Méthodes de décomposition de domaine pour la formulation mixte duale du problème critique de la diffusion des neutrons Pierre Guérin pierre.guerin@edf.fr Directeur de thèse (Paris 6) : Yvon Maday Encadrant CEA : Jean-Jacques Lautard Laboratoire de Logiciels pour la Physique des Réacteurs DEN/DANS/DM2S/SERMA/LLPR This presentation concerns a new technique for reconstruction of the pin power for heterogeneous 3D SPn calculation. This work is made in the framework of my PhD. My director are Jean-Jacques Lautard in CEA Saclay and Yvon Maday in Paris VI University. The method is based on domain decomposition with overlapping subdomains and a modal synthesis technique for the global flux reconstruction. It uses the solver MINOS SERMA/LENR

Présentation du contexte physique et mathématique Bilan neutronique et équation de la diffusion Le solveur MINOS Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Problème sous forme mixte duale Applications numériques Modification de la méthode CMS (FCMS) Changement des fonctions de base Parallélisation Développement d’un algorithme itératif (IDD) Prise en compte du problème à valeur propre Efficacité en parallèle et précision Conclusion et perspectives After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Principe de la réaction en chaîne Facteur de multiplication = 1  réaction critique > 1  réaction sur-critique < 1  réaction sous-critique Our motivations are : Find a numerical method who take in account the heterogeneity of the core Use a domain decomposition Solve the problem in three steps and proceed as a two scale method : Decompose the core in multiple subdomain Solve the problem with a fine mesh on each subdomain Make the global calculation with a functional basis who take in account the local fine results. Implement the code on parallel computer 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Détermination du flux de neutrons Crayon assemblage Cœur Problème : déterminer numériquement le flux de neutrons sur le domaine de calcul Hétérogénéité du cœur : problème trop complexe tel quel Discrétisation du domaine de calcul Homogénéisation du cœur 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

Modèle de la diffusion Modèle de la diffusion monogroupe : Trouver tels que : Seul le mode fondamental nous intéresse, associé à la plus grande valeur propre Formulation faible mixte duale : trouver le mode fondamental solution de Problème à valeur propre 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

Résolution par le solveur MINOS Élément de Raviart-Thomas ( ) rectangulaire : Nœuds de flux Nœuds de la composante X du courant Nœuds de la composante Y du courant Problème matricielle : Élimination du flux : Système linéaire sur les courants : Matrice symétrique définie positive. Itérations internes : Gauss-Seidel par blocs sur les directions. Itérations externes sur la source de fission pour le problème à valeur propre (méthode de la puissance itérée). The global matrix of the discretized system is : This matrix is not symmetric positive definite, but after the elimination of the even flux, the linear system on the odd flux to solve is : The solver perform a block Gauss-Seidel iteration : one block is composed by the set of nodes of one component of the odd fluxes The case of the eigenvalue problem is solved by the external power iterations technique 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals Conclusion et perspectives 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

La méthode de synthèse modale (CMS) Décomposition du cœur en K sous-domaines. Calculs des premiers modes propres d’un problème local sur chaque sous-domaine. Résolution du problème global dans la base des modes locaux par une méthode de Galerkin. Deux types de décomposition : sans recouvrement  R. Craig et M. C. C. Bampton, 1968  F. Bourquin, 1992  taux de convergence d’ordre fini  modes d’interface nécessaires  thèse de K. Pinchedez, 1999 : application à la l’équation de la diffusion des neutrons sous forme primale avec recouvrement  I. Charpentier, F. De Vuyst et Y. Maday, 1995  taux de convergence d’ordre infini  pas besoin de modes d’interface The CMS method can be decomposed in 3 steps : First the decomposition of the core in K small domains. Second the calculation with the MINOS solver of the first eigenfunctions of the local problem (not only the first one) on each subdomain. We use reflective boundary conditions on internal interfaces, the actual core boundary conditions are used on the external boundary. Third the set of this local spatial eigenfunctions is extended to the global domain by supposing zero flux outside the subdomain. These functions are used to span a discrete space that allows fundamental mode approximation through a mixed dual Galerkin technique. 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Décomposition du cœur du RJH Les calculs locaux Décomposition du cœur : Décomposition du cœur du RJH en 9 sous-domaines Calcul sur chaque des premiers modes propres du problème de diffusion local, avec des conditions de courant nul sur les bords intérieurs, et de flux nul sur le bord du cœur.  Ensemble de solutions locales The first step of our CMS method is the local solve. The core is decomposed in overlapping subdomain : On each subdomain the first eigenmodes are computed by MINOS with the global boundary condition on the external boundaries and infinite medium boundary conditions on the internal one : 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Prolongement par 0 des modes locaux sur tout le cœur : Résolution globale Prolongement par 0 des modes locaux sur tout le cœur :  espaces de fonctions définies sur R. Résolution globale : trouver le mode fondamental du problème de diffusion dans les espaces Inconnues : All this local eigenmodes are used in order to solve the global problem on the wall core with a Galerkin technique : The local eigenmodes on each subdomain are extended on the global domain by 0 in order to have global functions defined on the wall core. So we obtain approximated spaces : the odd space is included in Hdiv, thanks to the reflective condition on internal boudaries of the subdomain, the even one is included in L2. Projection of the global problem on this spaces reads: 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Décomposition d’un REP 900 Mwe Décomposition en 201 sous-domaines d’un REP 900 MWe chargé avec des assemblages UOX et MOX : Fig. 1b and c represents the proposed decomposition in 201 subdomains for a PWR 900 MWe core calculation (Fig. 1a). We have chosen the internal subdomains boundaries on the middle of the cells, where the condition p=0 is close to the real value. Furthermore with this decomposition we avoid the interface problem between MOX and UOX assemblies, because the interface is in the subdomain, not on the boundary. Each subdomain resolution is independent, so the future CMS implementation in parallel will be simple and very efficient : there is no communication between the local solvers. Frontières internes des sous-domaines : Au milieu des assemblages Pour être plus proche de la condition de courant nul Pas de problème aux interfaces UOX/MOX 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Représentations graphiques des flux Calcul de diffusion 2 groupes d’énergie , maillage cellule A computer code performs the CMS method for 3D core calculations; it is based on the existing MINOS solver. In order to validate the method, we present here results for 2D diffusion calculation with two energy groups (Fig.). Puissance cœur Flux thermique Flux rapide 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Comparaison CMS/MINOS 2 cas pour la méthode CMS : 4 modes de flux et 6 de courant sur chaque sous-domaine 9 modes de flux et 11 de courant 4 modes 9 modes 3,7 1,2 (%) 0,43 0,058 2,1 0,39 Table 1 present Keff difference and L2 and Linf norm of the power difference between the whole core calculation by MINOS and our CMS method (with the decomposition presented on Fig. 1b and 1c) in two cases: 4 even and 6 odd modes on each subdomain in the first case, 9 even and 11 odd modes in the second case. The number of the odd modes must be larger than the number of even modes, probably for the reason mentioned above (inf-sup condition verified in this case). 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Ecart de puissance CMS/MINOS 2% 0,4% 0% 0% -2% -0,4% Here is the representation of the power difference on the core between the MINOS calculation and our CMS method in the two cases. We can see the error at the interface between the subdomains. 4 modes de flux, 6 de courant 9 modes de flux, 11 de courant 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals Conclusion et perspectives 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Méthode FCMS But : diminuer le temps CPU et l’occupation mémoire  calcul du mode fondamental uniquement  remplacer les modes d’ordres >1 par des fonctions bien choisies Principe de factorisation sur des cœurs périodiques : est le i-ème mode solution d’un problème de diffusion homogénéisé : est le mode fondamental périodique en milieu infini. On s’inspire de ce principe pour changer les fonctions de base : On remplace les modes d’ordres >1 par : sont des sinus ou des cosinus d’ordre i, est la solution fondamentale sur le sous-domaine k. Our motivations are : Find a numerical method who take in account the heterogeneity of the core Use a domain decomposition Solve the problem in three steps and proceed as a two scale method : Decompose the core in multiple subdomain Solve the problem with a fine mesh on each subdomain Make the global calculation with a functional basis who take in account the local fine results. Implement the code on parallel computer 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Comparaison FCMS/MINOS Même décomposition de domaine 6 modes de flux et 11 de courant sur chaque sous-domaine 1% FCMS 1,9 (%) 0,31 1,0 0% Here is the representation of the power difference on the core between the MINOS calculation and our CMS method in the two cases. We can see the error at the interface between the subdomains. -1% 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Parallélisation des méthodes CMS/FCMS Temps de calcul  calculs locaux et matrices. Calculs locaux indépendants  pas de communication. Les calculs des matrices sont parallélisés avec des communications uniquement entre les sous-domaines qui se recouvrent. Résolution globale : séquentielle et très rapide. In conclusion, the modal synthesis has several favors : As shown, we obtain a good convergence and accurate calculation even with only a few modes. The precision for the keff is very good (<10pcm in all the cases), and the local cell power is well approximated. The CMS method is well fitted for parallel calculation : most of the time is spent in the local eigenmodes determination, and this calculations are independent, they need no communication. In the future, we plan to implement the code soon on parallel computers. Presently the test have been done only with the diffusion approximation. The next step will be to perform 3D SPn calculation. 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Temps CPU et efficacité en parallèle (REP 3D) In conclusion, the modal synthesis has several favors : As shown, we obtain a good convergence and accurate calculation even with only a few modes. The precision for the keff is very good (<10pcm in all the cases), and the local cell power is well approximated. The CMS method is well fitted for parallel calculation : most of the time is spent in the local eigenmodes determination, and this calculations are independent, they need no communication. In the future, we plan to implement the code soon on parallel computers. Presently the test have been done only with the diffusion approximation. The next step will be to perform 3D SPn calculation. 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Bilan des méthodes CMS/FCMS Avantages : Algorithme non itératif Les calculs locaux et la résolution globale peuvent être séparés Permet un couplage facile de solveurs ou de méthodes Calculs locaux indépendants Inconvénients : Temps de calculs et occupation mémoire trop grands Pas facile d’utilisation, trop de paramètres Très sensible à la décomposition de domaine Erreur d’approximation non maîtrisée In conclusion, the modal synthesis has several favors : As shown, we obtain a good convergence and accurate calculation even with only a few modes. The precision for the keff is very good (<10pcm in all the cases), and the local cell power is well approximated. The CMS method is well fitted for parallel calculation : most of the time is spent in the local eigenmodes determination, and this calculations are independent, they need no communication. In the future, we plan to implement the code soon on parallel computers. Presently the test have been done only with the diffusion approximation. The next step will be to perform 3D SPn calculation. 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals Conclusion et perspectives 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Algorithmes itératifs de type Schwarz Problème de la diffusion à source sous forme primale : trouver tel que Algorithme de Schwarz original (1870), avec recouvrement : Algorithme de Schwarz modifié (P. L. Lions, 1990), sans recouvrement : After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Méthode de décomposition de domaine itérative (IDD) Décomposition de domaine sans recouvrement Même taille pour tous les sous-domaines Décomposition en 9 sous-domaines du cœur du RJH Méthode itérative de type Schwarz avec des conditions de Robin aux interfaces Itération externe  convergence simultanée du problème à valeur propre et de la décomposition de domaine After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Exemple avec 2 sous-domaines After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Convergence en 1D SERMA/LENR After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Parallélisation de la méthode IDD Peu de modifications de MINOS : 2 étapes de communication par itération externe After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Application numérique sur un REP 3D Comparaison avec un calcul MINOS convergé. Critère d’arrêt : sur la source de fission. Nombre d’itérations (pcm) Temps réel (s.) Efficacité par itération (%) MINOS 249 11 7,7 22 331 100 2 247 10 188 87 4 252 7,6 102 82 6 250 29 21 33 80 69 8 253 28 65 16 251 73 36 32 18 47 26 53 34 55 After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Calcul RJH 2D Géométrie Puissance Flux thermique Flux rapide Calcul de diffusion, , 6 groupes d’énergie, mailles. Géométrie Puissance Flux thermique A computer code performs the CMS method for 3D core calculations; it is based on the existing MINOS solver. In order to validate the method, we present here results for 2D diffusion calculation with two energy groups (Fig.). Flux rapide 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Application numérique sur un RJH 2D Comparaison avec un calcul MINOS convergé. Critère d’arrêt : sur la source de fission. Nombre d’itérations (pcm) Temps réel (s.) Efficacité par itération (%) MINOS 941 60 4,2 19 1288 100 2 914 4,3 20 671 93 4 925 303 104 8 903 50 140 110 16 869 45 62 120 25 926 44 4,6 49 103 36 916 4,5 29 After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Bilan de la méthode IDD Avantages : Efficacité du code parallèle excellente (surtout RJH) Répartition des données en mémoire Robuste Inconvénients : Algorithme itératif Sous-domaines de même taille A résoudre Coefficient de Robin à déterminer de manière automatique et optimal In conclusion, the modal synthesis has several favors : As shown, we obtain a good convergence and accurate calculation even with only a few modes. The precision for the keff is very good (<10pcm in all the cases), and the local cell power is well approximated. The CMS method is well fitted for parallel calculation : most of the time is spent in the local eigenmodes determination, and this calculations are independent, they need no communication. In the future, we plan to implement the code soon on parallel computers. Presently the test have been done only with the diffusion approximation. The next step will be to perform 3D SPn calculation. 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals Conclusion et perspectives 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Conclusions et perspectives Méthodes de décomposition de domaine : Précision satisfaisante pour la puissance et le Adaptées au calcul parallèle CMS/FCMS : non itératives, mais manquent de robustesse, les temps de calcul et l’occupation mémoire sont trop grands IDD : très bonne efficacité, pas d’augmentation du nombre d’itérations, peu de modifications du code MINOS Perspectives : Optimisation automatique des coefficients de Robin aux interfaces pour la méthode IDD Autres géométries (EPR, RNR…) Autres modèles : transport simplifié, transport complet, cinétique… Couplage de modèles et de méthodes de résolution Maillages non structurés In conclusion, the modal synthesis has several favors : As shown, we obtain a good convergence and accurate calculation even with only a few modes. The precision for the keff is very good (<10pcm in all the cases), and the local cell power is well approximated. The CMS method is well fitted for parallel calculation : most of the time is spent in the local eigenmodes determination, and this calculations are independent, they need no communication. In the future, we plan to implement the code soon on parallel computers. Presently the test have been done only with the diffusion approximation. The next step will be to perform 3D SPn calculation. 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Convergence 1D Séquentiel 17 sous-domaines After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals Séquentiel 17 sous-domaines Pas d’accélération de Tchebychev, inversion exacte. 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Convergence REP 3D Séquentiel 16 sous-domaines After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals Séquentiel 16 sous-domaines Accélération de Tchebychev, inversion Gauss-Seidel par blocs (1 iter.) 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Convergence RJH 2D Séquentiel 16 sous-domaines After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals Séquentiel 16 sous-domaines Accélération de Tchebychev, inversion Gauss-Seidel par blocs (1 iter.) 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR

Conditions aux interfaces approchées Sous-domaine 1 Flux 1 Courant 1 Sous-domaine 2 Flux 2 Courant 2 Mailles du recouvrement Flux à l’interface Courant à l’interface Frontière 1 Frontière 2 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

Qualité de l’approximation After general considerations and motivations of our work, I will recall briefly simplified transport equation , and I will speak about the MINOS solver who uses mixed dual equation. I will explain our component mode synthesis method and I will present the first numerical results in 2D and 3D. Finally I will conclude and present our future goals 03/12/2007 Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons SERMA/LENR