MODELE DE VISCOSITE TUBULENTE ET THEORIES DE SIMILITUDES

Expression empirique des contraintes de Reynolds Fermeture des équations Equation de Navier Stokes 4 éq. 4 inconnues

Expression empirique des contraintes de Reynolds Fermeture des équations Décomposition de Reynolds Il manque une équation pour :

Expression empirique des contraintes de Reynolds Fermeture des équations à partir de : On peut obtenir une équation pour , mais elle fera intervenir qui nécessite une autre équation (pb sans fin !) Il faut fermer le système à un moment donné

Expression empirique des contraintes de Reynolds Fermeture des équations A l'ordre le plus bas, il suffit de trouver une expression pour les contraintes de Reynolds :

Modèle de viscosité turbulente Une idée (Boussinesq 1890) est "de copier" la contrainte pour un écoulement Newtonien : partie isotrope : partie isotrope :

Modèle de viscosité turbulente L'expérience montre que la viscosité turbulente n'est pas universelle : Il faut donc faire un modèle pour et pour k. Remarque : En posant : : une forme semblable à Navier-Stokes

Modèles de viscosité turbulente Modèle de la longueur de mélange : Modèle à une équation : Modèle à 2 équations : c'est le modèle k-epsilon.

Modèle de viscosité turbulente Longueur de mélange Analogie avec les gaz parfaits Libre parcours moyen Vitesse d'agitation thermique La viscosité augmente avec la température

Approximation de couche limite Ecoulements statistiquement 2D, W=0.

Approximation de couche limite Jet plan et circulaire (axisymétrique) Couche de mélange Sillage plan et axisymétrique Ecoulement de paroi: plaque plane, tuyau, canal....

Approximation de couche limite Les termes entre accolades sont négligeables pour la couche limite laminaire (MF 102)

Approximation de couche limite quand y∞, la pression est p0(x) et le gradient de pression longitudinal: :

Approximation de couche limite Le terme qui dépend de la viscosité sera négligé pour les écoulements turbulents libres (pas de condition d'adhérence) Il sera gardé pour les écoulements turbulents de parois (principe de moindre dégénérescence, MF 102), car c'est ce terme qui permet de réaliser la condition d'adhérence.

Exemple d'écoulement libre : Jet Plan Etalement linéaire : (x)  S x, Vitesse d'entrainement  Le jet entraine le fluide initialement au repos autour de lui : son débit augmente avec x.

Exemple d'écoulement libre : Jet Plan Largeur à mi-vitesse (i.e. (x)) (résultats expé.)  approximation de couche limite

Exemple d'écoulement libre : Jet Plan Equation de l'écoulement moyen (pas de gradients de pression, pas d'adhérence) d'où le flux de quantité de mouvement longitudinal est conservé : = constante

Conséquence pour le flux : Exemple d'écoulement libre : Jet Plan Hypothèse de similitudes Conséquence pour le flux :

Exemple d'écoulement libre : Jet Plan Conséquence sur l'équation de l'écoulement moyen de la forme : (les bi sont indép.)

Exemple d'écoulement libre : Jet Plan Pour avoir la forme du profil des vitesses il faut modéliser le tenseur de Reynolds : L'hypothèse de similitude, rend la viscosité turbulente autosimilaire : (longueur de mélange)

Exemple d'écoulement libre : Jet Plan

Equation de l'écoulement moyen Exemple d'écoulement de paroi: plaque plane Equation de l'écoulement moyen Contrainte à la paroi : y=0 y=0

Exemple d'écoulement de paroi: plaque approximation couche limite s'intègre en :

Exemple d'écoulement de paroi: plaque On définie une vitesse et une taille caractéristiques de la proche paroi :

Exemple d'écoulement de paroi: plaque sans gradient de pression dominé par la turbulence avec : Profil log des vitesses : dominé par la viscosité Profil linéaire des vitesses :

Exemple d'écoulement de paroi: plaque

Conséquence de la région Log. Exemple d'écoulement de paroi: plaque Conséquence de la région Log. La couche limite turbulente est moins déficitaire en quantité de mouvement que la couche limite laminaire