Chapitre 3 :Algèbre de Boole Définition des variables et fonctions logiques Les opérateurs de base et les portes logiques . Les lois fondamentales de l’algèbre de Boole

1. Introduction Les machines numériques sont constituées d’un ensemble de circuits électroniques. Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée ( addition, comparaison ,….). Circuit A F(A,B) B La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction

Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir un modèle mathématique de la fonction réalisée par ce circuit . Ce modèle doit prendre en considération le système binaire. Le modèle mathématique utilisé est celui de Boole.

2. Algèbre de Boole George Boole est un mathématicien anglais ( 1815-1864). Il a fait des travaux dont les quels les fonctions ( expressions ) sont constitués par des variables qui peuvent prendre les valeurs ‘OUI’ ou ‘NON’ . Ces travaux ont été utilisés pour faire l’étude des systèmes qui possèdent deux états s’exclus mutuellement : Le système peut être uniquement dans deux états E1 et E2 tel que E1 est l’opposé de E2. Le système ne peut pas être dans l’état E1 et E2 en même temps Ces travaux sont bien adaptés au Système binaire ( 0 et 1 ).

Exemple de systèmes à deux états Un interrupteur est ouvert ou non ouvert ( fermé ) Une lampe est allumée ou non allumée ( éteinte ) Une porte est ouverte ou non ouverte ( fermée ) Remarque : On peut utiliser les conventions suivantes : OUI  VRAI ( true ) NON  FAUX ( false) OUI  1 ( Niveau Haut ) NON  0 ( Niveau Bas )

3. Définitions et conventions 3.1. Niveau logique : Lorsque on fait l’étude d’un système logique il faut bien préciser le niveau du travail. Niveau Logique positive Logique négative H ( Hight ) haut 1 L ( Low ) bas Exemple : Logique positive : lampe allumée : 1 lampe éteinte : 0 Logique négative lampe allumée : 0 lampe éteinte : 1

3.2. Variable logique ( booléenne ) Une variable logique ( booléenne ) est une variable qui peut prendre soit la valeur 0 ou 1 . Généralement elle est exprimée par un seul caractère alphabétique en majuscule ( A , B, S , …) Exemple : Une lampe : allumée L = 1 éteinte L = 0 Premier interrupteur ouvert : I1 =1 fermé : I1 =0 2éme interrupteur ouvert : I2=1 fermé : I2=0

3.3. Fonction logique C’est une fonction qui relie N variables logiques avec un ensemble d’opérateurs logiques de base. Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de base : NON , ET , OU. La valeur d’une fonction logique est égale à 1 ou 0 selon les valeurs des variables logiques. Si une fonction logique possède N variables logiques  2n combinaisons  la fonction possède 2n valeurs. Les 2n combinaisons sont représentées dans une table qui s’appelle table de vérité ( TV ).

Exemple d’une fonction logique La fonction possède 3 variables  23 combinaisons A B C F 1 Une table de vérité

4. Opérateurs logiques de base 4.1 NON ( négation ) NON : est un opérateur unaire ( une seule variable) qui à pour rôle d’inverser la valeur d’une variable . F(A)= Non A = ( lire : A barre ) A A 1

4.2 ET ( AND ) Le ET est un opérateur binaire ( deux variables) , à pour rôle de réaliser le Produit logique entre deux variables booléennes. Le ET fait la conjonction entre deux variables. Le ET est défini par : F(A,B)= A . B A B A . B 1

4.3 OU ( OR ) Le OU est un opérateur binaire ( deux variables) , à pour rôle de réaliser la somme logique entre deux variables logiques. Le OU fait la disjonction entre deux variables. Le OU est défini par F(A,B)= A + B ( il ne faut pas confondre avec la somme arithmétique ) A B A + B 1

Remarques Dans la définition des opérateurs ET , OU , nous avons juste donner la définition de base avec deux variables logiques. L’opérateur ET peut réaliser le produit de plusieurs variables logique ( ex : A . B . C . D ). L’opérateur OU peut aussi réaliser la somme logique de plusieurs variables logiques ( ex : A + B + C +D). Dans une expression on peut aussi utiliser les parenthèses.

4.4 Précédence des opérateurs ( priorité des opérateurs ) Pour évaluer une expression logique ( fonction logique) : on commence par évaluer les sous expressions entre les parenthèses. puis le complément ( NON ) , en suite le produit logique ( ET ) enfin la somme logique ( OU) Exemple : Exercice : Trouver la table de vérité de la fonction précédente ?

Solution Pour trouver la table de vérité , il faut trouver la valeur de la fonction F pour chaque combinaisons des trois variables A, B , C 3 variables  2 3 = 8 combinaisons A B C F 1

4.5 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole L’opérateur NON

L’opérateur ET

L’opérateur OU

Distributivité Autres relations utiles

5. Dualité de l’algèbre de Boole Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1. Exemple :

6. Théorème de DE-MORGANE La somme logique complimentée de deux variables est égale au produit des compléments des deux variables. Le produit logique complimenté de deux variables est égale au somme logique des compléments des deux variables.

6.1 Généralisation du Théorème DE-MORGANE à N variables

7. Autres opérateurs logiques 7.1 OU exclusif ( XOR)

7.2 NAND ( NON ET )

7.3 NOR ( NON OU )

7.4 NAND et NOR sont des opérateurs universels En utilisant les NAND et les NOR on peut exprimer n’importe qu’elle expression ( fonction ) logique. Pour cela , Il suffit d’exprimer les opérateurs de base ( NON , ET , OU ) avec des NAND et des NOR.

7.4.1 Réalisation des opérateurs de base avec des NOR

Exercice Exprimer le NON , ET , OU en utilisant des NAND ?

7.4.3 Propriétés des opérateurs NAND et NOR

8. Portes logiques Une porte logique est un circuit électronique élémentaire qui Permet de réaliser la fonction d’un opérateur logique de base .

Remarque : Les portes ET , OU , NAND , NOR peuvent avoir plus que deux entrées Il n’existe pas de OU exclusif à plus de deux entrées

8.1 Schéma d’un circuit logique ( Logigramme) C’est la traduction de la fonction logique en un schéma électronique. Le principe consiste à remplacer chaque opérateur logique par la porte logique qui lui correspond. Exemple1

Exemple 2

Exercice 1 Donner le logigramme des fonctions suivantes :

Exercice 2 : Donner l’équation de F ?