D’ UN CIRCUIT RLC DEGRADE REPONSE TEMPORELLE D’ UN CIRCUIT RLC DEGRADE Du point de vue mathématique, on comprend qu'à la résolution d'une équation différentielle linéaire, on va obtenir certains termes qui seront amortis par des exponentielles négatives, et d'autres pas. Ainsi, le régime transitoire est donné par les termes de la solution qui sont amortis exponentiellement. Les autres termes définissent ce qu'on appelle le régime permanent. Le circuit est soumis à un signal périodique en forme de créneau de période T de tension Ui

Circuit RC Réponse à l’échelon en tension Loi de Kirchhoff : Ui = UR +U0 = Ri + u Or D’où :

D’où => Up = Ui D’où SGEC : EHA : Solution de la forme : u = e rt Equation caractéristique : RC r +1 = 0 => r = D’où u car U -> A en fin de charge SPEC : Ui = cste donc u p = cste => D’où => Up = Ui D’où SGEC :

Or la tension aux bornes d’un condensateur est continue : u(t=0-) = u( t=0+) Conditions initiales : u(t=0-) = 0 u( t=0+) = A +Ui = 0 => A = - Ui D’où :

Régime libre et régime forcé : importance des conditions initiales Parallèlement à la distinction régime transitoire et permanent, on peut en distinguer une seconde : le régime libre correspond à l'évolution du système laissé à lui-même, sans intervention extérieure. Du point de vue mathématique, cela revient à laisser agir les seules conditions initiales, sans membre de droite dans l'équation différentielle ; la réponse libre du système est la solution à l'équation homogène, avec conditions initiales. Le régime forcé correspond à la réponse du système lorsque ses conditions initiales sont nulles et qu'il n'y a donc que l'excitation qui agit sur le système.

En ce qui concerne le circuit RC , si on a une charge initiale stockée dans la capacité, on obtient : avec q0= Cu0 Ici le régime libre correspond à la décharge du condensateur. La réponse transitoire s'en trouve modifiée, alors que le régime permanent est le même, vu qu'il dépend de l'excitation et que cette dernière est encore un échelon unité.

Tension aux bornes d’une bobine UL: tension aux bornes de la bobine en volts (V). L: inductance de la bobine en henrys (H). r: résistance de la bobine en ohms (W). i: intensité du courant traversant la bobine en ampères (A). di/dt: dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant traversant la bobine en ampères par seconde (A.s-1).

CIRCUIT RL Réponse à l’échelon en intensité Loi de Kirchhoff : E = UR +UL= Ri + ri + L = (R+r)i +L On pose Ro = R + r D’où E = Ro i +L

EHA : Solution de la forme : i = e at Equation caractéristique : La + R0 = 0 => a = => i = I0 car en régime permanent i=I0 SPEC : E= cste donc ip = cste => D’où R ip = E => ip = SGEC :

=> D’où Or l’intensité du courant dans la bobine est continue : i(t=0-) = i( t=0+) Conditions initiales : i(t=0-) = 0 i( t=0+) = => D’où Si on place un interrupteur dans le circuit : Interrupteur fermé: Le courant s'installe progressivement: la bobine s'oppose à l'apparition de celui-ci. Interrupteur ouvert: Le courant diminue progressivement: la bobine s'oppose à la disparition de celui-ci. Conclusion: Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit où elle se trouve.

CIRCUIT RL Réponse à l’échelon en tension Loi de Kichhoff : E = UR +UL => UL = E – R0i D’où UL = E –R0 UL = E

Constante de temps La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit RL ou RC . Circuit RC : τ = R C Circuit RL :

Conditions nécessaires pour qu'un circuit RL ou RC se comporte comme un "circuit intégrateur" ou un "circuit dérivateur".

Se comportant comme un « circuit intégrateur ». Circuit RC Se comportant comme un « circuit intégrateur ».

ve(t) : tension d’entrée vs(t) : tension de sortie aux bornes de la capacité vR(t) : tension aux bornes de la résistance loi des mailles à l’instant t : (1) on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) : on a : et : donc :

on obtient : on divise (1) par RC = : finalement on obtient : si RC est très grand, on a très petit devant

on peut donc faire une approximation : en intégrant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la capacité et la tension d’entrée : Si on se met dans les conditions où est très petit devant , c’est-à-dire pour RC très grand, on voit que la tension de sortie est en première approximation le signal intégré de la tension d’entrée. Le circuit RC se comporte comme un « circuit intégrateur ».

Se comportant comme un « circuit dérivateur ». Circuit RL Se comportant comme un « circuit dérivateur ».

ve(t) : tension d’entrée vs(t) : tension de sortie aux bornes de la bobine vR(t) : tension aux bornes de la résistance loi des mailles à l’instant t : (2) on veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) : on a : et :

donc : on obtient : on multiplie (2) par : = finalement on obtient : si est très petit, on a très petit par rapport à

on peut donc faire une approximation : en dérivant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la bobine et la tension d’entrée : Si on se met dans les conditions où est très petit devant , c’est-à-dire pour très petit, on constate que la tension de sortie est en première approximation le signal dérivé de la tension d’entrée. Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».

Se comportant comme un « circuit dérivateur ». Circuit RC Se comportant comme un « circuit dérivateur ».

Le circuit RC peut aussi se comporter comme un « circuit dérivateur », en prenant cette fois-ci la tension de sortie aux bornes de la capacité : ve(t) : tension d’entrée vs(t) : tension de sortie aux bornes de la résistance vR(t) : tension aux bornes de la résistance On suit le même raisonnement que précédemment : loi des mailles : on a : et : soit :

ce qui donne : on remplace dans l’équation : si est très petit, on a très petit devant en approximation : en dérivant : On voit que la tension de sortie est en première approximation le signal dérivé de la tension d’entrée. Le circuit se comporte comme un « circuit dérivateur ».

Se comportant comme un « circuit intégrateur ». Circuit RL Se comportant comme un « circuit intégrateur ».

De la même façon le circuit RL peut se comporter comme un « circuit intégrateur » : ve(t) : tension d’entrée vs(t) : tension de sortie aux bornes de la résistance vL(t) : tension aux bornes de la bobine loi des mailles : on a : et : donc :

on remplace dans : si est très petit, on a très petit devant : en approximation : en intégrant : On voit que la tension de sortie est l’intégrale de la tension d’entrée. Le circuit se comporte comme un « circuit intégrateur ».

Notions Utiles Fonction de Transfert Rappel : La relation entre le signal de sortie et le signal d’entrée est appelé : Fonction de transfert : Il apparaît : Le Gain en tension : Le Déphasage :

Représentation de Bode Notions Utiles Représentation de Bode On appelle représentation de BODE de la fonction de transfert l'association des graphes : Gain en amplitude : GdB (w) = 20 log G(w) Phase : j(w) La gamme de fréquence étant souvent élevé on utilise une échelle logarithmique. Bande passante On appelle bande passante bande de fréquences dans laquelle l'amplitude est supérieure à un pourcentage de sa valeur maximale. En général, U>Umax/ . Plus simplement, c’est la gamme de fréquence pour laquelle on considère qu’ un signal est transmis.

RC Intégrateur Gain Phase

RC Intégrateur Bande passante wc Bande Passante Gmax Bande Passante Gmax/ wc Le circuit RC intégrateur se comporte comme un filtre passe-bas, puisqu’il ne transmet le signal que dans une bande de fréquence

Représentation de Bode RC Intégrateur Représentation de Bode GdB (w) j (w) w w -3 Gaindb Phase -p/2

RC Intégrateur Gdb=-3 j=-p/4 w=0 Gmax=1 (filtre passif) Gdb max =0 j=0 Rappels : Que se passe-t-il quand w prend les valeurs suivantes ? w=0 w=wc=1/RC w∞ w=0 Gmax=1 (filtre passif) Gdb max =0 j=0 coupe circuit w∞ G#1/(RCw) G0 Gdb# -20*log(RCw) Gdb -∞ j=-p/2 (intégrateur) court circuit w=wc=1/RC G(wc)=1/ Gdb=-3 j=-p/4

Gdb=-3 j=-p/4 w G Gdb j w=0 Gmax=1 (filtre passif) Gdb max =0 j=0 Equivalence w=0 Gmax=1 (filtre passif) Gdb max =0 j=0 coupe circuit w=wc=1/RC G(wc)=1/ Gdb=-3 j=-p/4 w∞ G#1/(RCw) G0 Gdb# -20*log(RCw) Gdb -∞ j=-p/2 (intégrateur) court circuit

En Bref L’étude du gain et de la phase du circuit intégrateur par l’intermédiaire de la fonction complexe et de la phase permet de déterminer : Le type de filtre : passe-bas La fréquence de coupure de la bande passante à 3 dB :

Filtre passe-bas Filtre passe-haut RC Intégrateur RC Dérivateur Lorsque RC est grand, on a fc  0 Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal. RC Dérivateur Filtre passe-haut Lorsque RC est petit, on a fc  ∞ Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la composante continue du signal.

Filtre passe-bas Filtre passe-haut RL Intégrateur RL Dérivateur Lorsque L/R est grand, on a fc  0 Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal. RL Dérivateur Filtre passe-haut Lorsque L/R est petit, on a fc  ∞ Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la composante continue du signal.

Applications du circuit ‘‘ Intégrateur’’ Oscilloscope : donne la composante continue d’un signal alternatif Amplis Hi-Fi : filtre passe-bas qui supprime les hautes fréquences