Structures spatiales Surfaces planes Membranes Coques Grilles Plaques Filets Coques

Flexion : rappels de poutres Effort normal Ty Effort tranchant Mz Moment Fléchissant Mt Moment de torsion

Flexion Rappel sur les poutres G sx : traction sx : compression G

P/2 P G sx : traction sx : compression + - Moment Mz Effort tranchant Ty

Structures planes Le transfert des charges s'effectue dans le sens de la structure primaire La charge est reprise par un seul élément Les murs parallèles à la structure primaire ne sont pas sollicités

Structures planes

Réseaux de poutres La charge est transférée dans 2 directions perpendiculaires Chaque poutre supporte la moitié de la charge P Les intensités des réactions d'appuis sont diminuées

Effet bi-dimensionnel Le déplacement étant identique, c’est la poutre la plus rigide qui reprend la plus grande part de la charge Déplacement Force raideur

Condition pour un véritable effet bi-directionnel Raideurs voisines : K = n.EI/L3 Exemple : Matériaux identiques (E) Sections identiques (I) Conditions de liaison identiques (n) Portées dans un rapport de 2 Il faudrait compenser avec l’inertie ou les conditions de liaison Pour des poutres de même section et condition de liaison, L’action bi-directionnelle n’existe effectivement que pour un rapport de portées inférieur à 1,5

Réseaux de poutres Le principe reste le même pour un réseau de poutres : la descente de charge se fait selon les éléments les plus raides

Poutre continue sur 5 appuis, dont les trois centraux sont élastiques Réseau de poutres Chaque poutre peut être vue comme étant une poutre continue sur plusieurs appuis élastiques. Poutre continue sur 5 appuis Poutre continue sur 5 appuis, dont les trois centraux sont élastiques

Réseaux de poutres

Réseau biais Les portées sont les mêmes dans les deux directions :

avantages/inconvénients Avantage sur l’élancement : Systèmes 1-D normaux : entre 10 et 20 Réseau de poutres carré : entre 30 et 40 Réseau de poutres biais : jusqu’à 60 Inconvénient sur le coût des liaisons

Torsion La flexion d’une poutre provoque un pivotement des sections des poutres perpendiculaires

Torsion

Fermés : raides à la torsion Conditions : Les poutres doivent avoir une raideur en torsion Les poutres orthogonales doivent être encastrées l’une sur l’autre. Dans ces conditions, la torsion peut reprendre de 20 à 30% des efforts Fermés : raides à la torsion Souples à la torsion

La torsion induit du cisaillement dans le repère de la poutre

Plaques

Flexion dans plusieurs directions On peut voir la plaque comme un réseau de poutres jointives, soudées. Dans quelles directions imaginer ce réseau?

Etat bi-axial de contrainte

Etat bi-axial de contrainte

Etat bi-axial de contrainte

Etat bi-axial de contrainte Pas de cisaillement : on est dans les directions principales de contrainte

Etat bi-axial de contrainte

Etat bi-axial de contrainte A 45° des directions principales : le cisaillement est maximal

Flexion dans plusieurs directions Dans quelles directions imaginer le réseau?

Les directions de flexion principale correspondent avec les directions de contraintes principales. Ces directions varient en général d’un point à l’autre de la plaque. Elles correspondent aux trajets de descente de charge les plus efficaces. Dans ces directions, la torsion disparaît. Les directions principales de flexion sont données par les isostatiques, et calculables par modélisation numérique ou photoélasticimétrie

La torsion induit du cisaillement dans le repère de la poutre

Torsion dans une plaque Pas de torsion sans cisaillement du plan de la plaque Reprend environ 50% du transfert de charge pour une plaque carrée Raideur bien meilleure (env. 1,4 fois celles d’un réseau de poutres)

Face inférieure, contraintes en MPa

Isostatiques

Isostatiques et réseau de poutres Plan des poutres

Isostatiques et réseau de poutres

Plaques nervurées

Membranes

Le filet Câble : une force hors plan ne peut être équilibrée Stable Instable Stable Stable

Le cable L’efficacité dépend de la courbure F F

Le filet La descente de charge se fait selon les raideurs et les courbures maximales Les deux câbles travaillent, le rouge étant le plus chargé Seul le câble rouge travaille

Le filet Le câble change de forme si la force se déplace La surface est stable pour différents cas de charge F F Il faut qu’il existe une direction de courbure non-nulle dans le plan de la force

Membrane : l’isotropie Premier point de vue Par rapport au filet, la membrane possède une résistance dans toutes les directions, et en particulier dans la ou les direction(s) de courbure non-nulle.

Membrane : l’isotropie Deuxième point de vue t t1 a t t1 f Par rapport au filet, la membrane possède une résistance en cisaillement, et la distorsion initiale de la membrane donne une résultante du cisaillement non coplanaire.

Directions principales de courbure et de contrainte Les directions principales de courbure ne dépendent que de la géométrie (initiale) de la membrane. Les directions principales de contrainte dépendent (entre autres) du chargement. Ces directions ne sont en général pas confondues. La direction de courbure maximale reprend plus de charge que celle de moindre courbure.

Membranes textiles La très faible épaisseur l’empêche de travailler en compression. La membrane est donc géométriquement stable sous une charge répartie quelconque si : elle possède une double courbure (non développable). les deux contraintes principales sont de traction. Si la compression apparaît, il y a flambement, et la membrane ne conserve plus sa géométrie. D’ou la nécessité de précontraindre en traction la membrane, et de lui conférer une double courbure

Coques Des membranes capables de reprendre de la compression. Épaisseur plus grande Susceptibles travailler en flexion : Reprend des forces ponctuelles Réduit le flambement Reprend des forces linéiques : frontières de la surface Stabilité supérieure

Surfaces développables Ne sont pas auto-stables Ne sont pas funiculaires pour tout chargement Il faudrait une parabole pour être funiculaire sous une charge uniforme en projection horizontale Moment

Surface à double courbure La courbure dans une direction stabilise la surface dans l’autre direction : Pour aplatir une demi-sphère, il faut la déchirer suivant les méridiens. L’aplatissement des méridiens est empêché par la ceinture de parallèles. Dans un ‘hypar’ l’aplatissement de la direction comprimée est empêchée par la traction de la parabole perpendiculaire, et vice versa.

La forme est géométriquement stable sous une charge répartie quelconque si : elle possède une double courbure (non développable). La contrainte principale majeure de compression reste en-deça de la contrainte critique d’instabilité (flambement). Ici, la force étant ponctuelle, il faudrait une courbure infinie pour éviter la flexion