Forces centrales et mouvement des planètes: CHAPITRE 4 : Les Sciences de l’Univers Section 2 :« Astronomie Sphérique et Mécanique Céleste» Forces centrales et mouvement des planètes: DEFINITION: On appelle « Force centrale » ou « champ de force central », toute force agissant sur un point matériel et possédant les propriétés : * Elle est toujours portée par la droite joignant le point matériel à un point fixe O, dit « centre de force », * Son module ne dépend que de la distance « r » au point O. Attraction si avec Répulsion si

PROPRIETES: Quand un point matériel se déplace dans un champ de force central, on a les propriétés suivantes : 1) La trajectoire (orbite) du point matériel est une courbe plane. 2) Le moment cinétique du point matériel est conservé (constant). 3) Le point matériel se déplace de façon telle que le vecteur position (rayon vecteur) balaie des aires proportionnelles aux temps mis pour les balayer, i.e. le taux de variation de l’aire (vitesse aréolaire) est constant (Loi des aires).

Démonstration: Propriété 1: On a : , , , Considérons: Vecteur constant Prenons: On conclut, que le rayon vecteur est toujours perpendiculaire à un vecteur constant. D’où le rayon vecteur va définir une orbite dans le plan perpendiculaire au vecteur constant. Le mouvement a lieu dans ce plan et la trajectoire est donc plane. Choisissons ce plan comme étant le plan xoy et plaçons l’origine au centre de force.

Propriété 2: On a vu que le vecteur est un vecteur constant. En multipliant par la masse « m », on obtient : Le moment cinétique orbital est constant. Propriété 3: Vitesse aréolaire

= Constante EQUATIONS DU MOUVEMENT ET TRAJECTOIRE: Puisque la trajectoire est plane (soit le plan xoy), utilisons le système de coordonnées polaires. Les équations du mouvement sont : Solutions: , De la deuxième équation, on déduit que : = Constante

Des équations de mouvement, on déduit les équations utiles suivantes: Où: Problème: Trouver l’équation de la trajectoire : à partir des équations paramétriques : et

Remarque importante: Type d ’orbite Nature de la force centrale Pour une orbite donnée, il peut exister une infinité de champs de force dans lesquels cette orbite est possible. Cependant, quand un champ de force central existe, il est unique. Exemple 1: Trouvons la trajectoire d’un point matériel en sachant qu’il est soumis à un champ de force central du type : avec

Solution: Posons , alors on a : D ’où : La solution générale de cette équation différentielle est : avec: D ’où : et

Exemple 2: Un point matériel situé dans un champ de force central décrit une orbite circulaire passant par le centre de force O. Trouver la loi de force.

On a : D ’où: