Membranes couplées et interaction avec le timbre: expériences numériques Stefan Bilbao Acoustics and Fluid Dynamics Group / Music University of Edinburgh CFA, Lyon: avril, 2010. Idée generale: simulation d’une caisse claire, en utilisant méthodes différences finites (temporelles)…avec but le synthèse sonore. Couplage numérique entre composantes: membranes, champ acoustique et timbre modèle schémas différences finies simulations et exemples sonores comparaison: modèle piston coût de calcul

Modèle: région 3D c: célérité de l’air pression vitesse 1e ordre Intérieur du domaine (parallélépipède): l’équation des ondes, en 3D: c: célérité de l’air Ψ: une fonction potentielle, liée aux variables acoustiques par: Condition de limite Neumann, sur une cylindre rigide: pression vitesse Extérieur: conditions absorbantes (ici Engquist-Majda…autres possibilités!) 1e ordre 2e ordre

Modèle: membranes v(x,y,t), w(x,y,t): déplacements transversales membranes: l’équation des ondes 2D, avec termes supplémentaires… v(x,y,t), w(x,y,t): déplacements transversales ρv, ρw: densités, kg/m2 (différentes en general) Tv, Tw: tensions kg/s2 (différentes en general) …: autres termes (pertes internes, raideur, effets nonlinéaires) conditions de limite: fexc: force dû à l’excitation fsnare: force dû à l’interaction avec les colles f(+), f(-): forces dû à l’interaction avec le champ acoustique… f(+)(x,y,t) f(-)(x,y,t)

Couplage membrane/champ acoustique Membrane: position d’équilibre, à z=z0, avec déplacement transversale v(x,y,t) f(+)(x,y,t) z v(x,y,t) ψ(z0 + ε) z=z0 ψ(z0 - ε) f(-)(x,y,t) Pression: Continuité de vitesse:

Excitation Modèle typique d’excitation: masse/ressort, avec raideur nonlinéaire…utilise

Modèle: timbre ensemble de fils fixés au membrane de résonance… fils hélicoïdales…sous tension en contact partiel avec la membrane… Ensemble de fils (12-15) membrane support régions de contact support fil modèle simple: l’éq. des ondes 1D (corde): collisions distribuées: : qème fil: force totale sur membrane: région totale de contact, fil q

Différences finies: 3D k: pas temporel (=1/fs) h :pas spatial Discrétisation spatiale/temporelle: k: pas temporel (=1/fs) h :pas spatial schéma simple (2e ordre) pour l’éq. des ondes: avec Condition de stabilité (von Neumann, analyse énérgetique): Spécialization du schéma necessaire aux bords…(cylindre rigide, et exterieure): Travaux liés (timpani) Rhaouti, Chaigne et Joly, JASA, 1999.

Différences finies: 2D/1D discrétisation spatiale/temporelle: k: pas temporel (=1/fs) hv,hw :pas spatiaux, membranes (distincts) hr::pas spatial, fils (egaux) schémas 2D: schémas 1D: cond. de stabilité: cond. de stabilité: spécialization des schémas aux limites…

Choix des pas spatiaux et interpolation Condition de stabilité: indique un pas spatial minimal pour un pas temporel donné. Choisir le pas spatial loin de cette limite dispersion numérique et limitation de largeur de bande sévère! h = hmin h = 2hmin pas distincts pour membranes, espace acoustique et fils  interpolation nécessaire plusieurs choix…linéaire/bilinéaire est simple (et pas coûteux) Ψ(+) r v w Ψ(-)

Simulations: membranes et rayonnement

Simulations: interaction membrane/timbre

Exemples sonores

Comparaison: modèle piston Un modèle simple utilisé souvent dans l’acoustque musicale (Rossing et al, JASA, 1992), et aussi en synthèse sonore (Avanzini et al, IEEE Transactions on Audio Speech and Language Processing, 2010). Couplage depend sur le module d’elasticite B de l’air, et le volume totale V0… A noter: que de communication des modes axisymétriques entre les deux membranes… déplacement des fréquences modales (couplées) est tres differente… densite modale (manquant les modes de la cavité) est réduite… dynamique du timbre est plus cohérente… Comparaison sonore (manquant: bon modèle de rayonnement!)

Coût de caclul Coût dominant: calcul de la solution de l’éq. des ondes 3D… Supposons une région de volume V, et un pas spatiale de La mémoire et nombre d’opérations/seconde sont, pour un schéma 2e ordre: Pour une système typique: c = 340 m/s k = 1/32000 s V = 0.53 m3 …qui est grande, mais pas énorme, et pas loin (en théorie!) de temps-réel. Très importante alors, d’avoir une condition absorbante qui permet une région de computation minimale! Pour le modèle piston, les coûts sont beaucoup reduits!

Perspectives Une modele tres simple, geree vers la simulation des tambours… Couteux, mais pas enormement… Une modele trop simple: Coque cylindrique pas modelisee