? ? I) Evaluation de l’incertitude Type 3 ;5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 10 1.1 Evaluation de type A de l’incertitude type -la moyenne : ? exemple 1 : série de mesurage en C° 3  ;5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 10 q1 ;q2 ;q3 ;q4 ;q5 ;q6 donc n = 6 Quelle est la moyenne de la série de mesurage ? - la variance expérimentale des observations : ? S²= ((3-5.5)²+(5-5.5)²+ (5-5.5)²+ (5-5.5)²+ (5-5.5)²+(10-5.5)²)/(6-1) - écart type expérimental : En reprenant l’Exemple 1 : Quelle est l’écart type de la série de mesurage ? En pratique il est plus commode d’utiliser l’écart type car il a la même dimension que « q »

1.2 Exercice 1 incertitude type A : - incertitude type de la moyenne : u = S / √n Calculez l’incertitude type de la moyenne: Donc moyenne + unité +incertitude = 5.5 C°+/- 0.955  5.5 C° +/- 1 C° 1.2 Exercice 1 incertitude type A : N° Résultats en C° 1 99,56 11 98,25 2 99,89 12 101,84 3 96,90 13 99,74 4 99,49 14 100,42 5 100,68 15 101,20 6 100,33 16 99,03 7 98,18 17 100,07 8 98,61 18 102,36 9 101,57 19 102,72 10 100,95 20 101,11 Soit un thermomètre A :résultats de mesurages Tracez l’histogramme : en abscisse : avec un pas de 1c° en commençant par 95.5 c° --En ordonné: le nb d’observation par pas 95.5  évaluez la moyenne visuellement :  calculez la moyenne :  calculez l’écart type expérimentale:   en déduire l’incertitude type de la moyenne:

Histogramme On doit mesurer un Ø Le plan indique: 13.3+/-0.1 Gauss

1.3 Exercice 2: incertitude type A :choix d’un instrument de mesure et incertitude Cote du plan: 10 mm+/-0.02 On utilise un µm digitale de résolution 0.001 1) Vérifiez que la résolution « R » de l’appareil est assez grande ! Formule: IT/R >10 0.04/0.001= 40  ok Un laboratoire de métrologie nous donne les valeurs vraies de 5 pièces Pièces n° 1 2 3 4 5 Valeurs vraies 10.010 10.018 10.027 10.033 10.040 1 2 3 4 5 10.008 10.017 10.028 10.032 10.039 10.009 10.018 10.025 10.016 10.026 10.031 10.010 10.027 10.033 10.040 Résultats des mesurages  2) Différence des moyennes de mesurage ?  3) Moyenne des Ecarts type ?  4) incertitude type de la moyenne ?  5) capabilité du moyen de contrôles ?

pieces n° 1 2 3 4 5   valeurs vraies 10.010 10.018 10.027 10.033 10.040 moyenne des valeurs vraies 10.02560  mesurages 10.008 10.017 10.028 10.032 10.039  avec µm 10.009 10.025 10.016 10.026 10.031 10.01 10.04 x/ écart type (S) 0.0008 0.0007 0.0011 0.0004 10.02464 moyenne des mesurages 0.00079 moyenne des écarts types σm -0.00096 Différence des moyennes

donc le moyen de contrôle est capable. 1.3 Exercice 2: incertitude type A :choix d’un instrument de mesure et incertitude Résolution du µm : 0.001 mm Sensibilité du µm : 0.001 mm -l’erreur de justesse = 10.02464 – 10.02560 = - 0.00096 mm = - 0.001mm la moyenne des mesurages est juste à 0.001 mm près (par rapport à la moyenne des valeurs vraies)  L’incertitude type de la moyenne est : -Donc la moyenne est 10.025 mm + /- 0.000159  négligeable vue la résolution au millième - Si l’on considère que nous allons toujours mesurer dans les mêmes conditions alors nous pouvons dire que l’incertitude globale est U= +/- 3 σm = +/- 3 x 0.00079= +/- 0.00237mm - Ici seul l’instrument est considéré comme composante de l’incertitude car nous voulons caractériser l’instrument de mesure appelé « µm » pour savoir s’il est adapté à nos besoins. En en déduit alors la capabilité du moyen de contrôle. (IT/4 >2U)  Cmc= 0.04 / (2x0.00237) = 8.44 >4 donc le moyen de contrôle est capable.

L’expérience vous montre qu’on ne dépasse pas la moitié d’une unité 1.4 Evaluation de type B de l’incertitude type L’incertitude de type B peut provenir et s’exprimer à partir de différentes sources d’informations : - des résultats de mesures antérieures - les spécifications du fabricant - les données fournies par des certificats d’étalonnage. - l’incertitude assignée à des valeurs de référence provenant d’ouvrages et manuels. - ……. Basée sur l’expérience et les connaissances générales. ( De la pratique est donc souvent nécessaire : manipulations … ; expériences…) Fiabilité: méthode type B = méthode type A - Exemple 1 : En chimie dans un TP Vous devez remplir une fiole de 100ml L’incertitude de la fiole est +/-1% Soit ici 100ml +/- 1ml - Exemple 2 : En optique : dans le calcul des distances focales ou autres…. vous utilisez une règle graduée… 30 cm 0 cm L’expérience vous montre qu’on ne dépasse pas la moitié d’une unité Nous pouvons dire que l’incertitude est +/- 0.5 cm Cas où incertitude < résolution de l’appareil

L’incertitude type de l’étalon est alors u(m)= 240 / 3 = 80 µg - Exemple 3 : Un certificat d’étalonnage indique que la masse m d’un étalon de masse en acier de valeur nominale égale à 1 kilogramme est de 1000,000325 g et que l’incertitude sur cette valeur est égale à 240 µg au niveau de 3 écarts types. L’incertitude type de l’étalon est alors u(m)= 240 / 3 = 80 µg - Exemple 4: L’incertitude de type B peut faire appel à d’autres lois lorsque l’on a peu de connaissances sur le phénomène : exemple loi rectangle (uniforme) et loi triangle Loi rectangle : nous avons seulement 2 informations ; une limite max et une limite min Incertitude type= (½(valeur max- valeur min) / √3) Loi triangle : nous avons 2 informations mais nous soupçonnons que beaucoup d’observations ou de mesurages sont proches de la moyenne. Alors Incertitude type= (½(valeur max- valeur min) / √6)

La méthode de type A ou la méthode de type B 1.5 Résumé incertitude type Incertitude type d’une composante ou d’une grandeur influente du mesurande. 2 possibilités à ce jour : La méthode de type A ou la méthode de type B Méthode de type A : évaluation de l’incertitude type par une méthode statistique (moyenne, écart type…) ≠ entre exercice 1: incertitude d’une série de mesures (C°) ce qui prend en compte l’appareil, l’opérateur, le milieu …. et exercice 2: incertitude d’une série de mesures (µm) par rapport à un étalon dans le but de choisir un instrument ou de vérifier sa Qualité Méthode de type B : évaluation de l’incertitude type de par l’Expérience et la Connaissance.

II Détermination de l’incertitude Type composée 2.1 bilan des causes d’incertitudes, uc, élargissement Plusieurs phénomènes à la fois peuvent influencer l’incertitude d’un résultat. Donc : Evaluer une incertitude de mesure, c’est:  - Identifier les différents facteurs qui y contribuent  bilan des causes d’incertitudes - Quantifier ces facteurs par une méthode ( type A ou B) sous forme d’écart type - Calculer l’incertitude type composée « uc » qui est la somme des écarts types des facteurs d’incertitudes. - Appliquer si besoin un coefficient k pour obtenir l’incertitude élargie U où U= k . uc Bilan des causes d’incertitude : On utilise le diagramme d’Ishikawa basée sur les 5M Effet Milieu Main-d’oeuvre Méthode Machine Matière Causes :

Facteur 3 : Caractéristique de l’instrument de mesure - Exemple : en métrologie : Milieu : exemple : T°, humidité, bruit, …… Matière : dureté, viscosité, couleur,…  Main-d’œuvre : différents opérateurs Méthode : différentes méthode de mesures Machine : Caractéristique de l’appareil de mesure Ici 3 facteurs sont les causes de l’incertitude : Facteur 1 : T° Facteur 2 : Méthode de mesure A Facteur 3 : Caractéristique de l’instrument de mesure Incertitude « U » de mesure Milieu : T° Main-d’oeuvre Méthode : Méthode de mesure A Machine : Caractéristique de l’instrument de mesure Matière Causes : Quantifier les facteurs : Détermination des incertitudes types (par les écarts types) avec méthode de type A ou B voir « I Evaluation de l’incertitude type » soit σ1 et σ2 et σ3

P= f(V, Ro, α, t) = V² / R0[1+ α(t-t0)] Incertitude type composée : Incertitude élargie U : l’incertitude de mesure peut être associé à un « coefficient de sécurité ». On obtient alors l’incertitude élargie U Avec U = k . uc ( k est le facteur d’élargissement) Un coefficient k ne peut être choisi que si tous les facteurs qui composent l’incertitude sont issues de la méthode de type A. - Exemple : si l’on veut déterminer l’incertitude avec un niveau de confiance de 99 % et pour un échantillon de taille infinie alors k = 2.58 (2.576) voir table G2 (norme NF ENV 13005) 2.2 Propagation de l’incertitude vu jusqu’à présent l’évaluation de l’incertitude d’1 mesurande Que se passe t-il lorsque les incertitudes s’insèrent dans une formule ? Exemple : puissance P dissipée par une résistance lorsque l’on applique une différence de potentiel V aux bornes de celle-ci. P= f(V, Ro, α, t) = V² / R0[1+ α(t-t0)]

Alors la variance est égale à : On doit normalement passer par les dérivées partielles  P= f(V, Ro, α, t) = V² / R0[1+ α(t-t0)] Alors la variance est égale à : u²(P)= [c1.u(V)]² + [c2.u(R0)]² + [c3.u(α)]² + [c4.u(t)]² avec u(V) u(R0) u(α) u(t) les incertitudes types Plus simple de passer par les log népériens pour les formules simples. On en déduira alors l’incertitude type relative Exemple : mode opératoire avec ln : 1) on égale les log népériens des 2 membres : ln (y) = ln X + ln(Z) – ln (V+X) 2) on différencie chaque membre : 3) on effectue toutes les mises en facteurs possibles

Le diagramme d’Ishikawa peut vous aider. Sens de « l’imprécision » inconnue des résultats de X, V, Z. on s’en affranchit en majorant les incertitudes. Ainsi ∆X = - |dx| , les signes – deviennent + = incertitude relative 2.3 Résumé : Pour déterminer une incertitude de mesure:  -1- Déterminer les facteurs ou causes d’incertitudes et faire un bilan. Le diagramme d’Ishikawa peut vous aider. -2- Quantifier ces différents facteurs en déterminant leurs écarts types respectifs par les méthodes de type A ou B (incertitude type) -3- Déterminer l’incertitude type composée uc -4- Donner une incertitude élargie U=k.uc quand il n’y a qu’une seule sorte de variable dans le mesurande (exemple : donner la distance entre 2 pts) Lorsque l’incertitude se propage dans une formule avec plusieurs variables. Ex : P= f(V, Ro, α, t) = V² / R0[1+ α(t-t0)] -a) Alors répéter les étapes 1 à 3 pour chaque variable. -b) Utiliser les dérivées partielles ou bien passer par les log népériens pour les formules simples en calculant l’incertitude relative. -c) Donner une incertitude élargie.