analyse didactique G.Dutillieux

Connaître et analyser le savoir savant (maths et épistémologie) Quel est le savoir actuel de l’élève ? Interroger le sens de la notion : les problèmes qu’elle permet de résoudre  champ conceptuel Quels sont les obstacles à surmonter ? Les difficultés intrinsèques au savoir ? Erreurs ou conceptions fausses les plus fréquentes. Leurs origines. Analyser la transposition didactique : permet-elle l’accès au savoir savant ? Ne risque-t-elle pas de créer de nouveaux obstacles (didactiques) pour la suite des apprentissages ? Cohérence : de la progression entre objectifs et tâches des élèves entre les différentes activités correspondant aux phases de l’apprentissage Analyse épistémologique des objets mathématiques Quels sont les problèmes que la notion permet de résoudre: notion d’obstacle

Géométrie Approche perceptive : puzzles, encastrements Approche descriptive : un message pour reproduire une figure. Approche procédurale : programme de construction. Cf « travaux géométriques au C3 » CRDP Pas de Calais Approche opératoire : voir le objets par rapport à leurs propriétés.

Analyser le savoir savant Relation entre les espaces physiques (micro : espace de la feuille de papier, de la maquette, méso : espace de la classe : mesure avec le corps, macro : espace plus grand) et la géométrie (Domaine qui structure les différents espaces) Différents types de géométrie dans l’enseignement : empirique et pragmatique au C1, expérimentale (introduction de concepts) aux C2 et C3, déductive au C3 et collège (argumentation) Passage du dessin, au dessin à l’aide d’instruments, à la figure codée puis au schéma codé. Qu’est-ce que la géométrie: branche des maths pures servant d’outil à la gestion de l’espace/ espace physique Plusieurs espaces physiques (Galvez: 3 types d’espaces/ micro, maso, macro) différence de perception et de la représentation mentale/ la géométrie n’est aucun de ceux là mais un espace abstrait qui va permettre de structurer les autres. Le lien avec l’espace physique va être de plus en plus disjoint/ manipulation empirique lorsqu’on représente sur le micro On va de plus en plus vers une sciences de nature expérimentale (ex: dessiner un rectangle dans la cour de l’école/ appel à des propriétés et des instruments pour vérifier les caractéristiques) Géométrie déductive au collège (propriété, théorèmes- univers abstrait) Enjeu de l’école primaire: passer d’une géométrie empirique à une géométrie expérimentale et déductive/ théorème

Principales notions qui permettent de structurer l’espace : Relations topologiques, Droite, Parallélisme, Angle, Mesure  espace euclidien : forme (objet idéal), quadrillage. Travail de topologie réalisé à la maternelle en terme de méso espace On commence à travailler la notion de droite en maternelle et on l’introduit vraiment au C2 (utilisation de la règle dans le micro espace, corde tendue utilisée da le méso espace)/ même notion mais pas les mêmes instruments de mesure. La représentation s’opère grâce aux mêmes instruments, il est nécessaire de travailler sur les deux espaces en parallèle. Espace euclidien: nécessite d’aborder les notions préalables droite, parallèle, angle/ on fait entrer petit à petit l’enfant dans l’espace euclidien. L’univers étant structuré dasn un espace euclidien, dès la maternelle les enfants sont familiarisés avec celui-ci implicitement

Liens avec le domaine numérique (nombres entiers, proportionnalité) Autres notions : transformations géométriques (symétrie et agrandissements/réductions) Liens avec le domaine numérique (nombres entiers, proportionnalité) Articulation ave le numérique: mesures

Le savoir actuel de l’élève Cela dépend de la progression suivie

Interroger le sens de la notion Elle permet de résoudre des problèmes, d’abord dans un espace physique Classes de problèmes : reproduire, représenter, décrire, construire (4 piliers des activités pouvant être menées à l’école primaire) pour mémoriser, communiquer ou anticiper. Evolution vers l’abstraction. Représenter = première abstraction/ mêmes propriétés (ex: représentation d’un dessin à partir d’une construction avec des formes géométriques en maternelle- les propriétés topologiques/ les forme posées les unes par rapport aux autres/ peuvent être conservées celles d’orientation également/ mais les propriétés ne sont pas toutes conservées- seule la perception est gardée) cf revue grand N « représentation des figures planes en maternelle/ article sur internet) Représentation: garder des propriétés et en perdre d’autres

Obstacles et difficultés intrinsèques Matérialité : imprécisions et fausses conceptions (une forme est un dessin alors que le dessin n’est que la représentation de la forme); Relation entre différents types d’espace et géométrie Représentation de la dimension 3 en dimension 2 Notion d’infini Inhérentes à chaque notion (Par exemple : un carré est un rectangle !) Sens des instruments et utilisation Notions abstraites appuyées sur la manipulation d’objets concrets entraîne des imprécisions (ex: communication de figures/ superposition parfaite impossible) Plan de ville = représentation du macro espace qui nécessite de connaître les notions d’angle droit, de perpendiculaire… Au C3 le macro espace est insuffisamment travaillé La notion d’infini crée un obstacle majeur: différencier droite et segment impossible en primaire car la notion d’infini n’est pas conceptualisée, les enfants n’y ont pas encore accès

Transposition didactique Exemple : la notion de droites parallèles Ce sont des droites qui ne se coupent pas. C’est faux dans le monde physique. Approche de préférence locale : Les droites sont parallèles si elles sont perpendiculaires à une même droite. Autre exemple: cela n’a pas de sens pour l’enfant de différencier droites et segments Derrière la notion de droite parallèle il y a la notion d’infini/ définition des manuels fausse dans le monde physique Approche locale des droites parallèle/ perpendicularité

Erreurs ou conceptions fausses les plus fréquentes Exemples : liées à la perception et à la création d’images mentales figées : figures prototypiques (carrés posés sur la pointe) notionnelles : un carré n’est pas un rectangle (alors qu‘ un carré est un rectangle particulier)…etc. Géométrie physique et expérimentale à préconiser à l’école primaire accompagnées de résolutions de problèmes pour donner du sens Matériel et brochures pour la maternelle: « la moisson des formes »

Fractions et décimaux

Analyser le savoir savant Un nombre (signifié) est un objet abstrait qui ne peut se manier que par l’intermédiaire de désignations (signifiants). Le signe égal indique que les deux désignations représentent le même nombre. Une fraction est une désignation d’un nombre rationnel. Plusieurs fractions désignent le même rationnel. Un décimal est un nombre rationnel qui peut être désigné par une fraction décimale. Plusieurs fractions désignent un décimal. Il peut aussi être désigné par une écriture décimale.

Z : inverse de l’addition (nombres négatifs) 5 +… = 3 Ensembles de nombres, passage de l’un à l’autre par complétude algébrique ou topologique. N : les nombres entiers Z : inverse de l’addition (nombres négatifs) 5 +… = 3 Q : inverse de la multiplication (nombres rationnels) 3 x … = 4 R : continuité (nombres réels) Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres. Par exemple, un nombre entier est aussi un rationnel ou un réel.

Ce sont des rationnels particuliers Décimaux Ce sont des rationnels particuliers Leur invention (tardive) repose sur la maniabilité (calculs) de leur écriture décimale. Les décimaux sont utilisés comme valeurs approchées des nombres réels.

Le savoir actuel de l’élève Quand on aborde les décimaux, les élèves connaissent : Les nombres entiers, La mesure entière, La multiplication, La division euclidienne Les représentations graphiques (droite graduée)

Interroger le sens de la notion Problèmes que les entiers ne peuvent pas résoudre (voir fichier: rationnels et décimaux) Classe 1 : Rapport de deux grandeurs et mesure d’une grandeur (bandes unités) Classe 2 : Multiplication à trou Classe 3 : Proportionnalité Classe 4 : Intercalation

Obstacles et difficultés intrinsèques Les rationnels sont de nouveaux nombres obtenus à partir de deux entiers, numérateur et dénominateur et non pas partie entière et décimale On ne peut pas prolonger les propriétés des nombres entiers :en terme de comparaison, d’opération, d’intercalation. Mais les entiers sont des rationnels particuliers. Notion d’infiniment petit

Transposition didactique Les fractions apparaissent dans un premier temps comme un codage lié à une grandeur : aire, longueur. Il faut le généraliser et ne pas fixer l’image mentale d’une fraction à une grandeur particulière. L’introduction avec les disques risquent d’empêcher la compréhension des fractions supérieures à 1. Le codage fractionnaire est arbitraire. Il faut en cerner la signification sinon sa mémorisation peut entraîner des confusions (avec l’écriture décimale par exemple) On passe du codage d’intervalles à un codage de points. Il faut aussi en cerner la signification. Ecritures additives : on se sert de l’additivité de la longueur de façon implicite (prolongement du signe +) ce qui peut provoquer des difficultés lorsqu’on abordera l’addition de décimaux. L’introduction à partir des mesures risque de donner une image « finie » des décimaux (impossibilité matérielle de l’infini petit) On insiste beaucoup sur « partie entière » et « partie décimale » ce qui renforce la vision d’un nombre décimal comme la juxtaposition de deux entiers.

Erreurs ou conceptions fausses les plus fréquentes Un décimal, conçu comme la juxtaposition de deux entiers Un décimal, conçu comme un entier « déguisé » Prégnance de l’écriture décimale au détriment du sens (un nombre décimal est un nombre à virgule) 10 x ? = 4 donc ? = 4/10 2/3 est un rationnel non décimal mais il a une écriture décimale illimitée sous la forme 0,666…