Résolution des équations de Navier-Stokes : le problème de Stokes

Équations de Navier-Stokes incompressibles. Les difficultés : Équations non linéaires du fait du terme d’advection. La présence de diverses équations (chaleur, concentration massique de composés…) dont les résultats interviennent dans le terme source. - Couplage de la vitesse et de la pression. Petite remarque : - Pas de conditions aux limites sur le terme de pression.

La non-linéarité Un ordinateur ne peut résoudre que des problèmes linéaires. La prise en compte des termes non linéaires peut se faire de deux façons : expliciter le terme dans le schéma temporel adopté. Dans ce cas, les termes non linéaires n’ont qu’à être évalués en fonction des solutions aux temps précédents et être traités comme des termes sources. Cela induit un critère de stabilité pour les schémas numériques de type CFL (voir le cours de C.-T. Pham). -impliciter les termes non linéaires, mais adopter dans ce cas une procédure itérative de résolution : très coûteuse, cette démarche n’est jamais adoptée. La résolution ne concernera que le problème de Stokes

Autres équations à prendre en compte. Ces équations sont en général des équations d’advection/diffusion, éventuellement couplées entre-elles. Expliciter les termes non linéaires revient à transformer ces équations en problèmes de diffusion instationnaire, que nous savons résoudre : opérateur de Helmholtz. Exemple d’une équation de la chaleur : Termes non linéaires explicites Les termes du R.H.S. sont connus au temps n+1. H2, coefficient de Helmholtz

Couplage de la vitesse et de la pression Le problème à résoudre sera donc de la forme La résolution ne porte donc que sur un problème de Stokes : programme des dernières séances de cours. Focalisons aujourd’hui sur le traitement de la non-linéarité et les problèmes temporels : structure globale d’un programme de DNS.

Projet :Traitement d’équations non linéaires de type Bürgers 1D. Le but est de résoudre le problème de Bürgers suivant : Les conditions aux limites peuvent être généralisées pour des cas Robin/Robin. On utilise le schéma temporel suivant :

- Formuler le problème comme une série de problèmes de Helmholtz successifs à résoudre. (vous pourrez vous inspirer d’un programme de résolution du problème de Helmholtz 1D, E5_3_Lap_Helm_diagonalisation). - Définir les différentes variables numériques qui devront être utilisées pour le calcul. - Définir l’algorithme de votre programme de façon à éviter les redondances de calcul. Les diagonalisations d’opérateurs sont des opérations numériquement coûteuses… Écrire le programme et le valider sur un cas test analytique à définir. Valider votre programme en vérifiant que l’ordre temporel du schéma est bien respecté. Adapter le programme au cas proposé et représenter les résultats à différents instants du calcul.