Généralités Hydrostatique Cours de Mécanique des fluides Généralités Hydrostatique Olivier LOUISNARD

Qu’est-ce qu’un fluide ? pas de forme propre s’écoule si on lui applique une force prend la forme du récipient Les molécules interagissent (peu pour les gaz) Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres. Pas d’ordre comme dans un solide (ordre local pour les liquides) Limite solide / fluide parfois floue : dépend de la dynamique de la sollicitation (sable mouillé, polymères, pâtes) états semi-ordonnés (ou « indécis ») (verre et liquides vitreux, cristaux liquides, colloïdes) dépend de l’échelle de temps considérée (glacier)

Quelques fluides Monophasiques eau, air, huile, métaux fondus, ... Multiphasiques aérosols = L ou S dans V (brouillard, essence dans carburateur, fumée) émulsions = L dans L (lait, vinaigrette, anisette, shampoing...) suspensions = S dans L (pâtes, boues) liquides à bulles = G dans L (sodas, surface de l’océan, distillation, fluides de refroidissement, mousses) « Complexes » magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques) polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...) milieux granulaires (sable, poudres)

Quelques fluides complexes Ferrofluides Liquide à bulles Lait Sang Cristaux liquides

Description macroscopique d’un fluide Atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres Liquide = fort encombrement / interactions forte Gaz = faible encombrement / interactions quasi nulles Microscopique : ce qu’on ne voit pas directement un fluide apparaît comme un milieu continu il exerce/subit des forces sur/par notre environnement Macroscopique : à notre échelle On cherche à représenter ce que l’on voit par des variables et des équations continues / à x,y,z. On veut donc « gommer » les inhomogénéités microscopiques => homogénéisation Si possible un modèle valable pour gaz ET liquides

Homogénéisation L grand du point de vue micro x r(x) = ? (en nbre de voitures / km) x dx petit du point de vue macro Suffisamment petit : pas de variation de densité à cette échelle x Volume de moyennage Echelle macroscopique (km) Echelle mésoscopique (50 m) L grand du point de vue micro Suffisamment grand : doit contenir un nombre suffisant de voitures Echelle microscopique (m)

Le fluide comme un milieu continu Comment définir une densité r et une vitesse v variant continument / x,y,z ? Masse volumique r (x,y,z) = ? (kg/m3) Vitesse v (x,y,z) = ? Echelle mésoscopique (x,y,z) mi (x,y,z) Echelle macroscopique Echelle microscopique Masse volumique (kg/m3) Champ de vitesses et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, z Pas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés)

Milieu continu : grandeurs volumiques G(t) grandeur extensive contenue dans V (c.a.d. G augmente avec le nombre de molécules) On définit : grandeur volumique donc grandeurs globales (représentent tout le volume V) Masse de fluide dans V Quantité de mouvement de V Energie cinétique de V Energie interne de V grandeurs locales (définies en chaque point) Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)

Masse volumique Eau 1000 kg/m3 Mercure 13540 kg/m3 Air (20°C, 1 bar) 1.3 kg /m3 r (x,y,z,t) en kg/m3 A priori non uniforme dans l’espace Varie avec la température (même pour un liquide) : dilatabilité Varie avec la pression (peu pour un liquide) : compressibilité Une approximation bien utile : r = r0 constant par rapport à t et x, y, z Conditions de validité : plus tard (amphi 4, poly chapitre 5) le fluide incompressible Masse de fluide dans V

Forces exercées sur un fluide Forces surfaciques ou « de contact » exercées sur chaque élément de surface dS dS Forces volumiques exercées sur chaque élément de volume dV dV pression frottement visqueux (seulement si fluide en mouvement) poids, forces d’inertie (référentiel non-galiléen), forces électriques, magnétiques …

Forces de pression: approche intuitive Equilibre : Fp1 Fp2 Fp est en fait la résultante de 2 forces Fp1 et Fp2 h Liquide en équilibre mécanique vers le haut Une force Fp vers le haut compense le poids n1 n2 On écrit donc : Fp1 et Fp2 orthogonales à S1, S2 Fp1 et Fp2 vers l’intérieur de V S2 S1 donc proportionnelle à S P =mg S p1 et p2 pressions, positives n1 et n2 normales sortantes

Origine microscopique de la pression : gaz Pour un gaz, c’est simple… Système subissant la pression PRESSION = Echange de quantité de mouvement avec les molécules n dS Fp= - p n dS

Pression dans un gaz Réalisé (par votre serviteur…) avec un petit logiciel « gadget »

Origine microscopique de la pression : liquide Pour les liquides, pression aussi liée aux chocs … … mais plus compliqué Forces attractives et répulsives => liquides peu compressibles : distance intermoléculaire ~constante Attractive => un liquide a une « cohésion » => on peut « tirer dessus » sans le déchirer => pressions négatives => il peut s’accrocher à / s’étaler sur des solides (capillarité, mouillage)

Force de pression dFp= -pn dS V S Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S n dS découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n Fp = S -pn dS A retenir S dFp Fp = dFp= -pn dS Sfermée n dS = 0, Remarque importante : en vertu du théorème de la normale S Fp = - (p-p0) n dS on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p :

Forces volumiques -rdV (ae+ac) dV P = rg dV V V rdV g somme des forces d’inertie élémentaires -dm (ae+ac) = -rdV (ae+ac) de toutes les particules fluides dV -rdV (ae+ac) somme des poids élémentaires dm g = rdV g de toutes les particules fluides dV dV rdV g Poids : V P = rg dV Attention ! a priori r(x,y,z) V Forces d’inertie : (en référentiel non galiléen) (cf. rappel annexe poly) V Fie+Fic = -r(ae+ac) dV Forces électriques et magnétiques : (pour info : plasmas, magma, ferrofluides) Obtenues de la même façon. Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique)

Hydrostatique : équation globale Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non) Equilibre entre : Forces de pression Fp = S -p.n dS Fp Forces volumiques V P = rg dV P dS S V n S -p.n dS + V rg dV = 0 A retenir !! Fp+ P = 0

Variation spatiale de la pression La résultante des forces de pression Fp = S -p.n dS P équilibre le poids P V Elle est donc toujours dirigée vers le haut C’est la poussée d’Archimède ! La pression est donc plus grande en profondeur Fp n dS Pour le montrer, on va réécrire l’équation de l’hydrostatique sous forme locale (= exprimée en tout point)

Hydrostatique : équation locale Or (formule de Green): S -p.n dS = -grad p dV V S -p.n dS + rg dV = 0 V rg dV = 0, vrai quel que soit V -grad p dV + V Donc : grad p = rg A retenir L’intégrande doit être nul, donc

Hydrostatique : conséquences grad p = rg Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z) dans un fluide au repos Condition aux limites : p = patm sur la surface de contact avec l’air Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires à g (car grad p = vecteur perpendiculaire à p = cte) La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g (c’est le problème du plongeur) La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g (mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)

Hydrostatique en référentiel non galiléen Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (ae horizontal) miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae radial) expériences en gravité zéro (ae = g) Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement La force de Coriolis est nulle en statique car le fluide est immobile V Fie = -rae dV Fic = 0 S -p.n dS + r(g - ae)dV = 0 V Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g - ae Fp+ P + Fie= 0

Hydrostatique en référentiel non galiléen Les équations sont les mêmes en remplaçant g par g - ae S -p.n dS + r(g -ae) dV = 0 V Sous forme globale : Sous forme locale : grad p = r (g -ae) Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant perpendiculaires à g - ae On peut simuler l’apesanteur en prenant ae = g

Force d’Archimède Fluide immobile V S Fluide immobile Fp Fp= ? V S Rappel : Ce n’est rien d’autre que la résultante des forces de pression. On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide (solide ou bulle dans liquide, ballon d’hélium dans l’air...) Fluide immobile V S en équilibre On remplace par du fluide Fluide immobile Fp Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi. Fp= ? V S Corps étranger (pas en équilibre) L’équilibre dans le deuxième cas montre que Fp= - rfluideVg rfluideVg

Force sur un corps dans un fluide statique Fp= - rfluideVg V S Corps étranger Pcorps= rcorpsVg Pcorps+ Fp = (rcorps-rfluide)Vg ≠ 0 Le corps n’est pas en équilibre ! Deux cas possibles rcorps > rfluide : il descend rcorps < rfluide : il monte

Et pourtant, il flotte... Fp= - rfluideVimmergé g V rfluide> rcorps On peut généraliser le raisonnement à un objet partiellement immergé. On retiendra : Fp= - rfluideVimmergé g Dans ce cas l’équilibre est possible : V Le corps est moins dense : rfluide> rcorps Iceberg V Le corps est pourtant plus dense : rcorps > rfluide Bateau en alu Vimmergé Vimmergé < V Vimmergé mais V < Vimmergé Pcorps+ Fp = 0 => rcorpsV = rfluideVimmergé

Densité d = rcorps/ reau si solide ou liquide On définit la densité d’un corps par : d = rcorps/ reau si solide ou liquide d = rcorps / rair (20°C,1 atm) si gaz

Pression atmosphérique : Rappel sur les unités Masse volumique r : unité SI : kg / m3 unité SI : N / m2 = kg m-1 s-2 = Pa (Pascal) 1 bar = 100 kPa 1 torr = 1 mm Hg 1 psi = 1 pound / square inch Pression p : Pression atmosphérique : 1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi

Moment des forces de pression Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation. V S dS n M dFp= - pn dS S MA(Fp) = AM  dFp AM Moment total en A de Fp = somme des moments élémentaires en A des dFp A S MA(Fp) = AM  - pn dS soit : Le second théorème de la normale permet de retrancher une constante à p : S MA(Fp) = AM  - (p-p0) n dS

Centre de poussée d’Archimède En particulier, on peut définir le centre de poussée C (ou centre de carène) d’un volume V immergé totalement ou non. C’est le point C tel que MC(Fp) = 0. Simmergée 0 = CM  - pn dS soit : On montre que : Le centre de carène C est le centre de gravité du volume immergé

Exercices d’application de l’hydrostatique Intégration de l’équation de l’hydrostatique dans un liquide incompressible dans l’atmosphère dans en liquide en référentiel non galiléen Mesure de la densité avec un tube en U