Exercices de DYNAMIQUE de rotation Exercice 1 : étude d’un frein Exercice 2 : choix d’un moteur Exercice 3 : étude de poulies Exercice 4 : solide en liaison pivot

Exercice 1 : Etude d’un frein Soit le frein schématisé ci-dessous. 1.1. Déterminer le couple de freinage du moteur : C = n . N . f . rm - n : nombre de couples de surfaces frottantes (ici, 1 paire) - N : force normale aux surfaces frottantes. - f : coefficient de frottement entre les surfaces frottantes. - rm : rayon moyen du disque. rm≈(R+r)/2 Données : N=1500N, f=0,2, R=150mm, r=115mm. C = 1500 x 0,2 x (150+115)/2 = 39750 mmN C = 39,75 mN

1.2. Déterminer la décélération du moteur. On prendra une inertie du rotor J=1,6 Kg.m2. PFD : Cm – Cr = J . w’ 0 – 39,75 = 1,6 . w’ w’ = – 39,75 / 1,6 = - 24,84 rd/s2 1.3. Pour une fréquence de rotation nominale de 300tr/min, déterminer le temps de freinage. w0 = 2p N / 60 = 2p x 300 / 60 = 31,4 rd/s t = (w – w0) / w’ = - 31,4 / - 24,84 = 1,26 s

Exercice 2 : Choix d’un moteur Un malaxeur chargé de mélanger des produits est entraîné par un moteur électrique. La vitesse de rotation de ce moteur est égale à 140 tr/min. 2.1- Calculer, en rad/s, la vitesse angulaire du moteur électrique. w = 2p N / 60 = 2p x 140 / 60 = 14,66 rd/s 2.2- Le malaxeur est assimilé à un volant d'inertie en forme de jante de masse m égale à 40 kg et de diamètre D égal à 50 cm. a/ Calculer, en kg.m2, le moment d'inertie J1 de la jante. J1 = ½ .m . R2 = ½ x 40 x 0,252 = 1,25 kg.m2

JT = J1 + J2 = 1,25 + 2 = 3,25 kg.m2 PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ b/ Pour un moment d'inertie du moteur J2 égal à 2 kg.m2, déduire le moment d'inertie total JT correspondant à la chaîne cinématique « jante + moteur ». JT = J1 + J2 = 1,25 + 2 = 3,25 kg.m2 c/ En appliquant le principe fondamental de la dynamique en rotation, calculer, en N.m, le moment M du couple de la chaîne cinématique lors de la phase de démarrage. On prendra w’ = 2,1 rad/s2. PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ M = 3,25 x 2,1 = 6,825 N.m

PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ Cm = (JT x w’ ) + Cr 2.3- Le moment du couple résistant du malaxeur est estimé à 5 N.m. a/ Calculer le moment du couple moteur de ce moteur électrique lors de la phase de démarrage. PFD : M = Cm – Cr = JT x w’ Cm = (JT x w’ ) + Cr Cm = M + Cr = 6,825 + 5 = 11,825 N.m b/ Parmi les 3 propositions ci-dessous, quel est le moteur le plus approprié Moteur A : 10 N.m Moteur B : 15 N.m Moteur C : 20 N.m Moteur B : 15 N.m > Cm=11,825N.m

Exercice 3 : Etude de poulies Cas n°1 Données Cas n°2 Cas n°3 m = 2 kg Poulie : M = 5kg R = 20cm fixée au plafond. m1 = 2 kg m2 = 3 kg Poulie : R=20 cm r =10cm Jp =0,3kg·m2 Quelle est  l'accélération angulaire de la poulie ? PFD : Cm – Cr = J . w’ => w’ = Cm – Cr / J cas 1 : w’ = mg . R / ½ . M . R2 w’ = 2mg / M R = 2x2x10/ 5x0,2 = 40 rd/s2 cas 2 : w’ = 2(-m2+m1)g / M R = -2x1x10/ 5x0,2 = -20 rd/s2 cas 3 : w’ = (-m2 r + m1 R)g / Jp = (-3x0,1+2x0,2)x10/0,3=3,3 rd/s2

At = R. w’ Cas n°1 : At = R. w’ = 0,2x40 = 8 m/s2 Données Cas n°2 Cas n°3 m = 2 kg Poulie : M = 5kg R = 20cm fixée au plafond. m1 = 2 kg m2 = 3 kg Poulie : R=20 cm r =10cm Jp =0,3kg·m2 Quelle est  l'accélération linéaire de la masse m ? At = R. w’ Cas n°1 : At = R. w’ = 0,2x40 = 8 m/s2 Cas n°2 : At = R. w’ = 0,2x20 = 4 m/s2 Cas n°3: At = R. w’ = 0,2x3,3 = 0,66 m/s2

Cas n°1 : T = m . g = 2 x 10 = 20 N Cas n°2 et n°3 : Données Cas n°2 Cas n°3 m = 2 kg Poulie : M = 5kg R = 20cm fixée au plafond. m1 = 2 kg m2 = 3 kg Poulie : R=20 cm r =10cm Jp =0,3kg·m2 Quelle est la tension dans la corde reliant la masse m à la poulie, celle reliant la masse m1 à la poulie et celle reliant la masse m2 à la poulie ? Cas n°1 : T = m . g = 2 x 10 = 20 N Cas n°2 et n°3 : T1 = m1 . g = 2 x 10 = 20 N T2 = m2 . g = 3 x 10 = 30 N

Exercice 4 : solide en liaison pivot On considère un ensemble S en liaison pivot d’axe (A,x). A B C P G x y O AG = 0,15; AB = 0,32; AC = 0,4 I(A,x) = 8 . 10-3 kg.m2 * Cette liaison pivot est obtenue par l’association d’une rotule en A et d’une linéaire annulaire d’axe Bx. * Le poids est modélisable en G par : * Le couple moteur est modélisable en C par :

4.1/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’ensemble S au point A et déterminer les composantes dans R des actions mécaniques extérieures agissant sur S. *Transfert des torseurs au point A :

* PFD : * Équations : * Résolution :

4.2/ Déterminer l’accélération angulaire q’’ du mouvement de S/R et en déduire la nature du mouvement. 4.3/ Déterminer le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de régime N = 1500 tr / mn.