LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES 11-Apr-17 [Title of the course] LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES Eléments de Logique Mathématique Et Langage Ensembliste Campus-Booster ID : 368 www.supinfo.com Copyright © SUPINFO. All rights reserved Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Votre formateur… Nom: NICOLELLA SONIA 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Votre formateur… Nom: NICOLELLA SONIA Titre : Professeur de MATHEMATIQUES à SUPINFO. Formation : D.E.A. en physique, option laser-matière à l’Université de Milan (Italie). Professeur dans la formation en alternance niveau BTS. Contact : sonianicolella@aol.com Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

ou illustration adaptée 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Objectifs de ce module En suivant ce module vous allez : Vous familiariser avec les terminologies de base de la Logique Mathématique et donc de la Théorie des Ensembles Apprendre à maîtriser les propositions et les prédicats mathématiques Connaître les secrets des tables de vérité. Apprendre à manipuler les connecteurs binaires et les quantificateurs mathématiques. Changez par une photo ou illustration adaptée Respectez l’emplacement et la taille et supprimez ce papillon jaune une fois terminé. Et vous serez ainsi parés pour aborder les notions primordiales du langage Informatique. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Plan du module Voici les parties que nous allons aborder: 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Plan du module Voici les parties que nous allons aborder: Présentation et Historique de la Logique Mathématique Les Propositions : Définition, tables de vérité et connecteurs binaires Les Quantificateurs usuels et leurs propriétés Le Langage ensembliste : Cadre d’étude, vocabulaire de la Théorie des Ensembles, les symboles et leurs propriétés Commençons donc par faire un bref historique permettant de voir comment les recherches et découvertes menées dans le domaine de la Logique Mathématique ont permis de construire plusieurs Théorie dont la Théorie des Ensembles… La Logique Mathématique est en effet le précurseur du Langage Formel de la Théorie des Ensembles, entres de nombreux autres… Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Présentation et Historique de la Logique Mathématique 11-Apr-17 [Title of the course] LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES Présentation et Historique de la Logique Mathématique Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder: 11-Apr-17 Présentation et Historique de la Logique Mathématique [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder: La Logique Mathématique Quelques données d’Histoire Les notions qui seront abordées dans ce module Pour ce slide : Etant donné le rôle primordial que la Logique Mathématique a joué tout au long des siècles précédents, et des avancées qu’elle a permis de faire en terme d’avancées théoriques et donc pratiques, il est fondamental de définir ce que signifie « Logique Mathématique »!!! Les données historiques nous permettront d’avoir une vision générale de la manière dont les recherches ont évoluées et les Grandes Théories qui en ont découlées…avec toute une floppée de termes, de symboles, et de connecteurs, bref, un langage nouveau, « transposable dans des domaines très divers », comme par exemple les Maths , l’informatique, l’Algorithmique… . Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

La Logique Mathématique 11-Apr-17 Présentation et Historique de la Logique Mathématique [Title of the course] La Logique Mathématique Ou comment Logique et Mathématique vont s’assembler….. Débuts marqués par 2 idées nouvelles Volonté d’établir des principes, et leur vérité, à partir desquels on va pouvoir développer des connaissances mathématiques Découverte de l’existence de structures algébriques permettant de définir un “calcul de vérité” La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles : la volonté chez Frege, Russell ou chez Hilbert plus tard de donner une fondation axiomatique aux mathématiques ; la découverte par George Boole , dont nous aborderons tous les secrets lors du 5ème module, de l'existence de structures algébriques permettant de définir un « calcul de vérité ». Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

La Logique Mathématique 11-Apr-17 Présentation et Historique de la Logique Mathématique [Title of the course] La Logique Mathématique Pour donner naissance à…..la logique mathématique Raisonnement en Mathématique Logique mathématique Systèmes Logiques Langage des mathématiques Restreinte La logique mathématique a donc repris l'objectif de la logique, étudier le raisonnement, mais en se restreignant au langage des mathématiques qui présente l'avantage d'être extrêmement normalisé. C'est ce qui a rendu possible la définition de divers systèmes logiques formalisant le raisonnement en mathématique et le développement très rapide de la logique mathématique au cours du XXe siècle. Avant de trouver son nom actuel, attribué à Giuseppe Peano, la logique mathématique s'est appelée logique symbolique (en opposition à la logique philosophique) et métamathématique (terminologie de Hilbert). Aujourd'hui la logique mathématique s'est ramifiée en de nombreux sous-domaines, dont la plupart n'ont que très peu à voir avec les objectifs initiaux des mathématiciens du XIXe siècle, mais sont des disciplines mathématiques à part entière. On compte notamment : la théorie des ensembles ; Étude du raisonnement Objectif de la logique : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quelques données d’Histoire 11-Apr-17 Présentation et Historique de la Logique Mathématique [Title of the course] Quelques données d’Histoire Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quelques données d’Histoire 11-Apr-17 Présentation et Historique de la Logique Mathématique [Title of the course] Quelques données d’Histoire CURRY HOWARD Logique CHURCH-TURIN HILBERT BOOLE FREGE Les premières tentatives de traitement formel des mathématiques sont dues à Leibniz et Lambert ; Leibniz a en particulier introduit une grande partie de la notation mathématique moderne (usage des quantificateurs, symbole d'intégration, etc.). Toutefois on ne peut parler de logique mathématique qu'à partir du milieu du XIXe siècle avec les travaux de George Boole (et dans une moindre mesure de Auguste De Morgan) qui introduit un calcul de vérité où les combinaisons logiques comme la conjonction, la disjonction et l'implication, (termes que nous allons expliciter dans ce chapitre) sont des opérations analogues à l'addition ou la multiplication des entiers, mais portant sur les valeurs de vérité faux et vrai (ou 0 et 1) ; ces opérations booléennes se définissent au moyen de tables de vérité. Le calcul de Boole semblait une piste fructueuse afin de résoudre les problèmes de fondation des mathématiques dus à leur complexification et à l'apparition des paradoxes, mais il ne permettait pas de prendre en compte la notion de variable. Dès lors nombre de mathématiciens, ont cherché à l'étendre au cadre général du raisonnement mathématique et l'on a vu apparaître les systèmes logiques formalisés ; l'un des premiers est dû à Frege au tournant du XXe siècle. En 1900 au cours d'une très célèbre conférence au congrès international de mathématiques à Paris, David Hilbert a proposé une liste des 23 problèmes non résolus les plus importants des mathématiques d'alors. Le programme de Hilbert a suscité de nombreux travaux en logique dans le premier quart du siècle, notamment le développement de systèmes d'axiomes pour les mathématiques : les axiomes de Peano pour l'arithmétique, ceux de Zermelo complété par Skolem et Fraenkel pour la théorie des ensembles et le développement par Whitehead et Russell d'un programme de formalisation des mathématiques, les Principia Mathematica. C'est également la période où apparaissent les principes fondateurs de la théorie des modèles : notion de modèle d'une théorie, théorème de Löwenheim-Skolem. Les années 30 ont vu arriver une nouvelle génération de logicien anglais et américains, notamment Alonzo Church, Alan Turing, Stephen Kleene, Haskell Curry et Emil Post, qui ont grandement contribué à la définition de la notion d'algorithme et au développement de la théorie de la complexité algorithmique. Le résultat le plus spectaculaire de l'après-guerre est dû à Paul Cohen qui démontre en utilisant la méthode du forcing l'indépendance de l'hypothèse du continu en théorie des ensembles, résolvant ainsi le 1er problème de Hilbert. Mais la logique mathématique subit également une révolution due à l'apparition de l'informatique ; la découverte de la correspondance de Curry-Howard qui relie les preuves formelles au lambda-calcul de Church et donne un contenu calculatoire aux démonstrations va déclencher un vaste programme de recherche. Parenthèse : Le lambda-calcul (ou λ-calcul) est un langage de programmation théorique inventé par Alonzo Church dans les années 1930. Ce langage a eu autant d'importance que les machines de Turing dans la théorie de la calculabilité. Il s'agit d'un modèle de calcul, c'est à dire une formalisation de la notion de calcul. C'est ainsi que le premier langage de programmation est né. LEIBNIZ Chronologie Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quelques données d’Histoire 11-Apr-17 Présentation et Historique de la Logique Mathématique [Title of the course] Quelques données d’Histoire LEIBNIZ : Notation mathématique moderne BOOLE (XXème siècle) : Logique mathématique avec calcul de vérité FREGE (Début XXème.) : extension tenant compte de la notion de variable  Systèmes logiques formalisés HILBERT (1900) : 23 problèmes non résolus  Nombreux travaux en logique : Axiomes de Peano en arithmétique, Théorie des ensembles, Théorie des modèles CHURCH , TURING (années 30) : Algorithmique  Lambda-Calcul et Machine de Turing : Naissance du premier langage de programmation CURRY-HOWARD : Correspondance entre preuves formelles et Lambda-Calcul Les premières tentatives de traitement formel des mathématiques sont dues à Leibniz et Lambert ; Leibniz a en particulier introduit une grande partie de la notation mathématique moderne (usage des quantificateurs, symbole d'intégration, etc.). Toutefois on ne peut parler de logique mathématique qu'à partir du milieu du XIXe siècle avec les travaux de George Boole (et dans une moindre mesure de Auguste De Morgan) qui introduit un calcul de vérité où les combinaisons logiques comme la conjonction, la disjonction et l'implication, (termes que nous allons expliciter dans ce chapitre) sont des opérations analogues à l'addition ou la multiplication des entiers, mais portant sur les valeurs de vérité faux et vrai (ou 0 et 1) ; ces opérations booléennes se définissent au moyen de tables de vérité. Le calcul de Boole semblait une piste fructueuse afin de résoudre les problèmes de fondation des mathématiques dus à leur complexification et à l'apparition des paradoxes, mais il ne permettait pas de prendre en compte la notion de variable. Dès lors nombre de mathématiciens, ont cherché à l'étendre au cadre général du raisonnement mathématique et l'on a vu apparaître les systèmes logiques formalisés ; l'un des premiers est dû à Frege au tournant du XXe siècle. En 1900 au cours d'une très célèbre conférence au congrès international de mathématiques à Paris, David Hilbert a proposé une liste des 23 problèmes non résolus les plus importants des mathématiques d'alors. Le programme de Hilbert a suscité de nombreux travaux en logique dans le premier quart du siècle, notamment le développement de systèmes d'axiomes pour les mathématiques : les axiomes de Peano pour l'arithmétique, ceux de Zermelo complété par Skolem et Fraenkel pour la théorie des ensembles et le développement par Whitehead et Russell d'un programme de formalisation des mathématiques, les Principia Mathematica. C'est également la période où apparaissent les principes fondateurs de la théorie des modèles : notion de modèle d'une théorie, théorème de Löwenheim-Skolem. Les années 30 ont vu arriver une nouvelle génération de logicien anglais et américains, notamment Alonzo Church, Alan Turing, Stephen Kleene, Haskell Curry et Emil Post, qui ont grandement contribué à la définition de la notion d'algorithme et au développement de la théorie de la complexité algorithmique. Le résultat le plus spectaculaire de l'après-guerre est dû à Paul Cohen qui démontre en utilisant la méthode du forcing l'indépendance de l'hypothèse du continu en théorie des ensembles, résolvant ainsi le 1er problème de Hilbert. Mais la logique mathématique subit également une révolution due à l'apparition de l'informatique ; la découverte de la correspondance de Curry-Howard qui relie les preuves formelles au lambda-calcul de Church et donne un contenu calculatoire aux démonstrations va déclencher un vaste programme de recherche. Parenthèse : Le lambda-calcul (ou λ-calcul) est un langage de programmation théorique inventé par Alonzo Church dans les années 1930. Ce langage a eu autant d'importance que les machines de Turing dans la théorie de la calculabilité. Il s'agit d'un modèle de calcul, c'est à dire une formalisation de la notion de calcul. C'est ainsi que le premier langage de programmation est né. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les notions abordées dans ce module 11-Apr-17 Présentation et Historique de la Logique Mathématique [Title of the course] Les notions abordées dans ce module Eléments Ensembles Appartenance Symboles et lettres Qui, assemblés selon certaines règles, forment les propositions Connecteurs et Nouvelles Propositions Combinaisons de propositions Construction de Raisonnements La théorie des ensembles est une branche des mathématiques et de l'informatique créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. Les concepts de base de la théorie des ensembles sont les notions d'« élément », d'« ensemble » et d'« appartenance ». On se donne au départ des objets de base. Ces objets de base peuvent être réunis pour former des ensembles, auxquels ils appartiennent : un ensemble peut ainsi être vu comme une collection d'objets, les éléments (ou membres) qu'il contient. Les ensembles peuvent aussi être vus comme des éléments supplémentaires permettant la création de nouveaux ensembles qui, à leur tour, pourront être réunis en ensembles, et ainsi de suite... La théorie des ensembles fut âprement controversée, d'abord en raison de la vision nouvelle de l'infini mathématique qu'elle proposait, au travers des cardinaux, à tel point que Cantor finit par en mourir, devenu fou. Ensuite, on découvrit que cette théorie, dite naïve car non formalisée, menait à des paradoxes tels que le paradoxe de Russell, parce qu'elle supposait que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction. Pour répondre à ces problèmes, plusieurs mathématiciens reconstruisirent la théorie des ensembles, en utilisant cette fois une approche axiomatique. Ainsi, initialement disputée, la théorie des ensembles s'est transformée pour devenir une théorie fondamentale des mathématiques modernes : cette dernière est utilisée pour justifier les suppositions faites en mathématiques concernant l'existence d'objets mathématiques, tels que les nombres ou les fonctions, et leurs propriétés. Les propositions et les objets mathématiques, sont des assemblages de symboles et de lettres formés en suivant certaines règles de syntaxe. Les principaux symboles de la logique sont appelés connecteurs, ils servent essentiellement à créer de nouvelles propositions à partir de propositions déjà créées. Dans le calcul des propositions, ce qui intéresse le logicien, c’est la façon dont les propositions de base sont combinées pour construire des raisonnements. Le calcul des propositions ou calcul propositionnel dont le fondateur fut le logicien allemand Frege, version moderne de la logique stoïcienne, est une théorie logique qui définit les lois formelles du raisonnement. La notion de proposition est assez complexe à définir en général et a fait l'objet de nombreux débats au cours de l'histoire de la logique ; l'idée de base est qu'une proposition est un énoncé pour lequel il fait sens de parler de vérité. D'un point de vue plus algébrique, le calcul de propositions (pour la logique classique) peut se voir comme un système de notations pour calculer dans les algèbres de Boole. Nous verrons, lorsque nous aborderons le module sur l’Algèbre de Boole, comment éléments, ensembles, connecteurs, symboles et propositions de la Théorie des Ensembles sont en étroite connivence avec les « objets » de l’Algèbre de Boole….. Puisqu’il ne s’agit, en fait, que d’une écriture d’objets et fonctions identiques, mais dans un langage différent… Commençons donc avec la notion de proposition…et entrons dans le détail de ses mystères… Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 [Title of the course] LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES Les Propositions Où apparaissent un nouvel alphabet et des règles de formation, pour donner naissance à un langage formel… l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas nécessairement de pair) que le langage de tous les jours La force des langages formels est de pouvoir faire abstraction d'une certaine sémantique, ce qui rend les théories réutilisables dans plusieurs modèles (Mathématique, Informatique…) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Définitions Tables de Vérité Négation d’une proposition Connecteurs Binaires Propriétés Pour amener le premier chapitre : En Informatique, on est amené à considérer un langage formel ou un système formel constitué notamment d’un alphabet (un ensemble de symboles), et d’un ensemble de règles de formation des formules et de preuves constituées à partir de cet alphabet. On est alors conduit à introduire des propositions et des prédicats. Voyons un exemple qui va nous permettre de mieux saisir cette notion… Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Définitions Exemple introductif… 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Définitions Exemple introductif… Considérons les 3 énoncés suivants, concernant des nombres ou des faits : A : 210 = 1024 B : 5 < 4 C : “3 est un nombre impair” D’où la définition de ce qu’est une proposition, en Mathématiques… Le contenu de A est vrai, celui de B est faux et celui de C est vrai. A, B et C sont trois exemples de propositions d’arithmétiques Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Définitions Proposition : On appelle proposition tout énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s'il est vrai ou s'il est faux. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Tables de Vérité Plaçons nous dans un cadre général… 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Tables de Vérité Plaçons nous dans un cadre général… P Notons P une proposition Soit P est vraie : elle sera alors notée V Soit P est fausse : elle sera alors notée F Autre notation : 1 pour Vrai 0 pour Faux V F P Toute proposition P, ne peut prendre que deux valeurs de vérité : soit la proposition est vraie, et l’on notera V ou 1, soit la proposition est fausse, et elle sera notée F ou 0. 1 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Négation d’une Proposition 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Négation d’une Proposition Négation d’une Proposition : On appelle négation de la proposition P la proposition Q telle que Q est fausse si et seulement si P est vraie. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Négation d’une Proposition 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Négation d’une Proposition Reprenons les exemples précédents A : 210 = 1024 (V) Négation : 210  1024 (F) B : 5 < 4 (F) Négation : 5 ≥ 4 (V) C : “3 est un nombre impair” (V) Négation : “3 n’est pas un nombre impair” (F) Reprenons les 3 exemples ci-dessus : A partir de la proposition A : 210 = 1024 dont la valeur de vérité est V, on peut définir la nouvelle proposition 210  1024 dont la valeur de vérité est F. De même, à partir de la proposition B : 5 < 4, dont la valeur de vérité est F, on peut définir la nouvelle proposition 5 ≥ 4 dont la valeur de vérité est V. Enfin, à partir de la proposition C : « 3 est un nombre impair », dont la valeur de vérité est V, on peut définir la nouvelle proposition « 3 n’est pas un nombre impair » dont la valeur de vérité est F. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Négation d’une Proposition 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Négation d’une Proposition Plus Généralement, A toute proposition P, on peut associer une nouvelle proposition, notée dont la valeur de vérité est donnée dans la table de vérité ci-dessous P est la négation de P  est le connecteur négation On notera encore « non P » , ou “P barre” P  P COMPLEMENT : On admettra que, pour une proposition quelconque donnée, il existe une proposition unique qui en est la négation. Exemples : • la négation de la proposition «x est pair » est «x est impair ». • La négation de la proposition « 2 < 1 » est « 2 ≥ 1 ». Remarques importantes : 􀂾 P  « barre barre » = P 􀂾 Pour démontrer qu’une proposition est fausse, il suffit de montrer que sa négation est vraie V F F V Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Connecteurs Binaires Où comment relier deux propositions… 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Où comment relier deux propositions… La négation est un connecteur unaire Connecteur Binaire : permet de relier deux propositions pour former une nouvelle proposition. Connecteurs Binaires usuels : La Conjonction La Disjonction L’Implication L’Equivalence La négation est un connecteur unaire car il agit sur une seule proposition. On peut définir des connecteurs binaires qui associent à 2 propositions une nouvelle proposition. Nous allons introduire, à l’aide de tables de vérité, les connecteurs binaires les plus usuels. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

On appelle conjonction des propositions P et Q, et l'on note 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Conjonction de deux propositions : Connecteur logique ET Conjonction : On appelle conjonction des propositions P et Q, et l'on note On appelle conjonction des propositions P et Q (on dit P ET Q et l'on note….. ) la proposition qui est vraie si et seulement si les propositions P et Q sont vraies simultanément. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Cette nouvelle proposition est vraie si et seulement si 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Conjonction de deux propositions : Connecteur logique ET Conjonction (Suite) : Cette nouvelle proposition est vraie si et seulement si P et Q sont vraies simultanément. On appelle conjonction des propositions P et Q (on dit P ET Q et l'on note….. ) la proposition qui est vraie si et seulement si les propositions P et Q sont vraies simultanément. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Conjonction de deux propositions : Connecteur logique ET A tout couple de propositions (P,Q), la conjonction ‘’ET’’ associe la proposition dont la valeur de vérité est donnée dans la table ci-contre : P Q P Q V V V 1 1 1 V Expliquer les alternances VV FF de la proposition P et VFVF de la proposition Q. F F 1 F V F 1 F F F Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

On appelle disjonction des propositions P et Q, (Dit “P ou Q”) 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Disjonction de deux propositions : Connecteur logique OU Disjonction : On appelle disjonction des propositions P et Q, (Dit “P ou Q”) la nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si l’une au moins des 2 propositions est vraie. On appelle disjonction des propositions P et Q (on dit P OU Q et l'on note P…Q ) la proposition qui est vraie si et seulement si l'une au moins des deux propositions est vraie. “P ou Q”:Nouvelle Proposition notée Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Disjonction de deux propositions : Connecteur logique OU A tout couple de propositions (P,Q), la disjonction “OU” associe la proposition dont la valeur de vérité est donnée dans la table ci-contre : P Q P Q V V V 1 1 V Expliquer les alternances VV FF de la proposition P et VFVF de la proposition Q. F V 1 1 1 F V V 1 1 F F F Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Reprenons les propositions des exemples précédents A : 210 = 1024 (V) B : 5 < 4 (F) C : “3 est un nombre impair” (V) Première application : A  B : (210 = 1024)  (5 < 4) (210 = 1024) ET (5 < 4) Est une proposition fausse car B est fausse. A  C : (210 = 1024)  (3 est un nombre impair) (210 = 1024) ET (3 est un nombre impair) Est une proposition vraie car A est vraie et C est vraie. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Reprenons les propositions des exemples précédents A : 210 = 1024 (V) B : 5 < 4 (F) C : “3 est un nombre impair” (V) Seconde application : A  B : (210 = 1024)  (5 < 4) (210 = 1024) OU (5 < 4) Est une proposition vraie car A est vraie. A  C : (210 = 1024)  (3 est un nombre impair) (210 = 1024) OU (3 est un nombre impair) Est une proposition vraie. (A et C sont vraies). Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

qui n'est fausse que dans le seul cas où la proposition P est vraie Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Implication : Connecteur logique  (Si…..alors…) Implication : A tout couple de propositions (P,Q), l’implication associe une nouvelle proposition : “Si P, alors Q”, notée qui n'est fausse que dans le seul cas où la proposition P est vraie et la proposition Q fausse. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Connecteurs Binaires Implication 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Implication La valeur de vérité du connecteur “implication” est donnée dans la table ci-contre : P Q P Q V V V 1 1 1 V P implique Q n’est pas équivalente à Q implique P P implique Q signifie que si P est vraie, alors Q l’est également! F F 1 F V V 1 1 F F V 1 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Connecteurs Binaires Reprenons les exemples précédents 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Reprenons les exemples précédents A  B : (210 = 1024)  (5 < 4) est une proposition fausse car A est vraie et B est fausse. A  C : (210 = 1024)  (3 est un nombre impair) Est une proposition vraie car A est vraie et C est vraie. Il ne faut cependant pas chercher un lien de cause à effet entre le fait que 210 soit égal à 1024, et le fait que « 3 est un nombre impair ». Ici, on a introduit l’implication, (c'est-à-dire le connecteur implication ) indépendamment du contenu des propositions situées de part et d’autres du symbole . En mathématique, l’usage le plus fréquent de l’implication correspond à la 1ère ligne de la table de vérité : on a P vraie et on démontre que Q est vraie, le plus souvent en utilisant des théorèmes. ; On pourra alors en déduire que Q est vraie. Le fait que soit vrai lorsque P est faux peut surprendre ; il s’agit ici d’une nécessité pour éviter de rendre une théorie contradictoire. En mathématiques, la seule utilisation de ce cas se situe dans le raisonnement par l’absurde. Il ne faut cependant pas chercher un lien de cause à effet entre 210 = 1024, et “3 est un nombre impair” . Ici, on a introduit l’implication, c'est-à-dire le connecteur indépendamment du contenu des propositions situées de part et d’autres du symbole  . Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Soient P et Q deux propositions. 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Equivalence : Connecteur logique  qui se traduit par “si et seulement si” ou “est équivalent à” Equivalence : Soient P et Q deux propositions. La proposition “P est équivalente à Q”, notée P  Q (lue “P si et seulement si Q”) n’est vraie que si l’on a simultanément P  Q et Q  P Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Connecteurs Binaires Equivalence : 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Connecteurs Binaires Equivalence : La valeur de vérité du connecteur “équivalence” est donnée dans la table ci-contre : PQ et Q P P Q PQ Q P PQ V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Propriétés Les premières propriétés de ces connecteurs sont : 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Propriétés Les premières propriétés de ces connecteurs sont : La Commutativité de “et” et “ou” La Double distributivité La Complémentarité L’implication et l’équivalence La négation de propositions “connectées” Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pour toutes propositions P et Q 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Propriétés La commutativité Pour toutes propositions P et Q Via les tables de vérité de chacune des propositions qui sont de part et d’autre du signe « équivalent » Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pour toutes propositions P,Q et R 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Propriétés La double distributivité Pour toutes propositions P,Q et R Pour démontrer la première équivalence, il s’agit de construire dans un même tableau la table de vérité des propositions situées de part et d’autre du signe « si et seulement si » ; (La seconde » équivalence se démontrera de façon analogue) Nous remarquons de dans chacun des 8 cas, les deux propositions  « P ou (QetR) », et « (PouQ) et (PouR) » ont même valeur de vérité et sont donc équivalentes. (Mêmes tables de vérité) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pour toute proposition P 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Propriétés La complémentarité : Pour toute proposition P Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pour toutes propositions P et Q 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Propriétés L’implication et l’équivalence “imbriquées” : Pour toutes propositions P et Q Via les tables de vérité!!! P implique Q s’écrit (nonP) ou(Q) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pour toutes propositions P et Q 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Propriétés La négation d’une proposition avec connecteurs : Pour toutes propositions P et Q Via les tables de vérité!!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Autrement dit, en français : 11-Apr-17 Les Propositions [Title of the course] Propriétés La négation d’une proposition avec connecteurs : Autrement dit, en français : non(nonP) est la proposition P non(P et Q) est la proposition ((nonP)ou(nonQ)) non (P ou Q) est la proposition ((nonP)et(nonQ)) Via les tables de vérité!!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pause-réflexion sur cette 2ème partie 11-Apr-17 Les Propriétés [Title of the course] Pause-réflexion sur cette 2ème partie Avez-vous des questions ? Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Quantificateurs LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES 11-Apr-17 [Title of the course] LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES Les Quantificateurs Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Introduction Quantificateurs Usuels Quantificateurs Multiples Propriétés des Quantificateurs Résumé Pour S’entraîner… Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Introduction Trait Caractéristique de la Logique du 1er Ordre (Calcul des Prédicat) : Ensemble de symboles désignant des variables Ensemble de symboles désignant des fonctions Des connecteurs logiques Deux symboles appelés quantificateurs Le calcul des prédicats du premier ordre ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une logique formelle utilisable dans toutes les sciences, au sens où sa grammaire est suffisamment riche pour formaliser un grand nombre de raisonnements logiques. Le trait caractéristique de la logique du premier ordre est l'introduction d'un ensemble de symboles désignant des variables, d'un ensemble de symboles désignant des fonctions, ainsi que des connecteurs logiques et deux symboles et appelés quantificateurs. Cela permet ainsi de formuler des énoncés tels que, «Tout x est P» et «Il existe un x tel que pour tout y xRy», en symboles, et . Les formules logiques déduites de ce calcul des prédicats ont pour but de s'appliquer à n'importe quel modèle, c'est à dire n'importe quel ensemble dans lequel les variables, les fonctions, représentent respectivement des éléments de l'ensemble, des fonctions de cet ensemble dans lui même. Les prédicats représentent des qualités, s’ils sont à une place (unaires), ou des relations n-aires, entre n individus de cet ensemble. Ces notions seront précisées dans la suite. Le calcul des propositions est une version réduite du calcul des prédicats, sans les quantificateurs « pour tout » et « il existe » . Il est très utile notamment en informatique mais ne suffit pas pour formaliser tous les raisonnements. En effet : « Le calcul propositionnel ne permet pas de formuler tous les raisonnements. L’affirmation « n est pair » n’est pas une proposition puisqu’on ne peut pas déterminer si elle est vraie ou fausse. Cependant chaque fois qu’on donne une valeur à n (la variable) on obtient une proposition. Cette sorte d’affirmation sur les éléments variables d’un ensemble fixé s’appelle un prédicat. » « Un prédicat est une application qui associe une proposition P(x) à chaque élément x d’un ensemble E, appelé univers du prédicat. » Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Introduction Trait Caractéristique de la Logique du 1er Ordre (Calcul des Prédicats) : Grammaire suffisamment riche pour formuler un grand nombre de raisonnements logiques Formulation des énoncés du type : “il existe un x tel que pour tout y, x ≥ y” Formules logiques applicables à n’importe quel modèle Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Introduction Un énoncé de mathématique est grandement simplifié par l’emploi de 2 symboles, appelés quantificateurs : Le symbole “” qui signifie “Quel que soit’’ ou “Pour tout” Le symbole “” correspondant à “Il existe”. Il est souvent suivi, d’assez près par le symbole “ / ” qui signifie “tel que”. = quantificateur universel = quantificateur existentiel Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quantificateurs Usuels 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Quantificateurs Usuels Le quantificateur universel :  “Pour tout”, “Quelque soit” Est une proposition qui est vraie si pour tous les éléments x d’un ensemble E, les proposition P(x) sont vraies. Elle est fausse sinon. C‘est la conjonction de toutes les propositions P(x) pour x appartient à E. Cette proposition sera vraie si pour tout x, P(X) est vrai, elle sera fausse dans le cas contraire. Pour être énoncée, cette proposition se sert d’un prédicat. Quel que soit l’élément x (Pour tout x) appartenant à l’ensemble E, on a la proposition P(x). Ou encore : Tout élément x appartenant à E vérifie la propriété P(x); Tout élément x appartenant à E est tel que P(x). Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quantificateurs Usuels 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Quantificateurs Usuels Le quantificateur universel :  EXEMPLE : Les propositions suivantes sont-elles vraies?  _______________  _____ fausse  _______________  _____ vraie Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quantificateurs Usuels 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Quantificateurs Usuels Le quantificateur existentiel :  “Il existe…..”:  x  E, P(x) Est une proposition qui est vraie si pour au moins un des éléments x de l’ensemble E, P(x) est vrai; elle est fausse dans le cas contraire. C’est la disjonction de toutes les propositions P(x) (x appartient à E) Pour être énoncée, cette proposition se sert d’un prédicat. Lu : “ il existe au moins un élément x de l’ensemble E pour lequel on P(x)’’. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quantificateurs Usuels 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Quantificateurs Usuels Le quantificateur existentiel :  REMARQUES : Cette proposition peut être vraie sans qu’il existe nécessairement un élément de E pour lequel P(x) serait fausse. Il en existe au moins UN pour lequel la proposition P(x) est vraie, mais il peut en exister d’autres appartenant à E pour lesquelles la proposition P(x) est fausse… 1 2 Si l’on veut que la proposition soit vraie s’il existe un unique élément x pour lequel P(x) est vraie, on écrit alors : ! x  E, P(x) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quantificateurs Multiples 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Quantificateurs Multiples Plusieurs quantificateurs dans une proposition mathématique Signification de l’énoncé mathématique régie par l’ordre des quantificateurs Démonstration par un exemple EN règle générale, la plupart des propositions mathématiques contiennent plusieurs quantificateurs; Nous allons montrer que l’ordre des quantificateurs est fondamental quant à la signification de l’énoncé mathématique!!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quantificateurs Multiples 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Quantificateurs Multiples EXEMPLES COMPARATIFS : 1 2 3 Ainsi, on remarque que si l’on permute les quantificateurs dans la proposition n°3, qui est fausse, on obtient la proposition n°4 qui est vraie. Ainsi, en modifiant l’ordre des 2 quantificateurs et , nous sommes passés, dans cet exemple, d’une proposition fausse à une proposition vraie. D’où les Propriétés ci-dessous : 4 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Propriétés des Quantificateurs 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Propriétés des Quantificateurs Propriété 1 : Deux quantificateurs de même nature peuvent s’interchanger En d’autres termes : 1er exple….(équivalence) De même….exple n°2 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Propriétés des Quantificateurs 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Propriétés des Quantificateurs Propriété 2 : Dans une proposition comportant 2 quantificateurs différents, l’ordre dans lequel ils sont placés est fondamental !! Les changer peut complètement changer le sens de la proposition !!! L’ordre des quantificateurs va permettre de comprendre le sens de l’énoncé Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Propriétés des Quantificateurs 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Propriétés des Quantificateurs PROPRIETE 2 : Exemples x,  y / (tel que) x + y = 0 est une proposition vraie. x, / y x + y = 0 est une proposition fausse. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Propriétés des Quantificateurs 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Propriétés des Quantificateurs Négation de propositions quantifiées Propriété 3 : On a les équivalences suivantes : Ce qui se dit, « en français » : La négation de « il existe x, tel que P(x) » est « Pour tout x, nonP(x) , ou Pbarre » La négation de «  pour tout x, P(x) » est «  il existe un x, tel que non(P(x)) , ou encore P(x) barre » Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Résumé “RECETTE” pour passer d’une proposition à sa négation 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Résumé “RECETTE” pour passer d’une proposition à sa négation Et RECIPROQUEMENT... Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Pour S’entraîner… Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, puis donner leur négation 1 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pour S’entraîner… 2 Donner la négation des propositions suivantes : 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Pour S’entraîner… 2 Donner la négation des propositions suivantes : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pause-réflexion sur cette 3ème partie 11-Apr-17 Les Quantificateurs [Title of the course] Pause-réflexion sur cette 3ème partie Avez-vous des questions ? Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Langage Ensembliste LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES 11-Apr-17 [Title of the course] LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES Langage Ensembliste Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Introduction Définitions Cardinal d’un Ensemble Les Symboles : Définitions Les Symboles : Propriétés Les Symboles : Synthèse Les Symboles : Rappel des Propriétés Les Symboles : Quelques compléments Les Symboles : Un exemple d’utilisation Produit Cartésien de 2 ensembles : Définition, propriétés et cardinal Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Introduction 1 2 Il y a deux moyens d’écrire les ensembles : 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Introduction Il y a deux moyens d’écrire les ensembles : 1 En extension : On écrit tous les éléments de l’ensemble A considéré “entre crochets” : {… . .} L’ensemble des Booléens : B = {0 ; 1} L’ensemble des 10 chiffres servant à la numérotation décimale : D = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;9 } 2 En compréhension : On définit l’ensemble A comme étant constitué de tous les éléments d’un autre ensemble B qui vérifient une propriété P : A = { x  B / P(x) } Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

C’est un ensemble qui ne contient aucun élément. Il est noté . 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Définitions Ensemble vide C’est un ensemble qui ne contient aucun élément. Il est noté . REMARQUE : il faut bien faire attention de distinguer l’élément x du sous-ensemble {x}, réduit à cet élément !!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

est un ensemble A qui contient un unique élément. 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Définitions Un Singleton est un ensemble A qui contient un unique élément. Il est noté “entre crochet” : A = { x } REMARQUE : il faut bien faire attention de distinguer l’élément x du sous-ensemble {x}, réduit à cet élément !!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

est un ensemble A qui contient deux éléments, et deux seulement. 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Définitions Une Paire est un ensemble A qui contient deux éléments, et deux seulement. Il est noté : A = { x,y } REMARQUE : il faut bien faire attention de distinguer l’élément x du sous-ensemble {x}, réduit à cet élément !!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Cardinal d’un Ensemble 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Cardinal d’un Ensemble Cardinal d’un ensemble : Un ensemble E est dit fini s’il contient un nombre fini d’éléments. Le cardinal de E, noté Card(E), ou encore |E|, est le nombre d’éléments contenus dans E. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Voici la dénomination des symboles du langage ensembliste que nous allons étudier dans la suite de ce chapitre : L’Inclusion et l’égalité Le Complémentaire L’intersection L’union (ou la réunion) Différence Différence Symétrique Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Inclusion : Un ensemble A est inclus dans E si et seulement si Lorsque A est inclus E, on dit que A est un sous-ensemble de E ou une partie de E. Lu : “A inclus dans E” Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Inclusion : Illustration E A Tout élément x qui est dans A est aussi dans l’ensemble E; Attention, l’inverse est faux!! Il peut exister des éléments dans E qui n’appartiennent pas à A. REMARQUE : Partant d’un ensemble, nous venons d’en inventer un autre : c’est l’ensemble des sous-ensembles de E, noté P (E) , encore appelé l’ensemble de toutes les parties de E . Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Inclusion : Cas Particuliers REMARQUES : E non inclus dans F signifie qu’il existe un x appartenant à E tel que x n’appartient pas à F. Soulignons que l’égalité de deux ensembles se démontre par la double inclusion : E inclus dans F et F inclus dans E. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Complémentaire d’une partie A d’un ensemble E : Soit A une partie d’un ensemble E. Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Complémentaire de A dans E : Le complémentaire de A dans E (de A par rapport à E) est donc l’ensemble : Le symbole “ \ ”   signifiant “moins” : E moins A Lu : “E moins A” Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Complémentaire : Illustration E A Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Intersection de deux ensembles : Pour deux ensembles A et B, on appelle intersection de A et B, l’ensemble des éléments communs à A et à B : C’est l’ensemble des éléments x tels que x appartient à A et x appartient à B Lu : “A inter B ” Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Intersection : Illustration A B Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Intersection : REMARQUES * Deux ensembles dont l’intersection est vide sont dits disjoints * Quels que soient les ensembles A et B, leur intersection AinterB est un ensemble qui est inclus à la fois dans l’ensemble A et dans l’ensemble B * L’intersection A inter B est une partie de E (pour A et B deux ensembles de E) * Si A est inclus dans B alors son intersection avec B est A lui-même. (Idem pour B inclus dans A) : faire un schéma !!! (Vidéo) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Union, Réunion de deux ensembles : La réunion de deux ensembles A et B désigne l’ensemble des éléments appartenant au moins à l’un des ensembles A et B. C’est l’ensemble des éléments x tels que x appartient à A ou x appartient à B La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant soit à A, soit à l’ensemble B; Un tel élément peut être dans A exclusivement, ou dans B exclusivement, ou encore dans AinterB (« au moins a A ou B » signifie qu’il peut être dans les deux en même temps!!) Lu : “A union B ” Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Union : Illustration A B AB Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Union : REMARQUES REMARQUES : Quels que soient les ensembles A et B, leur union est un ensemble dont ils sont sous-ensembles : A inclus dans (AunionB) et B inclus dans (AunionB) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions La Différence de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B. On le note « A \ B » ( lire « A moins B » ), et on l'appelle différence de A et de B. « Faire la différence » de deux ensembles A et B se dit aussi « soustraire » B de A. Lu : “A moins B” Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Différence : Illustration A B Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions La Différence Symétrique de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont dans un des deux ensembles, sans être dans les deux à la fois. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Définitions 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Définitions Différence symétrique : Illustration A B Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Propriétés 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Propriétés Commutativité de l’intersection et de la réunion Pour tout ensemble A et B, Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Propriétés 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Propriétés Associativité de l’intersection et de la réunion Pour tout ensemble A, B et C Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Propriétés 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Propriétés Distributivité de l’intersection et de la réunion Pour tout ensemble A, B et C Même processus que pour la distributivité de + par rapport à x. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Propriétés 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Propriétés Cas Particuliers :  est l’élément neutre pour l’union :  est l’élément absorbant pour l’intersection : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Propriétés 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Propriétés Cas Particuliers – Bis : E est l’élément absorbant pour l’union : E est l’élément neutre pour l’intersection : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Synthèse 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Synthèse Soient A et B deux parties d’un ensemble E; Nous venons de définir : En définitive, grâce à l’introduction de ces symboles mathématiques, nous venons de définir de nouveaux ensembles : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Synthèse 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Synthèse Différence Et Différence Symétrique Union Inclusion Intersection Complémentaire Use the Course summary (You must say what you said !) slide to recap the most important points of the course at it’s ending. Keep the points short and easy to remember. Summarize the content in short sentences or phrases. If a summary item is more than a few lines long, left align its text. Compare your Course summary slide to your Course objectives slide. The summary should not just restate the objectives, but should contain the key points necessary to accomplish those objectives. If you have more than five or six important points, consider breaking the course into multiple courses or reducing the coverage of the course. The course must be 30 minutes max long ! Respect the SQAP! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Rappel des Propriétés 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Rappel des Propriétés Ces opérateurs possèdent les propriétés suivantes : Pour E, un ensemble, et A, B, C 3 sous-ensembles de E : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Rappel des Propriétés 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Rappel des Propriétés Ces opérateurs possèdent les propriétés suivantes : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Quelques compléments 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Quelques compléments Ces opérateurs possèdent les propriétés suivantes : Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Les Symboles : Un exemple d’utilisation 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Les Symboles : Un exemple d’utilisation Soient A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } et B = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 } des sous-ensembles de E = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Alors : AB = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9} AB = {1 ; 3 ; 5} A \ B = {2 ; 4 ; 6 } A  B = {2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 } CE(A) = { 7 ; 8 ; 9 } Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Produit Cartésien de deux ensembles 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Produit Cartésien de deux ensembles Voici les notions que nous allons aborder dans ce chapitre : Définition du produit cartésien de deux ensembles Exemple Cardinal d’un produit cartésien Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Produit Cartésien de deux ensembles 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Produit Cartésien de deux ensembles Produit cartésien de deux ensembles : Etant donné deux ensembles E et F, on appelle produit cartésien de E par F, que l’on note ExF, l’ensemble des couples d’éléments (x,y), tels que x appartient à E et y appartient à F. Attention : Faire remarquer que l’ordre est primordial; EN permutant les ensembles E et F, on obtient un nouvel ensemble : FxE qui est différent de ExF!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Produit Cartésien de deux ensembles 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Produit Cartésien de deux ensembles EXEMPLE : Soit E = {1,2,3} et soit F = {1,2 } Alors : ExF = { (1,1) ; (1;2) ; (2,1) ; (2,2) ; (3,1) ; (3,2) } Attention : FxE  ExF En effet, (2,3)  FxE alors que (2,3)  ExF Bien insister sur le fait que le premier élément du couple (x,y) doit être pris dans E, et E seulement, et que le second élément du couple, y, doit impérativement appartenir à F !!!!! Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Produit Cartésien de deux ensembles 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Produit Cartésien de deux ensembles Cardinal d’un Produit cartésien de deux ensembles : Si E et F sont deux ensembles finis, alors : Card(ExF) = Card(E) x Card(F) Si Card( E ) = n et Card(F) = p alors Card(ExF) = Card( E) x Card (F) = nxp = produit des cardinaux de chaque ensemble… Le nombre d’éléments (i.e. le nombre de couples) de ExF est égal au nombre d’éléments de E multiplié par le nombre d’éléments de F. Remarque : ExE est noté E2 RxR = R2 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Pause-réflexion sur cette 4ème partie 11-Apr-17 Langage Ensembliste [Title of the course] Pause-réflexion sur cette 4ème partie Avez-vous des questions ? Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Symboles du Langage Ensembliste Négation d’une proposition 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Résumé du module Symboles du Langage Ensembliste Quantificateurs Table de Vérité Connecteurs Binaires Négation d’une proposition Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Introduction au Quiz Voici les règles de ce Quiz: Obligatoire Oui 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Introduction au Quiz Voici les règles de ce Quiz: Obligatoire Oui Diplomant Non Questions 10 questions Barème 1 point par question Validation 75 % correct Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz Q1 : Quelle est la négation de la proposition suivante ? LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q1 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?  x  +, f(x)  1  x  +, f(x) > 1  x  +, f(x) > 1  x  +, f(x) > 1  x  +, f(x)  1  x  +, f(x)  1 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz R1 : Quelle est la négation de la proposition suivante ? LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R1 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?  x  +, f(x)  1  x  +, f(x) > 1  x  +, f(x) > 1  x  +, f(x) > 1  x  +, f(x)  1  x  +, f(x)  1 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz Q2 : Quelle est la négation de la proposition suivante ? LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q2 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?  x  ,  y  , x + y  0  x  ,  y  , x + y  0  x  ,  y  , x + y < 0  x  ,  y  , x + y < 0  x  ,  y  , x + y < 0  x  ,  y  , x + y  0 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz R2 : Quelle est la négation de la proposition suivante ? LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R2 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?  x  ,  y  , x + y  0  x  ,  y  , x + y  0  x  ,  y  , x + y < 0  x  ,  y  , x + y < 0  x  ,  y  , x + y < 0  x  ,  y  , x + y  0 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz Q3 : Quelle est la négation de la proposition suivante ? LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q3 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?  x  +,  y  , (x2 = y2  x = y)  x  +,  y  , (x2 ≠ y2  x ≠ y)  x  +,  y  , (x ≠ y  x2 ≠ y2)  x  +,  y  , (x2 = y2 ∧ x ≠ y)  x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∧ x = y)  x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∨ x = y) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz R3 : Quelle est la négation de la proposition suivante ? LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R3 : Quelle est la négation de la proposition suivante ?  x  +,  y  , (x2 = y2  x = y)  x  +,  y  , (x2 ≠ y2  x ≠ y)  x  +,  y  , (x ≠ y  x2 ≠ y2)  x  +,  y  , (x2 = y2 ∧ x ≠ y)  x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∧ x = y)  x  +,  y  , (x2 ≠ y2 ∨ x = y) Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz Q4 : Soit la table de vérité ci-dessous. 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q4 : Soit la table de vérité ci-dessous. Indiquer à quelle expression correspond R ? P  Q P Q R P  Q V V F V F F P  ¬ Q F V F ¬ P  Q F F V ¬ P  ¬ Q Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz R4 : Soit la table de vérité ci-dessous. 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R4 : Soit la table de vérité ci-dessous. Indiquer à quelle expression correspond R ? P  Q P Q R P  Q V V F V F F P  ¬ Q F V F ¬ P  Q F F V ¬ P  ¬ Q Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz Q5 : Soit la table de vérité ci-dessous. 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q5 : Soit la table de vérité ci-dessous. Indiquer à quelle expression correspond R ? P  Q P Q R P  Q V V V V F V P  ¬ Q F V V ¬ P  Q F F F ¬ P  ¬ Q Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz R5 : Soit la table de vérité ci-dessous. 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R5 : Soit la table de vérité ci-dessous. Indiquer à quelle expression correspond R ? P  Q P Q R P  Q V V V V F V P  ¬ Q F V V ¬ P  Q F F F ¬ P  ¬ Q Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz A  B {1;2;3;4;5;6;7;9} A  B {2;4;6} {7;8;9} A  B {1;3;5} A \ B 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q6 : Etant donnés A = {1;2;3;4;5;6} et B = {1;3;5;7;9}, deux sous-ensembles de E = {1;2.3;4;5;6;7;8;9}. Lier les expressions entre elles. A  B {1;2;3;4;5;6;7;9} A  B {2;4;6} A  B {7;8;9} A \ B {1;3;5} CE(A) {2;4;6;7;9} Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz A  B {1;2;3;4;5;6;7;9} A  B {2;4;6} {7;8;9} A  B {1;3;5} A \ B 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R6 : Etant donnés A = {1;2;3;4;5;6} et B = {1;3;5;7;9}, deux sous-ensembles de E = {1;2.3;4;5;6;7;8;9}. Lier les expressions entre elles. A  B {1;2;3;4;5;6;7;9} A  B {2;4;6} A  B {7;8;9} A \ B {1;3;5} CE(A) {2;4;6;7;9} Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz  Tel que / Il existe Il existe un unique  Et  ! Pour tout 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q7 : Lier les symboles et leur signification  Tel que / Il existe  Il existe un unique  Et ! Pour tout Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz  Tel que / Il existe Il existe un unique  Et  ! Pour tout 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R7 : Lier les symboles et leur définition  Tel que / Il existe  Il existe un unique  Et ! Pour tout Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz  Négation  Disjonction Implication Conjonction   Equivalence 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q8 : Lier les symboles et leur désignation  Négation  Disjonction  Implication  Conjonction  Equivalence Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Quiz  Equivalence  Disjonction Implication Conjonction   Négation 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R8 : Lier les symboles et leur désignation  Equivalence  Disjonction  Implication  Conjonction  Négation Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q9 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7} et F = {7;5}, à quoi est égal le cardinal de E x F ? 32 23 2x3 3x3 2x2 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R9 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7} et F = {7;5}, à quoi est égal le cardinal de E x F ? 32 23 3x2 3x3 2x2 Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz Q10 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7} et F = {7;5}, à quoi est égal E x F ? {(4;7) , (4;5) , (5;7) , (5;5) , (7;5) , (7;7)} {(7;4) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)} {(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (4;4) , (7;5)} {(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (7;5)} {(4;7) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)} Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Quiz R10 : Etant donnés les ensembles E = {4;5;7} et F = {7;5}, à quoi est égal E x F ? {(4;7) , (4;5) , (5;7) , (5;5) , (7;5) , (7;7)} {(7;4) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)} {(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (4;4) , (7;5)} {(5;5) , (7;7) , (4;5) , (5;4) , (7;5)} {(4;7) , (7;5) , (7;7) , (5;5) , (5;7) , (5;4)} Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Modules de cours connexes 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Pour aller plus loin… Si vous voulez approfondir vos connaissances: Modules de cours connexes Module 2 : Applications Module 3 : Relations Binaires Module 4 : Principe du Raisonnement Mathématique Module 5 : Algèbre de BOOLE Sites web www.supinfo.com www.campus-booster.com http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Vous avez suivi avec succès le module de cours n°1 11-Apr-17 [Title of the course] Félicitations Vous avez suivi avec succès le module de cours n°1 LOGIQUE MATHEMATIQUE Et ENSEMBLES Congratulate learners and leave them with a warm feeling and a sweet taste upon successfully completing the course. Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.

Fin LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES 11-Apr-17 LOGIQUE MATHEMATIQUE et ENSEMBLES [Title of the course] Fin S’entraîner à manipuler Connecteurs et Quantificateurs S’entraîner à nier (écrire la négation) des propositions mathématiques Savoir construire la table de vérité d’une proposition Copyright © 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.