H. Bessière (Doc) U.T. – IMFT Estimation de paramètres & assimilation variationnelle de données pour un modèle hydrologique distribué dédié aux crues éclairs H. Bessière (Doc) U.T. – IMFT H. Roux (MdC) U.T. – IMFT D. Dartus (Pr) U.T. IMFT

Crue éclair Événement violent, rapide avec de forts enjeux Nîmes 1988 ; Vaison la romaine 1992 ; Gard 2002

Site d’étude : Le bassin des Gardons d’Anduze Un bassin Méditerranéen de 545 km² Rivière Anduze tributaire du Rhône Topographie L’amont : région montagneuse Exutoire, pentes moins fortes Pente moyenne: 20 % Végétation dense Typique forêt Méditerranéenne Crues dévastatrices en automne provoquées par : Pluies de forte intensité, de courte durée et d’une importante variabilité spatiale Sols peu profonds, fortes pentes The Gardon d’Anduze is a Mediterranean catchment located in southern France. The river Anduze is a tributary of the Rhône River. The catchment drains an area of 545 km² and is often affected by flash floods. The hydrological network is dense. The Gardon d’Anduze catchment is divided into two subbasins: the Gardon de Mialet and the Gardon de Saint-Jean. The upper part of the catchment corresponds to the high cevenol basin characterized by a mountainous region with peaks, narrow valleys, steep hillslopes and several torrential flow streams. Near the catchment outlet located at Anduze, the hillslopes become less important (2%) and the riverbed becomes larger within an alluvial plain. Soils are relatively thin, from 0.1 m to 1 m (Fig. 3).Soil data have been used to generate the distribution of the infiltration parameters. Vegetation is dense and typical of the Mediterranean forests In the Mediterranean region, precipitations responsible for flood generation are usually of high-intensity, short duration (few hours) and large spatio-temporal variability. The conjunction of high intensity rainfall, shallow soils and steep slopes produces very devastating floods in autumn, even if summer storms can also present a non-negligible flooding risk. Calibrated meteorological radar data at 5 or 6 minutes time step and 1 km² scale were available for the storm events from 1994 to 2002. The available observations are flood hydrographs at Anduze (the outlet) and at intermediate stations: Saumane and Mialet from 1994 to 2002.

A.D.Var. & modélisation hydrologique distribuée MARINE Stratégie de calage Estimation de paramètres – Méthode GLUE Estimation de paramètres – Méthode de Adjoint Assimilation de données Vers le temps réel

Variables distribuées MARINE : Modèle perceptuel Modélisation de l’Anticipation du Ruissellement et des Inondations pour des évéNements Extrêmes Humidité du sol Précipitations RADAR Hydrogrammes Végétation MNT Infiltration Ruissellement Réseau de drainage Onde cinématique Infiltration Green et Ampt Subsurface Loi de Darcy Variables distribuées Sol

Nécessité de spatialisation des données Modélisation distribuée, événementielle, à base physique ~ 10 000 mailles et 100 000 paramètres ! Spatialisation de la pluie Cumul de pluie .

A.D.Var. & Modélisation hydrologique distribuée MARINE Stratégie de calage Estimation de paramètres – Méthode GLUE Estimation de paramètres – Méthode de Adjoint Assimilation de données Vers le temps réel

Stratégie de calage Facteur multiplicatif sur les données spatialisées

Étude préliminaire : « perceptuel » 1. Fonction de transfert : réseau de drainage et forme du bassin versant frottement en lit majeur 2. Fonction de production : épaisseur du sol humidité initiale du sol conductivité hydraulique 3. Paramètres corrélés : humidité du sol et épaisseur du sol Porosité et épaisseur du sol

A.D.Var. & modélisation hydrologique distribuée MARINE Stratégie de calage Estimation de paramètres – Méthode GLUE Estimation de paramètres – Méthode de Adjoint Assimilation de données Vers le temps réel

Méthode GLUE Fonction coût

Exemple de résultat : septembre 2000 f)

Equifinalité … septembre 2000 Les 200 meilleurs résultats … e) e) e)

Détermination d’une plage de paramètres … pour toutes les crues Détermination d’une plage de paramètres Conductivité hydraulique (x Kga) Hauteur maximale d’infiltration (x Hinf) 3 – 10 3 – 4.5

Choix de jeu de paramètres x Kga = 8, x Hinf = 4, x Ks = 550 Octobre 1995 Septembre 2002 Septembre 2000 Octobre 2006

A.D.Var. & Modélisation hydrologique distribuée MARINE Stratégie de calage Estimation de paramètres – Méthode GLUE Estimation de paramètres – Méthode de Adjoint Assimilation de données Vers le temps réel

La méthode de l’état adjoint Le modèle hydrologique peut être décrit par un système d’équation différentiel non-linéaire : X variable d’état paramètres du modèle La fonction coût s’écrit : where X represents the state variable. F is the non-linear operator governing the evolution of the state variable X. V is the initial condition Θ represents all the model input parameters. The basic principle is to consider Θ and V as control variables and optimize them in order to minimize the discrepancy between observations Xobs and model solutions. Observations Xobs, distributed in time and space, and the state variable X do not belong to the same space. Therefore, an operator H is defined in such a way that HX belongs to the space of observations. The problem is then formulated as determining Θopt and Vopt that minimize the function J. If J is differentiable, a necessary condition for (Θ, V) to be a solution of the optimization problem is given by the Euler-Lagrange equation. Consequently, it can be shown that if P is the solution of the adjoint model. then the gradient of J is given by: The adjoint state method allows an efficient calculation of the cost function gradient with respect to all control variables, with a calculation cost that does not depend on the variables dimension. The major advantage of this technique is the definition of an optimality system, which contains all the available information. An optimization algorithm is then used to estimate the optimum initial condition and input parameters. A numerical descent-type method consists in such a sequence: where ρn and Dn are respectively the step and direction of descent. This direction can be calculated with conjugate gradient or Newton type methods. Une condition nécessaire pour que (α, V) soient solution du système d’optimalité est :

La méthode de l’état adjoint On peut montrer que si P est solution du système adjoint : Alors le gradient de la fonction coût J est donné par : where X represents the state variable. F is the non-linear operator governing the evolution of the state variable X. V is the initial condition Θ represents all the model input parameters. The basic principle is to consider Θ and V as control variables and optimize them in order to minimize the discrepancy between observations Xobs and model solutions. Observations Xobs, distributed in time and space, and the state variable X do not belong to the same space. Therefore, an operator H is defined in such a way that HX belongs to the space of observations. The problem is then formulated as determining Θopt and Vopt that minimize the function J. If J is differentiable, a necessary condition for (Θ, V) to be a solution of the optimization problem is given by the Euler-Lagrange equation. Consequently, it can be shown that if P is the solution of the adjoint model. then the gradient of J is given by: The adjoint state method allows an efficient calculation of the cost function gradient with respect to all control variables, with a calculation cost that does not depend on the variables dimension. The major advantage of this technique is the definition of an optimality system, which contains all the available information. An optimization algorithm is then used to estimate the optimum initial condition and input parameters. A numerical descent-type method consists in such a sequence: where ρn and Dn are respectively the step and direction of descent. This direction can be calculated with conjugate gradient or Newton type methods. Un algorithme d’optimisation est ensuite utilisé pour estimer la solution:

Méthode d’optimisation Méthode de l’adjoint (1) (1) TAPENADE : Tangent and Adjoint PENultimate Automatic Differentiation Engine (Hascoët et al., 2004)

Méthode de l’adjoint Résultats (Septembre 2000)

Méthode de l’adjoint Résultats : Octobre 1995 - Septembre 2002

A.D.Var. & Modélisation hydrologique distribuée MARINE Stratégie de calage Estimation de paramètres – Méthode GLUE Estimation de paramètres – Méthode de Adjoint Assimilation de données Vers le temps réel

Saumane : prévision de crue Utilisation des observations des stations à l’amont du bassin pour faire face à la réponse rapide de l’exutoire Saumane : sous-bassin de 100 km² Objectif : appliquer la méthode d’estimation de paramètres en utilisant les observations à Saumane avant le pic de crue à Anduze

Saumane : prévision de crue. (Septembre 2000) Time (hours) Intensity (m3/s) Saumane 30:00 240 Anduze 33:00 1184

Saumane : prévision de crue. (Septembre 2000) Parameter estimation at Saumane Until t=30h Flood prediction at Anduze after t=30h for the same set of parameters CK CZ nd J Initial value 1 0.2 3.48 Final value 4.86 6.40 0.05 0.027 Peak overestimated and shifted 0h30 forward

Autres résultats : utilisation du gradient Adjoint sensitivity analysis : a local sensitivity analysis Examples of sensitivities of the runoff coefficient to the three parameters

Autres résultats avec GLUE: incertitudes Le coefficient de Manning du versant, du lit mineur et du lit majeur D’après Roux H. 2008

Comparaison des méthodes Converge vers les mêmes valeurs Temps de calcul - GLUE ~ 10 000 * temps du modèle direct - Adjoint ~ 100 * temps du modèle Chaque méthode permet des approches différentes - Incertitude globale et plage d’incertitude (GLUE) - Analyse de sensibilité locale et distribuée (Adjoint) Propagation d’incertitudes (Adjoint) Assimilation de données (Adjoint) - …

A.D.Var. & Modélisation hydrologique distribuée MARINE Stratégie de calage Méthode de calage GLUE & Analyse d’incertitude Méthode de calage Adjoint Méthode d’assimilation de données Vers le temps réel

Temps réel Prévision de pluie : Avec pluie future nulle …

Merci … … de votre attention Et remerciements SCHAPI M.M. Maubourguet W. Castaings H. Bessière H. Roux J. Chorda J. George L.X. Kham F. X. Le Dimet

Merci …

Problématique Régionalisation

Données

Données