DIVISION DE POLYNÔMES Exemple (+)-(-)=+U(+3x) - (-3x) =+6x (-)-(+)=-U(-3x) - (+3x) =-6x (+)- =0(+3x) - (+3x) =0 (-)- =0(-3x) - (-3x) =0 (0)-(-)=+U(0) - (-3x) =+3x (0)-(+)=-U(0) - (+3x) =-3x Règle des signes à utiliserRègle des puissances à utiliser Exemple x n * x m = x n+m x 2 * x 3 = x 2+3 = x 5 Le POLYNÔME appelé « P(x) » ( se prononce P de x ) x 5 + 3x 4 -x 3 + 2x + 1 est à diviser par le DIVISEUR appelé D(x) ( se prononce D de x ) x Etape 1 : dessiner les colonnes par degré et indiquer au-dessus de chaque colonne, à titre indicatif, les degrés des colonnes. Etape 2 : placer dans les bonnes colonnes, chaque monôme du Polynôme. Placer le Diviseur sans distinction de colonne. +x 5 +3x 4 -x 3 +2x+1 x Présentation du tableau Pour faciliter la structure de la division, le schéma indique en plus des colonnes, le nombre de lignes que contient cette division avec les cases noires. Une division de Polynôme se réalise en cherchant à faire « disparaître » le premier monôme du Polynôme. Lorsqu’on inscrit une valeur dans le Quotient, cette dernière doit multiplier tous les membres du Diviseur, d’où la règle des puissances rappelée ici. Dès qu’on a complété toutes les valeurs sous le Polynôme de départ, on les soustrait, d’où la règle des signes à utiliser. La règle des puissances contient beaucoup d’autres éléments, mais cette règle est la seule dont nous ayons besoin pour cet exercice. Concept Terminologie 3x nn est appelé degré, exposant, puissance 3xn3xn x est appelé la base. 3xn3xn 3 est appelé le coefficient 3x n 3x n est appelé monôme x5x5 x4x4 x3x3 x2x2 x1

DIVISION DE POLYNÔMES Etape 3 : dans les colonnes vides, indiquer « 0x n » pour éviter de décaler les résultats. +x 5 +3x 4 -x 3 +2x+1 x x 2 Etape 4 : faire disparaître le premier monôme du Polynôme « +x 5 » en multipliant le « x 2 » du Diviseur avec une valeur qui s’inscrira dans le Quotient : « +x 3 ». (rappel : x 3 * x 2 = x 3+2 = x 5 ) La valeur « +x 3 » qu’on vient d’inscrire dans le Quotient doit multiplier tous les membres du Diviseur. Attention : placer les résultats dans les bonnes colonnes du Polynôme. Soustraire les résultats dans les cases grises en utilisant le tableau des signes et calculer le nouveau Polynôme. Parfois, quand on a de la chance, plusieurs monômes « disparaissent » en même temps. +x 5 +3x 4 -x 3 +2x+1 x x 2 x3x3 x3x3 +x 5 Astuce : le nombre de réponse à indiquer dans les bonnes colonnes correspondent au nombre de monômes du Diviseur. Exemple (+)-(-)=+U(+3x) - (-3x) =+6x (-)-(+)=-U(-3x) - (+3x) =-6x (+)- =0(+3x) - (+3x) =0 (-)- =0(-3x) - (-3x) =0 (0)-(-)=+U(0) - (-3x) =+3x (0)-(+)=-U(0) - (+3x) =-3x Règle des signes à utiliserRègle des puissances à utiliser Exemple x n * x m = x n+m x 2 * x 3 = x 2+3 = x 5

DIVISION DE POLYNÔMES +x 5 +3x 4 -x 3 +2x+1 x x 2 x3x3 x3x3 +x 5 0-2x 3 0x 2 +2x+1+3x 4 Etape 6 : indiquer dans le Quotient « +3x 2 » et multiplier tous les membres du Diviseur. Calculer le nouveau Polynôme en soustrayant les résultats obtenus. Recommencer jusqu’à ce que tous les monômes du Polynôme aient « disparus ». 0x 2 Etape 5 : effectuer la soustraction et descendre les valeurs restantes pour recréer un nouveau Polynôme avec les nouvelles valeurs. La case noire contient le nouveau monôme à faire disparaître. Astuce : indiquer « 0 » pour les monômes disparus. Astuce : la division s’arrête lorsque le degré du Diviseur « x 2 » est supérieur au reste « 4x ». x 2 est du « degré 2 » 4x est du « degré 1 » Exemple (+)-(-)=+U(+3x) - (-3x) =+6x (-)-(+)=-U(-3x) - (+3x) =-6x (+)- =0(+3x) - (+3x) =0 (-)- =0(-3x) - (-3x) =0 (0)-(-)=+U(0) - (-3x) =+3x (0)-(+)=-U(0) - (+3x) =-3x Règle des signes à utiliserRègle des puissances à utiliser Exemple x n * x m = x n+m x 2 * x 3 = x 2+3 = x 5

DIVISION DE POLYNÔMES Exemple (+)-(-)=+U(+3x) - (-3x) =+6x (-)-(+)=-U(-3x) - (+3x) =-6x (+)- =0(+3x) - (+3x) =0 (-)- =0(-3x) - (-3x) =0 (0)-(-)=+U(0) - (-3x) =+3x (0)-(+)=-U(0) - (+3x) =-3x Règle des signes à utiliserRègle des puissances à utiliser Exemple x n * x m = x n+m x 2 * x 3 = x 2+3 = x 5 x5x5 x4x4 x3x3 x2x2 x1 ExerciceP(x) = x 5 +3x 4 –x 3 +2x +1D(x) = x 2 +1 Rappel Indiquer la légende P(x) D(x) Q(x) R(x) -> lorsque la division est terminée. Règle des signes : Le « U » représente le coefficient à calculer. Les (+) et les (-) qui donnent « 0 » s’appliquent lorsqu’on annule les monômes. Si les coefficients sont différents, alors il faut calculer selon la règles des signes.