16, and so the statement is trivially true. The statement is only false if there exists a student with a drivers license in the u.d. who is under 16 (perhaps the license is fake or from a foreign country), in which case, the set of students with drivers licenses is *not* a subset of the under-16 students.

Sous-ensemble strict et sur-ensemble propre ST (“S est un sous-ensemble strict de T”) signifie que ST mais . De façon similaire ST (sur-ensemble stricte). Exemple: {1,2}  {1,2,3} We may also say, “S is a strict subset of T”, or “S is strictly a subset of T” to mean the same thing. S T Diagramme de Venn équivalent à ST

Les ensembles sont aussi des objets Les objets éléments d’un ensemble peuvent eux-mêmes être des ensembles. Posons S={x | x  {1,2,3}} Alors S={, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Sachez que 1  {1}  {{1}} In general, any kind of object or structure, whether simple or complex, can be a member of a set. In particular, sets themselves (being structures) can be members of sets. If you don’t understand the distinction between 1, {1}, {{1}}, you’ll make endless silly mistakes. 1 is a number, the number one. {1} is NOT A NUMBER AT ALL! It is a COMPLETELY DIFFERENT TYPE OF OBJECT! Namely, it is a set. What kind of set? It is a singleton set, by which we mean a set that contains exactly one element. In this case, its element happens to be the number 1. Now, what is {{1}}? It is also a set, and also a singleton set, but it is a COMPLETELY DIFFERENT TYPE of singleton set. To see this, notice that {1} is a set of numbers, whereas {{1}} is not a set of numbers at all! It is a SET OF SETS. Its single element is not a number at all, but is a SET. Namely, the set {1}. In other words, {{1}} is the singleton set whose member is the singleton set whose member is 1. Whereas, {1} is just the singleton set whose member is 1. And, 1 is just 1. All of these are distinct objects and you’ve got to learn to keep them separate! Otherwise, you’ll never have a chance of understanding data types in programming languages. For example, in most languages, we can have an array of numbers, or an array of arrays of numbers, etc. These are all completely different types of objects and can never be compatible with each other.

Cardinalité et finitude |S| (cardinalité de S) est le nombre d’éléments de l’ensemble S. Ex: ||=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5},{6}, {7,8}}| = ____ Si |S|N, alors S est fini. Autrement, S est infini. Quels ensembles infinis avons nous vus? 4 N Z R

Opération puissance La puissance de l’ensemble S, P(S) est l’ensemble des sous-ensembles de S. P(S) :≡ {x | xS}. Ex: P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}. P(S) est aussi écrite 2S. Pour S fini, |P(S)| = 2|S|. Alors S:|P(S)|>|S|, e.g. |P(N)| > |N|. We’ll get to different sizes of infinite sets later, in the module on functions.

Revue: Notations sur les ensembles Objets x, y, z; ensembles S, T, U. Ensemble {a, b, c} et constructeur {x|P(x)}.  membre de,  ensemble vide. Relations =, , , , , , …. Diagrammes de Venn. Cardinalité |S| et ensembles infinis N, Z, R. Puissance d’un ensemble P(S).

n-tuplets ordonnés Sont des ensembles, sauf que l’ordonnancement des éléments est importants. Pour nN, un n-tuplet ordonné ou une séquence ou une liste de longeur n est écrite (a1, a2, …, an). Le premier élément est a1, etc. Notez que (1, 2)  (2, 1)  (2, 1, 1). Séquence vide, singlets, paires, triplets, quadruplets, quintuplets, …, n-tuplets. Sometimes people also define “bags”, which are unordered collections in which duplicates matter. If you have a bag of coins, they are in no particular order, but it matters how many coins of each type you have. Contraste avec les ensembles {}

Produits Cartésien sur les ensembles Pour les ensembles A, B, le produit Cartésien AB : {(a, b) | aA  bB }. Ex: {a,b}{1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Pour A, B fini, |AB|=|A||B|. Le produit Cartésien n’est pas commutatif: i.e., AB: AB=BA. Généralisé à: A1  A2  …  An... Usually AxBxC is defined as {(a,b,c) | a is in A and b is in B and c is in C}. René Descartes (1596-1650)

Revue: Notions d’ensembles Objets x, y, z; ensembles S, T, U. Ensemble {a, b, c} et constructeur {x|P(x)}.  membre de,  ensemble vide. Relations =, , , , , , …. Diagrammes de Venn. Cardinalité |S|. Ensembles infinis N, Z, R. Puissance d’un ensemble P(S).

Revue: Notions d’ensembles Ensembles Finis vs. infinis. Opérations sur les ensembles |S|, P(S), ST. Autres opérations: , , . (section 5 suivante)