Optimisation et complexité Sujet TAI : Programmation mathématiques linéaire Intervenants : Thomas Abbas, Damien Guillermet. Sébastien Roth.

Déroulement - Plan 1ère partie : 2nde partie : 3ième partie : Méthode du simplexe pour une recherche d’optimum en présence d’une PML quelconque. 2nde partie : Exécution suivie et détaillée du programme de résolution. 3ième partie : La PML paramétrée.

La méthode du simplexe pour une PML quelconque Concepts abordés : forme standard, critères de Dantzig, recherche maximum, minimum.

Méthode du Simplex (Dantzig) La forme standard A différencier de : La forme canonique Inégalités ( ≤ ; ≥ ) Recherche de Maximum pour ≤ et Minimum pour ≥ La forme mixte Egalités en plus (=) Recherche de Maximum et de Minimum Transformation des formes canoniques et mixte : Tout doit être sous forme d’égalités Il y a des règles de transformation

Méthode du Simplex (Dantzig) Règles de transformation Inégalités ≤ Exemple : x1 + x2 ≤ 6 Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0 Mesure pour chaque variable de base (qte de produits) de l’écart entre les disponibilités et les consommations prévues (x1 et x2) dans notre plan (Ouf!) Application à l’exemple : x1 + x2 + e3 = 6

Méthode du Simplex (Dantzig) Règles de transformation Inégalités ≥ Exemple : x1 + x2 ≥ 6 Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0 Et d’une variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici + 6) Son rôle : rattraper la condition impossible «e3 = - 6» puisque e3 est supposée ≥0 ! Application à l’exemple : x1 + x2 - e3 + e4= 6 La solution initiale recherchée comprendra : 3 variables hors base : x1=0 ; x2=0 ; e3=0 1 variable dans la base : e4=6

Méthode du Simplex (Dantzig) Règles de transformation Egalités = Exemple : x1 + x2 = - 6 Une unique variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici - 6) Application à l’exemple : x1 + x2 - e3 = - 6 La solution initiale recherchée comprendra : 2 variables HB : x1=0 ; x2=0 1 variable B : e3= - 6

Méthode du Simplex (Dantzig) Obtention de la fonction économique Γ Chaque VE => 0.VE (Recherche de Max ou Min) Chaque VA => ± M . VA +M.VA si recherche d’un minimum - M.VA si recherche d’un maximum M : très grand positif (Hors Base) > Donne une VA nulle à la solution finale (non prise en compte) Remarque : Les VE issues de contraintes = ou ≥ sont HB

Critères de Dantzig Premier critère : la Ve Recherche de minimum Variable entrante = HB au plus petit coeff strictement négatif dans Γ Complément : sans coeff <0 mais un nul : elle est Ve Recherche de maximum Variable entrante = HB au plus grand coeff strictement positif dans Γ Complément : sans coeff >0 mais un nul : elle est Ve Remarque : à la main, exprimer Γ en fonction des variables HB (coeffs comprenant des M)

Critères de Dantzig Deuxième critère : la Vs Recherche de minimum ou de maximum R’ = R/Ve Ve = Var entrante trouvée précédemment R = Valeur du second membre de chaque variable B Vs = plus petite valeur positive dans R’ Correspond au coefficient le plus mineur parmi les variables B après intégration de la Ve

Critères de Dantzig Complément sur les règles Si un coeff nul apparait dans R (disparition d’une var B) = ε petit >0 Donc R’ = ε/aij aij : coeff appartenant à la Ve SSI aij > 0 Si aucun terme de R’ n’est > 0 mais qu’il en existe un nul Il est pris en compte Appelé dégénérescence du problème (plusieurs bases admissibles peuvent avoir un même point extrême) Si tous les coefficients de R’ sont strictement négatifs L’algorithme est fini : la zone admissible des solutions (ZAS) n’est pas bornée !

Exécution du programme Pas à pas avec un exemple.

Déroulement d’un exemple Initialisation X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ 1 3 6 -1 2 ᴦ 400010 200020 -200000 400000 1 2 10 20 3 1 3 -1 6 1 -1 -1 2 2 1 1 2

Déroulement d’un exemple Première itération X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ 1 3 6 -1 2 ᴦ 400010 200020 -200000 400000 0.999975 On sélectionne la Variable entrante : la variable qui a la plus grande valeur sur la ligne ᴦ. On l’utilise pour calculer R’.

Déroulement d’un exemple Première itération X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ 1 3 6 -1 2 ᴦ 400010 200020 -200000 400000 0.9999 On sélectionne la Variable sortante: la variable qui a la plus petite valeur positive sur la colonne R’ : Ici la ligne 3.

Déroulement d’un exemple Première itération X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ 2.5 1 0.5 -0.5 5 -1.5 ᴦ 15 -200005 -10 -1.5 = -1 – (1*0.5) On calcule le nouveau tableau: - On calcule d’abord la ligne de la variable entrante (on divise toutes les valeurs de la ligne par l’intersection entre la Variable entrante et sortante) - Puis on calcule toutes les colonnes en fonction de la ligne calculée en soustrayant à la valeurs d’origine le produit de la valeur de la variable entrante dans cette ligne là et la valeur de X1 dans cette colonne du nouveau tableau.

Déroulement d’un exemple Deuxième itération X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ 2.5 1 0.5 -0.5 5 2 -1.5 -0.6667 ᴦ 15 -200005 -10 A partir du tableau précédent, on recommence le même algorithme : On sélectionne la variable entrante, on calcule le R’ et on en déduit la variable sortante.

Déroulement d’un exemple Deuxième itération X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ X2 1 0.4 0.2 -0.2 2 0.6 0.8 -0.8 4 -0.6667 -0.6 ᴦ -6 -200002 -40 On recalcule le nouveau tableau.

Déroulement d’un exemple Troisième itération X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ X2 1 0.4 0.2 -0.2 2 10 0.6 0.8 -0.8 4 5 -0.6 ᴦ -6 -200002 -40 -20 A partir du tableau précédent, on recommence le même algorithme : On sélectionne la variable entrante, on calcule le R’ et on en déduit la variable sortante.

Déroulement d’un exemple Troisième itération X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ X2 1 0.25 -0.25 0.75 1.25 -1 5 3 ᴦ -7.5 -2.5 -200000 -50 On calcule le nouveau tableau. On obtient un tableau dont tous les ᴦ sont négatif. On arrête donc notre algorithme car on a la solution optimale.

Déroulement d’un exemple Conclusion X1 x2 Ve1 Ve2 Ve3 Va1 R R’ X2 1 0.25 -0.25 0.75 1.25 -1 5 3 ᴦ -7.5 -2.5 -200000 -50 On a donc X1 qui vaut 3 et X2 qui vaut 1 pour une valeur optimale de la fonction économique qui vaut 50

Programmation mathématiques linéaire illustrée à travers un exemple La PML paramétrée Programmation mathématiques linéaire illustrée à travers un exemple

Présentation Le concept de PML paramétrée intervient pour tester « l’exactitude » de la solution dite optimale obtenue lors de la résolution du programme linéaire par la méthode du simplexe par exemple. En effet, la fonction économique d’un système peut présenter des coefficients mal connus dans les contraintes. Ainsi, une variation de ces paramètres peut entrainer une modification de l’optimum. Dans le cas pratique d’une décision de production par exemple, cette marge d’erreur doit donc être évaluée.

Application Méthode : Tester chaque coefficients de la fonction économique comme un paramètre variable et chercher l’optimum pour toutes ses valeurs. On se propose d’appliquer cette méthode à un exemple concret. Supposons un système tel que : x1 + 3*x2 ≤ 6 x1 – x2 ≤ 2 2*x1 + x2 ≥ 2 γ = 10*x1 + 20*x2

Application – Calcul γ Et le tableau final obtenu à l’issu de la résolution par la méthode du simplexe : . x3 x4 R R’ x2 1 0.25 -0.25 x5 0.75 1.25 -1 5 x1 3 γ -7.5 -2.5 -200000 -50 La fonction économique présente 2 coefficients dans les contraintes, nous traiterons donc pour l’exemple le premier coefficient : Substituons c=10 par c=10*(1+ λ) avec λ>-1 On a alors : γ = 10*(1+ λ)*x1 + 20*x2 γ = (7.5+2.5 λ)*x3 + (2.5+7.5 λ)*x4 + 50 + 30 λ

Application – Valeurs critiques La mise en évidence des valeurs critiques est basée sur l’annulation des coefficients des valeurs hors base, nous obtenons ici : λ1 = -3 λ2 = -1/3 = -0.33 Remarque : La valeur critique -3 ne sera pas prise en compte car elle ne satisfait pas les conditions initiales ( λ>-1 ). Nous pouvons maintenant émettre 2 hypothèses…

Application - hypothèses 1ière possibilité : -1 < λ < -0.33 (soit c < 6.67) On doit alors poursuivre l’algorithme car présence d’un coefficient positif dans la fonction économique. Ici, choix de la VE : x4, et de la VA : x5 Le tableau devient : . x3 x5 R R’ x2 1 0.4 0.2 -0.2 2 x4 0.6 0.8 -0.8 4 x1 -0.6 γ 9+2.5λ -2 60+30λ L’optimum est donc obtenu pour x2=2 et x1=0 : point C. γ=60+30 λ

Application - hypothèses 2nde possibilité : λ > -0.33 (soit c > 6.67) On poursuit l’algorithme car présence d’un coefficient positif dans la fonction économique. Ici, choix de la VE : x3, et de la VA : x2 Le tableau devient : . x2 x4 R R’ x3 4 1 -1 x5 -3 2 x1 γ 30 -5+7.5λ 80+30λ L’optimum est donc atteint pour x2=0 et x1=2 : point A. γ=80+30 λ

Application - Conclusions La décision optimale de répartition dépend du coefficient c : si c < 6.67 alors x2opt=2 et x1opt=0 si c > 6.67 alors x2opt=0 et x1opt=2 Représentation graphique :

Fin de la présentation Merci de votre attention Réalisé par : Thomas Abbas, Sébastien Roth, Damien Guillermet.