Mathématiques Discrètes Chapitre 8: Arbres François Meunier DMI

Arbres ???

Définition: Un arbre est un graphe non orienté connexe avec aucun circuit simple. Rappel: Un cycle (circuit) est un chemin de longueur >=1 qui débute et se termine au même sommet (noeud).

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Arbre d’un tournoi Une forme commune d’arbre: Arbre de tournoi représentant les résultats d’une série de parties (ex: tennis). Alice Antonia Anita Abigail Amy Agnes Angela Audrey

Arbre généalogique La plupart des termes utilisés pour traiter des arbres découlent des notions d’arbre généalogique. Gaea Cronus Phoebe Ocean Zeus Poseidon Demeter Pluto Leto Iapetus Persephone Apollo Atlas Prometheus

Arbre des Ancêtres Un arbre généalogique inversé qui est en fait un arbre binaire. Iphigenia Clytemnestra Agamemnon Leda Tyndareus Aerope Atreus Catreus

Forêt Graphes contenant aucun cycle simple qui sont connectés, mais dont chaque composante connectée est un arbre.

Théorême: Arbre Une graphe non orienté est un arbre ssi un chemin unique simple existe entre deux de ces sommets.

Arborecence Dès qu’un sommet est considéré comme un sommet racine (noeud racine) de l’arbre, il est alors possible d’assigner une direction à chacun des liens. L’arbre combiné avec sa racine produit un graphe orienté appelé arborescence.

Arborecence g a b c d e f g e f b d a Choix du nœud a c

Noeud racine a b c d e f g h i Sommet interne parent de g feuille descendants

a b c d e f g h i ancêtres de h et i

a b c d e f g h i Sous arbre avec b comme racine Sous arbre avec c comme racine

Arbres m-aire Une arborecence est appelée un arbre m-aire si chaque noeud interne ne possède pas plus que m enfants. Cet arbre est un arbre m-aire complet si chaque noeud interne possède exactement m enfants. Un arbre m-aire avec m=2 est un arbre binaire.

Arborescence ordonnée Une arborescence dont les enfants de chaque noeud interne sont ordonnés. Les arbres ordonnés sont constitués de noeuds internes dont les enfants sont ordonnés de gauche à droite.

Propriétés des arbres Un arbre avec n sommets possèdent n-1 liens.

Propriétés des arbres Un arbre m-aire complet avec i sommets internes comprend n = mi+1 sommets.

Propriétés des arbres Un arbre m-aire complet avec: (i) n sommets a i = (n-1)/m sommets internes et l = [(m-1)n+1]/m feuilles. (ii) i sommets internes a n = mi + 1 sommets et l = (m-1)i + 1 feuilles. (iii) l feuilles a n = (ml - 1)/(m-1) sommets et i = (l-1)/(m-1) sommets internes.

Preuve: Sachant que n = mi+1 et n = l+i, n – nombre de sommets i – nombre de sommets internes l – nombre de feuilles Par exemple, i = (n-1)/m

Propriétés des arbres Le niveau d’un sommet v d’une arborescence est la longueur du chemin unique entre la racine et le sommet v. Niveau 2 Niveau 3

Propriétés des arbres La hauteur d’une arborescence est le nombre de niveaux maximum des sommets.

Propriétés des arbres Une arborescence m-aire de hauteur h est balancé si toutes ces feuilles sont sur les niveaux h ou h-1.

Propriétés des arbres Il y a au plus mh feuilles dans un arbre m-aire de hauteur h.

Propriétés des arbres Si un arbre m-aire de hauteur h a l feuilles, alors:

Preuve: Sachant que:

Arbre de fouille binaire

Construction: Arbre de fouille binaire 1 3 2 6 5 8 4 7

Parcours des arbres: préfixe

Parcours des arbres: infixe

Parcours des arbres: postfixe

Arborescence ordonnée Préfixe: a, b, e, j, k, n, o, p, f, c, d, g, l, m, h, i Infixe: j, e, n, k, o, p, b, f, a, c, l, g, m, d, h, i Postfixe: j, n, o, p, k, e, f, b, c, l, m, g, h, i, d, a

Arborescence ordonnée Préfixe: +  + x y 2 / - x y 5 Postfixe: x y + 2  x y – 5 / +

Arborescence ordonnée (évaluation d’une expression en notation polonaise) Préfixe: +  + x y 2 / - x y 5 Expression Pile +  + x y 2 / - x y 5 5 +  + x y 2 / - x y 5 y 5 +  + x y 2 / - x y 5 x y 5 +  + x y 2 / (x-y) 5 (x-y) 5 +  + x y 2 / (x-y) 5 (x-y)/5 +  + x y 2 (x-y)/ 5 (x-y)/5 2 +  + x y 2 (x-y)/ 5 (x-y)/5 2 y +  + x y 2 (x-y)/ 5 (x-y)/5 2 y x +  + x y 2 (x-y)/ 5 (x-y)/5 2 (y+ x) +  (x+y) 2 (x-y)/ 5 (x-y)/5 ((y+ x)2) + ((x+y)  2) (x-y)/ 5 (x+y)2 + (x-y)/ 5

Arborescence ordonnée (évaluation d’une expression en notation polonaise inversée) Postfixe: x y + 2  x y – 5 / + Expression Pile x y + 2  x y – 5 / + x x y + 2  x y – 5 / + x y x y + 2  x y – 5 / + (x+y) (x+y) 2  x y – 5 / + (x+y) 2 (x+y) 2  x y – 5 / + (x+y)2 ((x+y)  2) x y – 5 / + (x+y)2 x ((x+y)  2) x y – 5 / + (x+y)2 x y ((x+y)  2) x y – 5 / + (x+y)2 (x-y) ((x+y)  2) (x-y) 5 / + (x+y)2 (x-y) 5 ((x+y)  2) (x-y) 5 / + (x+y)2 (x-y)/5 ((x+y)  2) (x-y)/ 5 + (x+y)2 + (x-y)/5