TAI Nombres et structures Résolution d’équation du 5éme degrés TAI Nombres et structures Ramos-David-Fouché-Frenot Groupe D

Plan Equation du 5éme degré Histoire des mathématiciens -Ferrari -Cardan Méthode de résolution

Equation Quintique ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f= 0 Une équation quintique est une équation polynôme dans laquelle le plus grand exposant de l‘inconnu est 5 On ne peut résoudre les équations Quintiques par radicaux. ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f= 0 A,b,c,d,e,f appartienne a un corps (complexe, entier, blabla) A =! 0

Ferrari Ludovico Ferrari : Mathématicien italien XVIéme siècle Elève de Cardan Célèbre pour avoir résolu l’équation du 4éme degré en la ramenant à une équation du 3éme degré. Ludovico Ferrari est l'élève et le collaborateur de Jérôme Cardan. Il est extrêmement brillant et Cardan commence à lui enseigner les mathématiques. Il est célèbre pour avoir résolu l'équation du quatrième degré en la ramenant à une équation du troisième degré

Cardan Girolamo Cardano : Mathématicien italien XVIéme siècle Maître de Ferrari Célèbre pour avoir résolu l’équation du 3éme degré par radicaux.

Résolution d’une équation quintique On doit trouver une racine du polynôme On utilise la méthode par dichotomie On fait la division euclidienne du polynôme par la racine trouvée On obtient un polynôme du 4éme degré

Méthode de dichotomie La méthode de dichotomie un algorithme de recherche d’un zéro d’une fonction qui consiste à répéter des partages d’un intervalle en deux parties puis à sélectionner le sous-intervalle dans lequel existe un zéro de la fonction.

Résolution d’une équation de degré 4 On cherche à ramener le polynôme de degré 4 à un polynôme de degré 3 On doit utiliser la méthode de Ferrari

Méthode de Ferrari 1/2 On a ax4 + bx3 + cx2 + dx + e= 0 On doit calculer plusieurs coefficients: F = c - (3b2/8) G = d + (b3 / 8) - (b*c/2) H = e - (3*b4/256) + (b 2 * c/16) - ( b*d/4) Après ce calcul, il suffit de mettre ces coefficients sous cette forme: X3 + (f/2)*X2 + ((f2 -4*h)/16)*X -g2/64 = 0 On obtient bien une équation du 3éme degré

Méthode de Cardan 1/2 Il faut maintenant résoudre l’équation du 3 éme degré obtenue : ax3 + bx2 + cx + d = 0 On doit calculer plusieurs coefficients: f = ( (3c/a) - (b²/a²) ) /3 g = ( (2b³/a³) - (9bc/a²) + (27d/a) ) /27 h = (g²/4) + (f³/27)

Méthode de Cardan 2/3 Si h > 0, l’équation possède 1 solution réelle et 2 complexes On calcule les coefficients: f = ( (3c/a) - (b²/a²) ) / 3 g =( (2b³/a³) - (9bc/a²) + (27d/a) ) / 27 h = (g²/4) + (f ³/27) S = ( -(g/2) + (h)½ )1/3 U = ( -(g/2) - (h)½ )1/3 On peut calculer les 3 solutions: Y1 = (S + U) - (b/3a) Y2 = -(S + U)/2 - (b/3a) + ( i*(S-U)*(3)½ / 2 ) Y3 = -(S + U)/2 - (b/3a) - ( i*(S-U)*(3)½ /2 )

Méthode de Cardan 3/3 Si h <= 0, l’équation possède 3 solutions réelles On calcule les coefficients: J = ( ((g²/4) - h) ½ ) 1/3 K = arccos (- (g / 2i)) L = j * -1 M = cos (K/3) N = (3 ½ ) * sin (K/3) P = (b/3a) * -1 Il reste a calculer les solutions: Y1 = 2j * cos(k/3)   -(b/3a) Y2 = L * (M + N) + P Y3 = L * (M - N) + P

Méthode de Ferrari 2/2 r = -G / (8*pq) s= b / (4*a) Prenons P et Q deux racines carrés de deux solutions Y non nulles p = Y1 ½ q = Y2 ½ r = -G / (8*pq) s= b / (4*a) On peut calculer les solutions de l’équation de degré 4 X1= p + q + r –s X2= p - q - r –s X3= -p + q - r -s X4= -p - q + r -s

Présentation du Programme de résolution d’equations du 5ème degré. Ramos-David-Fouché-Frenot Groupe D