Vander Pol On demande de vérifier que le point d'équilibre est un point d'équilibre instable pour 0 < a que le point d'équilibre est un point d'équilibre stable pour a < 0 Que se passe-t-il pour a=0 ? But: Etdier un système plan autonome mais non linéaire par opposition aux systèmes plans autonomes et linéaires. non linéarité  les cycles limites. Rappel: qu'est-ce qu'un terme non linéaire ? La non linéarité est la superposition de facteurs ou d'effets; elle se traduit donc par des termes comme: x2, a xy, b yz Où x, y et z sont des variables et m et b des paramètres. La non linéarité est une condition nécessaire mais non suffisante au chaos (voir plus loin).

Solution Vérifier que le point d'équilibre est un point d'équilibre instable pour 0<a

RESULTAT cycle limite stable.

cycle limite stable.

Justification physique de l'existence des cycles dans l'espace des phases à deux dimensions Cycles limites, des cols, foyers et centres d'un mouvement (appelons-les les points singuliers d'un système)  caractérisation complète et qualitative d ’un mouvement. Cas d ’un poitn singulier stable (stabilité asymptotique): les trajectoires proches d ’un point singulier convergent vers ce point, soit de façon directe si c'est un noeud, soit en spirale si c'est un foyer (état stationnaire). Ce sont les régimes stationnaires. Cas d ’un point singulier instable: toutes les trajectoires proches de ce point s'écartent de celui-ci. Où aboutissent-elles ? Elles peuvent par exemple tendre vers un autre point singulier (situation qualitativement non différente). Elles peuvent s ’éloigner vers l'infini, notamment parce que le système ne possède pas d'autre point singulier. (ex: systèmes explosifs) Elles atteignent des cycles limites , seule troisième voie topologiquement acceptable - les courbes ne peuvent avoir d ’intersection) Un cycle limite: solution temporellement périodique qui est indépendante des conditions initiales et qui possède une fréquence intrinsèque au système indépendant des conditions initiales

RESULTAT cycle limite instable.

RESULTAT Point initial à l'extérieur du cycle limite ? le cycle limite instable repousse la trajectoire

RESULTAT Disparition du cycle limite.