Surfaces et Interfaces en Mécanique des Fluides Christophe Josserand Inst. D’Alembert, CNRS-UPMC

Une physique de tous les jours physique des interfaces, milieux multiphasiques nombreux enjeux fondamentaux, industriels et environnementaux. modélisation physique et mathématique complexe. grande variabilité de contexte et d’échelles. fil rouge de la présentation: l’impact de gouttes comme phénomène modèle. Usage de simulations numériques.

Quelques exemples l’éclatement de bulles: interaction océan-atmosphère.

atomisation par injection: moteurs, geysers et jet de pompier!

Simulation numérique 3D

Simulation numérique 2D

Impression par jet d’encre: formation et détachement de gouttes

recouvrement: ligne de contact

Impacts de gouttes: problème central en mécanique des fluides avec interface

Analyse physique et modélisation mathématique difficulté mathématique: suivre une interface d’épaisseur “petite” couplage entre variables eulériennes et lagrangiennes tension de surface: énergie par surface, force par longueur.

La tension de surface les atomes proches de l’interface n’ont pas le même environnement (énergie d’interaction) que les atomes dans le volume différence d’énergie par unité de surface: tension de surface s’interprète également comme une force de ligne

Conditions aux limites à l’interface continuité des vitesses (vitesse normale uniquement si la viscosité est nulle) continuité des contraintes tangentielles (si viscosité nulle, attention également à l’effet Marangoni) saut des contraintes normales= pression de Laplace (saut de pression dans une bulle/goutte, bulle de savon).

Système d’équations Equations de Navier-Stokes incompressible dans chaque fluide conditions de continuité/saut à l’interface déplacement de l’interface \rho (\frac{\partial {\bf u}}{\partial t}+ {\bf u}\cdot {\bf \nabla}{\bf u})=-{\bf \nabla}p+ \rho {\bf g} \mu \Delta {\bf u}

L’interface est positionnée en : Ecriture diphasique \frac{d {\bf X}}{dt}={\bf u}(X,t) L’interface est positionnée en :

Quelques ordres de grandeur

Nombres sans dimension nombre de Reynolds nombre de Weber nombre capillaire nombre Ohnesorge nombre de Bond different physical ratios (density, viscosity) aspect ratios (drop/film, drop/height) Re=\frac{\rhoUD}{\mu} We=\frac{\rho U^2D}{\sigma} Ca=\frac{\mu U}{\sigma} Oh=\frac{\sqrt{\rho \sigma D}}{\mu}

faible variations de la tension de surface suivant les liquides (Mercure le plus haut) altération rapide grande variabilité de la viscosité des fluides (glycérol mille fois plus visqueux) longueur capillaire: \sigma_{air/eau}=0.072 \;\;kg\cdot s^{-2} \mu_{eau}\sim 10^{-3} \;\;kg \cdot m^{-1}\cdot s^{-1} l_c=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}} \sim 2-3 \;\; mm

Quelques éléments de modélisation numérique

Domaine de recherche très actif Problème du suivi de l’interface Difficulté du calcul précis de la force liée à la tension de surface (courbure) Utilisation d’une fonction caractéristique qui vaut 1 dans le liquide et zéro dans le gaz. Numériquement, on obtient une variable c dont les valeurs s’échelonnent de 0 à 1 suivant si on est dans une des phases où si l’interface croise la maille de calcul

Reconstruction de l’interface

Test: pression de Laplace

Courants parasites

Quelques pistes (intéressantes) Ligne de contact mobile, lubrification Tensio-actifs, effets Marangoni, microfluidique Structure auto-similaire, singularités Impacts de gouttes

Solutions auto-similaires: détachement de gouttes

ces solutions apparaîssent lorsque les longueurs caractéristiques n’interviennent pas - -> les longueurs caractéristiques sont alors les variables elle-mêmes!

Singularités d’interface solutions auto-similaires --> singularités

Singularités en faible impact

Splash! S.T. Thoroddsen, JFM (2002)

L. Xu, W.W. Zhang & S.R. Nagel, PRL 94, 184505 (2005)

Drop impact mediated origami