Réseaux de transmission photoniques Phénomènes de polarisation dans les fibres optiques Marc Wuilpart 5ème Electricité - Télécommunications II 1

Plan de l’exposé Concepts de polarisation de la lumière en général L’ellipse de polarisation Description mathématique de la polarisation Phénomènes de polarisation dans une fibre optique Biréfringence Couplage de modes Modélisation d’une fibre optique La dispersion de mode de polarisation Pertes dépendantes de la polarisation 2

Concept de polarisation L’ellipse de polarisation Lumière partiellement polarisée Description mathématique de la polarisation Le formalisme de Jones Le formalisme de Stokes La sphère de Poincaré 3

Nature ondulatoire de la lumière Dans une fibre optique, la lumière peut être considérée comme une onde électromagnétique plane. 4

L’ellipse de polarisation (1) Une onde lumineuse, décrite par son vecteur champ électrique associé, peut se décomposer selon deux axes orthogonaux x et y, situés dans le plan perpendiculaire à l’axe z : 5

L’ellipse de polarisation (2) L’évolution temporelle du vecteur champ électrique en un point d’abscisse z, décrit l’état de polarisation de l’onde optique en ce point. 6

Etats linéaire et circulaire (1) Les figures suivantes donnent, pour diverses valeurs du déphasage  la forme de la polarisation elliptique de la lumière : From Hecht, “Optics" Un état de polarisation linéaire est obtenu lorsque  = m où m est un entier. Un état de polarisation elliptique dont les axes majeur et mineur coïncident avec les axes Ox et Oy est obtenu lorsque  = (2m+1) /2. Si, de plus, Eox = Eoy, l’état de polarisation est également circulaire. 7

Etats linéaire et circulaire (2) From Fiber Optics, HP 8

Lumière partiellement polarisée Dans le cas où la source émet une onde monochromatique, la lumière est totalement polarisée. Si la largeur spectrale de la source est finie ou si une onde monochromatique traverse un milieu dépolarisant qui introduit des déphasages aléatoires entre deux états de base, on est alors en présence de lumière partiellement polarisée. La lumière partiellement dépolarisée peut être modélisée comme la superposition d’une composante totalement polarisée avec une composante totalement dépolarisée. Le degré de polarisation (DOP : Degree of Polarization) est défini de la manière suivante : 9

Vecteurs de Jones (1) Un état de polarisation peut être mathématiquement représenté par un vecteur bidimensionnel de nombres complexes : le vecteur de Jones. Forme normalisée : 10

Vecteurs de Jones : exemples Etats linéaires : Etat faisant un angle  avec l’axe Ox : si  = 0 et  = 90° Etats circulaires : Etats circulaires droit [R] et gauche [L] : Etats elliptiques : Etat elliptique d’azimuth  et d’angle d’ellipticité  : 11

Vecteurs de Jones orthogonaux Deux vecteurs de Jones V1 et V2 sont dit ’orthogonaux’ s’ils satisfont la condition suivante : † désigne l’hermitien adjoint. Les ellipses de polarisation correspondant à deux vecteurs de Jones orthogonaux ont des ellipticités égales en module et de signes opposés ; leurs axes majeurs sont orthogonaux. 12

Matrices de Jones J Vo = J Vi Vi Vo L’action d’un quelconque dispositif optique en terme de polarisation est donc décrite par une matrice 2x2 complexe qui relie les états de polarisation d’entrée et de sortie : la matrice de Jones. J Vi Vo Vo = J Vi 13

Détermination de la matrice de Jones La matrice de Jones d’un dispositif optique peut être déduite à partir de la mesure de l’état de polarisation de sortie pour trois états d’entrée différents. from Derickson, « Fiber-Optics Test andMeasurement » 14

Matrices de Jones : exemples Déphaseur linéaire :  est le délai de phase entre les deux états propres et q, l’azimuth de l’état propre le plus rapide : si q = 0 Rotateur :  est l’angle de rotation : Polariseur :  est l’angle de la polarisation transmise : 15

Formalisme de Stokes (1) Le formalisme de Jones a plusieurs inconvénients : Il fait appel aux amplitudes et aux phases des composantes en x et y du champ, difficilement mesurables. Il ne permet pas de représenter de la lumière totalement ou partiellement dépolarisée. Le formalisme de Stokes représente un état de polarisation à l’aide de grandeurs relatives à des intensités. Ce formalisme ne met donc en jeu que des nombres réels. De plus, Il permettra de représenter de la lumière partiellement polarisée. Les intensités sur facilement mesurables en optique. 16

Formalisme de Stokes (2) Dans le formalisme de Stokes, un état de polarisation est représenté par un vecteur à 4 dimensions. S0 : Intensité totale de la lumière, polarisée et non polarisée S1 : Composante linéaire 0° - composante linéaire 90° S2 : Composante linéaire 45° - composante linéaire -45° S3 : Composante circulaire droite - composante circulaire gauche 17

Formalisme de Stokes (3) On préfère souvent travailler avec le vecteur de Stokes normalisé : Le DOP peut s’écrire : Correspondance Stokes - Jones : from Derickson, « Fiber-Optics Test andMeasurement » 18

Formalisme de Stokes : exemples De façon générale Jones Stokes Etat linéaire horizontal (1 0) (1 1 0 0) Etat linéaire vertical (0 1) (1 -1 0 0) Etat linéaire 45° (1 1) (1 0 1 0) Etat linéaire -45° (1 -1) (1 0 -1 0) Etat circulaire droit (1 i) (1 0 0 1) Etat circulaire gauche (1 -i) (1 0 0 -1) Etats linéaires Etats elliptiques  est l’angle que fait l’axe majeur de l’ellipse avec Ox.  est l’angle relatif à ellipticité. 19

Matrices de Mueller M So = M Si Si So L’action d’un quelconque dispositif optique en terme de polarisation peut être décrite par une matrice 4x4 réelle qui relie les vecteurs de Stokes d’entrée et de sortie : la matrice de Mueller. M Si So So = M Si 20

La sphère de Poincaré (1) Représentation dans l’espace d’un état de polarisation par le point (s1,s2,s3). Les états de polarisation correspondant à une onde totalement polarisée sont représentés sur une sphère de rayon unitaire. Les états circulaires sont situés aux pôles. Les états rectilignes sont situés sur l’équateur. 21

La sphère de Poincaré (2) La sphère de Poincaré permet de représenter de la lumière partiellement polarisée  le point représentatif est situé à l’intérieur de la sphère. Lumière dépolarisée Lumière partiellement polarisée 22

Phénomènes de polarisation dans une fibre optique Phénomène de biréfringence Phénomène de couplage de modes Modélisation d’une fibre optique La dispersion de mode de polarisation Pertes dépendantes de la polarisation 23

Phénomène de biréfringence Une fibre optique monomode idéale permet la propagation de deux modes de polarisation dégénérés orthogonaux HE11x et HE11y (appelés les modes propres). En pratique, la fibre n’est jamais idéale : le cœur est légèrement elliptique. Présence de contraintes, ce qui rompt la symétrie et modifie, de façon locale, l’indice de réfraction. Présence de courbures. Présence de pressions mécaniques. => Les deux modes de polarisation ne sont plus dégénérés et sont caractérisés par des constantes de propagation différentes (x  y). Leur différence peut s’écrire : 24

Il existe deux types de biréfringence Biréfringence linéaire Biréfringence circulaire Y Axe rapide Y q X X Axe lent q : angle entre l’axe Ox et l’axe rapide d : délai de phase en rad/m. 2r : délai de phase en rad/m Causes : Torsion, Champ magnétique Causes : Cœur elliptique, Champ électrique, pressions 25

Matrice de Jones d’un élément biréfringent uniforme Vi Vo Vo = J Vi 26

Un élément biréfringent uniforme peut aussi être représenté par le vecteur biréfringence Le vecteur biréfringence est un vecteur tridimensionnel qui représente les propriétés de polarisation d’un élément biréringent uniforme. Il a les caractéristiques suivantes : Sa direction pointe vers le mode propre le plus rapide de l’élément biréfringent sur la sphère de Poincaré. Sa longueur est le délai de phase par unité de longueur entre les deux modes propres. 27

Evolution de la polarisation dans un élément biréfringent uniforme et longueur de battement Le déphasage entre les composantes en x et y du champ électrique varie lors de la propagation à cause de la différence de vitesses entre les deux modes propres  l’état de polarisation du signal varie, en général, avec la distance. From Agrawal, « Fiber-Optics Communication Systems » La longueur de battement (LB) est la longueur après laquelle un état de polarisation revient à son état initial. Modes propres 28

Phénomène de couplage de modes Dans une fibre optique utilisée en télécommunications, les modes propres ne sont pas constants et varient le long de la fibre. Le champ électrique émergeant d’un segment est projeté selon les deux modes propres du segment suivant et un délai de phase entre ces deux modes sera introduit lors de la propagation  couplage de modes. Pour une fibre de télécommunications standard, le couplage de modes est distribué aléatoirement le long de la fibre. 29

Longueur de couplage Le phénomène de couplage de modes dans une fibre optique peut aussi être représenté par une autre grandeur appélée la longueur de couplage LC. De façon qualitative, la longueur LC est la distance après laquelle les modes de polarisation ont changé de manière significative. L’exacte définition implique la fonction d’autocorrélation du vecteur biréfringence : Pour des fibres standards, LC varie entre 5 et 500 m. 30

Modélisation d’une fibre Une fibre optique standard utilisée en télécommunications est modélisée par une concaténation d’éléments biréfringents uniformes, chacun décrit par une matrice de Jones Ji : J1 J3 J2 Jn-1 Jn … Ji Pour une fibre optique standard, on suppose généralement que la fibre n’est soumise à aucune torsion et que la biréfringence circulaire est donc nulle : 31

Modélisation de la biréfringence Pour une fibre optique standard, on suppose généralement que la biréfringence linéaire suit une distribution statistique de Rayleigh le long de la fibre : Pour des fibres standards, LB varie entre 5 et 50 m. 32

Modélisation du couplage de modes Le couplage de modes est lié à l’évolution spatiale du paramètre q. On suppose généralement que la variation de l’axe de la biréfringence suit une distribution normale de moyenne nulle et d’écart type  ( est une mesure du couplage de modes) : 33

Evolution de la polarisation dans un fibre optique standard L’état de polarisation évolue aléatoirement le long d’une fibre à fort couplage de modes. 34

Fibre à maintien de polarisation (PMF) Dans le cas d’une fibre à maintien de polarisation (PMF : Polarization Maintaining Fibres), les états propres sont linéaires et sont constants le long de la fibre (pas de couplage de modes) : Afin que l’état de polarisation soit maintenu, la lumière doit être injectée selon un des deux modes propres de polarisation. i est une constante  = 0 35

Etats principaux de polarisation (PSP) Dans le domaine fréquentiel, la notion d’états principaux (PSP) est basée sur le fait que pour une fibre optique, il existe deux états d’entrée orthogonaux (appelés états principaux d’entrée) pour lesquels les états de sortie (états principaux de sortie) sont également orthogonaux et sont indépendants de la longueur d’onde. Dans le domaine temporel, les états principaux correspondent aux deux états de polarisation orthogonaux pour lesquels une impulsion injectée à l’entrée de la fibre ne subira aucune distorsion (ou étalement). PSP1 PSP1 … … PSP2 PSP2 36

La notion de PSP est à la base de la PMD Les PSP’s sont caractérisés par des temps d’arrivée différents. Par conséquent, si une impulsion lumineuse est injectée avec un état de polarisation différent d’un des états principaux, elle sera propagée selon les deux états et un élargissement temporel sera observé. C’est la raison pour laquelle la notion d’états principaux est utilisée pour caractériser la PMD. 37

Quelques ordres de grandeur Pour une fibre standard de télécommunications : LB est compris entre 5 et 50 m est compris entre 4 et 15 degrés/m LC est compris entre 5 et 500 m Pour des fibres à maintien de polarisation : LB est de l’ordre du mm = 0 LC =  38

La dispersion de mode de polarisation (1) La dispersion de mode de polarisation provient de l’effet combiné de la biréfringence et du couplage de modes présents dans une fibre optique. Considérons un morceau de fibre où la biréfringence est uniforme : La biréfringence du tronçon a pour effet de dédoubler une impulsion optique injecté à l’entrée. La différence de vitesse entre les deux modes propres a donc un effet dispersif. from Derickson, « Fiber-Optics Test andMeasurement » 39

La dispersion de mode de polarisation (2) Dans le cas d’une longue fibre optique : couplage de modes En pratique, la biréfringence est relativement faible et le couplage de mode est distribué aléatoirement le long de la fibre de sorte qu’une impulsion ne se divise pas en plusieurs autres impulsions mais subira plutôt une étalement. => phénomène de dispersion appelé dispersion de mode de polarisation (PMD : Polarization Mode Dispersion) 40

Définition de la PMD (1) Les effets de la dispersion de mode de polarisaton peuvent être traités en utilisant la notion de vecteur PMD. C’est un vecteur tridimensionnel dans l’espace de Stokes (s1,s2,s3) autour duquel l’état de polarisation tourne lorsque l’on modifie la fréquence. Le vecteur PMD pointe donc vers l’état principal de sortie le plus rapide. où  est le délai de groupe différentiel entre les principaux états de polarisation de la fibre 41

Définition de la PMD (2) Le délai de groupe différentiel à  entre les deux états principaux est la grandeur du vecteur PMD. La PMD est définie comme la valeur moyenne du délai de groupe différentiel sur l’ensemble des longueurs d’onde. 42

Statistique de la PMD Une analyse statistique est nécessaire pour définir la PMD car les propriétés de polarisation de la fibre sont instables. Cette instabilité est dû à la sensibilité de la fibre à divers effets extérieurs comme la température et les contraintes mécaniques. Il a été montré que () suit une distribution statistique de Maxwell. Pour un environnement stable, cette statistique est aussi observée sur l’ensemble des longueurs d’onde. 43

La PMD dépend de LB et LC On peut montrer que la PMD est liée à la LB et LC par : Sans couplage de modes (L/LC << 1) Fort couplage de modes (L/LC >> 1) Le coefficient PMD peut être défini selon deux façons : Fibre à faible couplage de modes : PMDc = PMD/L Fibre à fort couplage de modes : PMDc = PMD/L où L est la longueur de la fibre  44

La PMD dépend de LB et LC La PMD diminue lorsque  augmente (LC diminue) et augmente lorsque LB diminue (la biréfringence augmente) 45

Quelques ordres de grandeur Petite PMD : PMDc < 0,2 ps/km Grande PMD : PMDc  0,5 ps/km Très grande PMD   : PMDc  1 ps/km La valeur de la PMD doit être maintenue en dessous d’un dixième de la durée d’un bit. Pour un système à 10 Gb/s ; la valeur de la PMD < 10 ps 46

Pertes dépendantes de la polarisation Les pertes dépendantes de la polarisation d’un système optique (PDL, Polarization Dependent Loss) tiennent compte de la variation des pertes de ce système pour la gamme complète des états de polarisation d’entrée. La PDL est obtenue en calculant le rapport entre la plus grande et la plus petite des puissances optiques mesurées à la sortie du système pour l’entièreté des états de polarisation d’entrée. Pour les fibres optiques, la PDL est souvent très faible et est donc négligée. 47