Un peu de logique formelle… … ou comment comprendre ce que le prof dit pendant ses cours :o)

La logique selon Aristote La logique naît avec Aristote (384-322 av. J.C), disciple de Platon. C'est le moment de la lutte entre les philosophes et les sophistes. Pour Aristote, la logique a deux finalités. Il s'agit, en premier lieu, de rendre la sophistique impossible (les sophistes utilisaient des raisonnements parfois corrects mais sans se soucier de la vérité). Certes Platon critique les sophistes sur tel ou tel point mais l'ignorance des lois de la pensée correcte rend impossible une réfutation de fond. En second lieu, la logique vise à fonder la philosophie elle-même. Ainsi, Aristote n'est pas satisfait de certains raisonnements platoniciens. Une philosophie ne peut être rigoureuse que si elle sait comment fonctionne la pensée correcte. La logique se présente comme une propédeutique (une science préalable) à toute pensée se voulant rationnelle. C'est en ce sens qu'Aristote écrit : « Il faut connaître les Analytiques avant d'aborder aucune science » (les « analytiques » désignent les deux livres essentiels de la logique d'Aristote) La logique d'Aristote se présente sous la forme de six livres portant globalement, depuis le Moyen-Age, le nom d'Organon, ce qui signifie « outil ». Platon et Aristote détail du tableau de Raphaël (1518) L’école d’Athènes

Les 3 principes d’Aristote Le principe de non-contradiction:  "Il est impossible que le même attribut appartienne et n'appartienne pas en temps au même sujet et sous le même rapport"  Aristote, métaphysique, 3, 1005B, 9. Le principe du tiers exclu:  "Il ne peut y avoir d'intermédiaire entre deux contraires, un sujet possède ou ne possède pas un attribut donné"  Ibid. VII, 1021b23-29 Le principe d'identité : "Se demander pourquoi une chose est elle-même, c'est enquêter dans le vide parce que l'existence d'une chose doit être claire. Ainsi, le fait qu'une chose est elle-même est la seule réponse et la seule cause dans tous les cas, comme par exemple dans la question `pourquoi un homme est un homme?`..."  Le principe d'identitéIbid. VII, 1041a15-20 

Les 3 principes d’Aristote Le principe de non-contradiction:  une proposition A ne peut être à la fois vraie et fausse Le principe du tiers exclu:  une proposition A est forcément vraie ou fausse Le principe d'identité : La chose A s’explique (ou se vérifie) par elle-même.

Les 3 principes d’Aristote Le principe de non-contradiction:  une proposition A ne peut être à la fois vraie et fausse Deux droites dans le plan ne peuvent être sécantes et non sécantes à la fois. Le principe du tiers exclu:  une proposition A est forcément vraie ou fausse Deux droites dans le plan sont sécantes ou non Le principe d'identité : Une proposition A s’explique par elle-même. Le discours philosophique a besoin de cohérence. Une expression de ce besoin est le principe d'identité qui énonce que ce qui est est. Dans le champ des mathématiques, certaines « définitions » d’objets ne « s’expliquent » pas autrement que par elles-mêmes, exemple : un point en géométrie, les nombres 1,2,3…

Qu’est-ce qu’une proposition ? Une proposition est un énoncé abstrait sur lequel on ne fait aucune hypothèse à priori sur la véracité ou la fausseté. Par exemple : « il pleut » est une proposition. « tout homme est mortel » en est une autre. « tous les lapins mangent des carottes » une troisième.

Que fait la logique ? La logique est la « science » qui étudie la relation entre propositions. Elle classe ces relations. On utilise donc les syllogismes, du grec συν λογικου = « sun logicon » = lier ensemble. L’objectif étant de démontrer la véracité ou la fausseté d’une proposition énoncée. L’exemple donné le plus souvent : « Tout homme est mortel » et « Socrate est un homme » donc… « Socrate est mortel ».

Que fait la logique ? L’exemple donné le plus souvent : « Tout homme est mortel » et « Socrate est un homme » donc…     « Socrate est mortel ». En termes de logique, on peut dire que si je sais que « B est A » et « C est B » alors je peux conclure que…

Que fait la logique ? En termes de logique, on peut dire que si je sais que « B est A » et « C est B » alors je peux conclure que… « C est A ». j’ai ainsi dégagé une règle générale de raisonnement.

Logique = Déduction Le calcul des propositions constitue la première étape vers la formalisation des démonstrations. Il permet de s’assurer sans risque d’erreur que des déductions complexes sont valides. On utilise les « 4 connecteurs logiques » NON ET OU IMPLIQUE on notera dans ce qui suit : V pour Vrai et F pour Faux. D’après les principes d’Aristote, une proposition est soit Vraie soit Fausse.

les « 4 connecteurs logiques » NON ET OU IMPLIQUE

NON Si A est une proposition alors NON(A) en est une autre qui est vraie si A est fausse, et fausse si A est vraie. A NON(A) F V

NON Si A : « ma voiture est blanche » alors NON(A) : A NON(A) F V

NON Si A : « ma voiture est blanche » alors NON(A) : « ma voiture n’est pas blanche » A NON(A) F V

ET Si A et B sont deux propositions alors A et B en est une autre qui est vraie si A et B sont vraies en même temps, sinon elle est fausse. A B A et B V F

ET Si A : « j’ai une voiture » et B : « j’ai le permis » Alors A et B : « j’ai une voiture et le permis » A et B est vraie si A et B sont vraies toutes les deux, sinon elle est fausse. A B A et B V F

OU Si A et B sont deux propositions alors A ou B en est une autre qui est fausse si A et B sont fausses en même temps, sinon elle est vraie. A B A ou B V F

OU Si A : « j’ai une voiture » et B : « j’ai le permis » Alors A ou B : « j’ai une voiture ou le permis » A ou B est vraie si l’une au moins des propositions A et B est vraie. A B A ou B V F

OU et « ou bien » les nuances du français A ou B est vraie si l’une au moins des propositions A et B est vraie. Si on veut insister sur le fait que A et B ne peuvent être vraies en même temps, on doit le préciser clairement par un « ou bien ». Par exemple, au restaurant, si le menu annonce « fromage ou dessert », ne demandez pas les deux… ce serait plus cher ! Par contre si chez vous vos parents vous demandent si vous voulez du sel ou du poivre dans votre portage, vous pouvez sans crainte demander les deux. A B A ou B V F

Implique Þ Si A et B sont deux propositions alors A Þ B en est une autre qui est fausse si A est vraie et B est fausse. On peut rapprocher l’implication du langage courant : « si A alors B » Du point de vue logique, A Þ B est équivalent à NON(A) OU B A B A Þ B V F

Implique Þ Du point de vue logique, A Þ B est équivalent à NON(A) OU B vérifiez-le en remplissant la table de vérité suivante : A B NON(A) NON(A) OU B A Þ B V ? F

Implique Þ Du point de vue logique, A Þ B est équivalent à NON(A) OU B F

Implique Þ Du point de vue logique, A Þ B est équivalent à NON(A) OU B F

Implique Þ Il est à noter que si A est fausse alors A Þ B est vraie quel que soit B. Ceci est confirmé par le sens commun dans une expression du genre : « si vous êtes le président alors moi je suis un martien » C’est-à-dire : vous dites être le président, je dis que c’est faux; et puisque c’est faux, tout peut arriver… A B A Þ B V F

les « 4 connecteurs logiques » et leurs rapports NON ET OU IMPLIQUE

Associativité des connecteurs

Associativité des connecteurs A ET ( NON(A) ) = ??? A OU ( NON(A) ) = ??? A ET ( B OU C ) = ??? A OU ( B ET C ) = ???

Associativité des connecteurs A ET ( NON(A) ) = impossible A OU ( NON(A) ) = ??? A ET ( B OU C ) = ??? A OU ( B ET C ) = ???

Associativité des connecteurs A ET ( NON(A) ) = impossible A OU ( NON(A) ) = toujours vrai A ET ( B OU C ) = ??? A OU ( B ET C ) = ???

Associativité des connecteurs A ET ( NON(A) ) = impossible A OU ( NON(A) ) = toujours vrai A ET ( B OU C ) = (A ET B) OU (A ET C ) A OU ( B ET C ) = ???

Associativité des connecteurs A ET ( NON(A) ) = impossible A OU ( NON(A) ) = toujours vrai A ET ( B OU C ) = (A ET B) OU (A ET C ) A OU ( B ET C ) = (A OU B) ET (A OU C )

Négation des connecteurs

Négation des connecteurs NON( NON(A) ) = ??? NON( A ET B ) = ??? NON( A OU B ) = ??? NON( A Þ B ) = ???

Négation des connecteurs NON( NON(A) ) = A NON( A ET B ) = NON( A OU B ) = NON( A Þ B ) =

Négation des connecteurs NON( NON(A) ) = A NON( A ET B ) = NON(A) OU NON(B) NON( A OU B ) = NON( A Þ B ) =

Négation des connecteurs NON( NON(A) ) = A NON( A ET B ) = NON(A) OU NON(B) NON( A OU B ) = NON(A) ET NON(B) NON( A Þ B ) =

Négation des connecteurs NON( NON(A) ) = A NON( A ET B ) = NON(A) OU NON(B) NON( A OU B ) = NON(A) ET NON(B) NON( A Þ B ) = A ET NON(B) (surprenant ?)

Négation des connecteurs Exemple 1: « il pleut ET je suis mouillé » a pour négation :

Négation des connecteurs Exemple 1: solution « il pleut ET je suis mouillé » a pour négation : « il ne pleut pas OU je ne suis pas mouillé »

Négation des connecteurs Exemple 2: « s’il pleut alors (Þ) je suis mouillé » a pour négation :

Négation des connecteurs Exemple 2 : solution « s’il pleut alors (Þ) je suis mouillé » a pour négation : « il pleut ET je ne suis pas mouillé » en effet…

Négation des connecteurs « s’il pleut alors (Þ) je suis mouillé » A Þ B est équivalent à NON(A) OU B et la négation de NON(A) OU B est NON(NON(A) OU B ) = A ET NON(B) donc… « il pleut ET je ne suis pas mouillé »

Négation des connecteurs Exemple : « s’il pleut alors (Þ) je vais au cinéma » a pour négation : « il pleut ET je ne vais pas au cinéma »

Les quantificateurs logiques

Les quantificateurs logiques Une propriété peut être universelle ou particulière : Universelle si elle est vraie (ou fausse) pour tous : « tous les élèves de Terminale font de la philosophie » « aucun lapin ne porte de lunettes » Particulière si elle est vraie (ou fausse) dans au moins un cas : « il existe un élève de la classe qui est une fille » « il existe un élève de la classe qui n’est pas une fille »

Les quantificateurs logiques Une propriété peut être positive ou négative Positive : «  il existe un réel x tel que x² = 3  » Négative : «  il existe un réel x tel que x² ¹ 3  »

Les quantificateurs logiques Il existe donc quatre « types » de propriétés : Universelle positive A Universelle négative E Particulière positive I Particulière négative O

Quatre règles fondamentales des syllogismes

Quatre règles fondamentales des syllogismes De deux propositions négatives, on ne peut rien conclure. Si aucun garçon n’a de lunettes et aucune personne n’ayant de lunettes n’est blond alors…

Quatre règles fondamentales des syllogismes De deux propositions négatives, on ne peut rien conclure. Si aucun garçon n’a de lunettes et aucune personne n’ayant de lunettes n’est blond alors…RIEN

Quatre règles fondamentales des syllogismes De deux propositions positives on ne peut donner de conclusion négative. S’il existe un garçon de Terminale qui a des lunettes et s’il existe un garçon dans la classe de TES alors …

Quatre règles fondamentales des syllogismes De deux propositions positives on ne peut donner de conclusion négative. S’il existe un garçon de Terminale qui a des lunettes et s’il existe un garçon dans la classe de TES alors …il existe peut être un garçon de TES qui a des lunettes.

Quatre règles fondamentales des syllogismes La conclusion suit toujours la plus faible des parties : la conclusion est négative si l’une des deux parties est négative. la conclusion est particulière si l’une des deux est particulière Si tous les élèves de TL mesurent plus de 1m80, et s’il existe une fille en TL alors… Si aucun les élèves de TL ne mesure moins de 1m70, et s’il existe une fille en TL alors…

Quatre règles fondamentales des syllogismes La conclusion suit toujours la plus faible des parties : la conclusion est négative si l’une des deux parties est négative. la conclusion est particulière si l’une des deux est particulière Si tous les élèves de TL mesurent plus de 1m80, et s’il existe une fille en TL alors il existe une fille de plus de 1m80 en TL Si aucun les élèves de TL ne mesure moins de 1m70, et s’il existe une fille en TL alors il n’existe pas de fille de moins de 1m80 en TL

Quatre règles fondamentales des syllogismes Il ne suit rien de deux propositions particulières S’il existe un élève de TS qui mesure plus de 2m00, et s’il existe une fille en TS alors …il existe peut être une fille de TS qui mesure plus de 2m00.

Oppositions entre syllogismes

Les relations d’opposition des syllogismes en logique Contraire Universelle positive A Universelle négative E Particulière positive I Particulière négative O subalterne subalterne contradictoires Subcontraire

Les relations d’opposition des syllogismes en logique Universelle positive A Universelle négative E Particulière positive I Particulière négative O contradictoires Ne sont jamais vraies ensemble, ni fausses ensemble. Si l’une est vraie, l’autre est fausse.

Les relations d’opposition des syllogismes en logique Contraire Universelle positive A Universelle négative E Particulière positive I Particulière négative O Ne sont jamais vraies ensemble. Si l’une est vraie, l’autre est fausse

Les relations d’opposition des syllogismes en logique Universelle positive A Universelle négative E Particulière positive I Particulière négative O Subcontraire Ne sont jamais fausses ensemble mais peuvent être vraies ensemble. Si l’une est fausse, l’autre est vraie.

Les relations d’opposition des syllogismes en logique Universelle positive A Universelle négative E Particulière positive I Particulière négative O subalterne subalterne Si l’universelle est vraie, alors la particulière est vraie. Mais pas l’inverse. Si la particulière est fausse, l’universelle est fausse aussi. En mathématiques, on parle d’exemples et de contre-exemples.

On a donc le tableau suivant :

Les relations d’opposition des syllogismes en logique Contraire Universelle positive A Universelle négative E Particulière positive I Particulière négative O subalterne subalterne contradictoires Subcontraire

Les quantificateurs logiques en mathématiques Universelle si elle est vraie pour tous : " «  " x réel, x² ≥ 0 » Particulière si elle est vraie dans au moins un cas : $ «  $ x réel tel que x² = 3  »

La négation des quantificateurs logiques Quelle est la négation de « tous les lapins mangent des carottes » ???

La négation des quantificateurs logiques Quelle est la négation de « tous les lapins mangent des carottes » « Il existe au moins un lapin qui ne mange pas de carottes »

La négation des quantificateurs logiques NON( " ) = $ NON( " x réel, x² ≥ 0 ) = $ x réel tel que x² < 0. NON( $ ) = " NON(  $ x réel tel que x² = 3 ) =  " x réel, x² ≠ 3.

Fausses idées… idées fausses Le contraire de « tous » n’est pas « aucun » mais « il existe au moins un qui fait le contraire » Le contraire de « A Þ B » est « A et NON(B) » Le contraire de « A et B » est « NON(A) ou NON(B) » Le contraire de « A ou B » est « NON(A) et NON(B) »

Prolongements… …vers la logique « moderne  »

Aristote a-t-il raison Aristote a-t-il raison ? C’est-à-dire : les 3 principes d’Aristote sont-ils fondés ? Le principe de non-contradiction:  une proposition A ne peut être à la fois vraie et fausse C’est le pari fait par les mathématiques, on dit que la théorie est « non contradictoire» Le principe du tiers exclu:  une proposition A est forcément vraie ou fausse Ce n’est pas vrai en mathématiques, on dit que certaines propriétés sont « indécidables » Le principe d'identité : Une proposition A existe par elle-même. Ce ne sont plus des maths, c’est de la philo…

Aristote a-t-il tord ? C’est-à-dire : qu’est-ce que l’indécidabilité ? Le principe du tiers exclu:  une proposition A est forcément vraie ou fausse Ce n’est pas vrai en mathématiques, on dit que certaines propriétés sont « indécidables » Un énoncé mathématique est dit indécidable dans un système axiomatique s'il est impossible de le déduire, ou de déduire sa négation, à partir des axiomes. En termes plus concrets, cela veut dire qu'on demande au système de fournir une conclusion sans lui avoir fourni suffisamment d'hypothèses. Ainsi, l'âge du capitaine d'un bateau est indécidable en fonction du tonnage et de la vitesse du navire.

Aristote a-t-il tord ? qu’est-ce que l’indécidabilité ? Le principe du tiers exclu:  une proposition A est forcément vraie ou fausse Ce n’est pas vrai en mathématiques, on dit que certaines propriétés sont « indécidables » Un mathématicien célèbre Kurt Gödel a prouvé que dans un système axiomatique, il y avait des énoncés vrais que l’on ne pouvait pas démontrer. Il a montré aussi que certaines propriété demeureraient indécidables dans n’importe quel système axiomatique. Il mit fin alors au rêve « positiviste » des savants du début du 20ème siècle.

La logique c’est utile ? Pour vous montrer l’importance de la logique en philosophie et en mathématiques, où on manie des concepts parfois subtiles, voici quelques exemples d’erreurs à ne pas commettre…

Question 1 La négation de « tous les élèves sont des garçons » est : « Toutes sont des filles » « Il y a des filles » « Il n’y a qu’un seule fille » « Il y a au moins une fille »

Réponse-Question 1 La négation de « tous les élèves sont des garçons » est : « Toutes sont des filles » « Il y a des filles » « Il n’y a qu’un seule fille » « Il y a au moins une fille »

Question 2 La négation de « s’il pleut alors je vais au cinéma » est : «  s’il ne pleut pas alors je vais au cinéma  » «  s’il ne pleut pas alors je ne vais pas au cinéma  » « je ne vais pas au cinéma » « Il ne pleut pas » Rien de tout cela

Réponse-Question 2 La négation de « s’il pleut alors je vais au cinéma » est : «  s’il ne pleut pas alors je vais au cinéma  » «  s’il ne pleut pas alors je ne vais pas au cinéma  » « je ne vais pas au cinéma » « Il ne pleut pas » Rien de tout cela

Question 2 Je repose la question : La négation de « s’il pleut alors je vais au cinéma » est :

« Il pleut et je ne vais pas au cinéma » Réponse-Question 2 La négation de « s’il pleut alors je vais au cinéma » est : « Il pleut et je ne vais pas au cinéma »