La thermodynamique statistique

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles 1) L’échelle macroscopique

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles 1) L’échelle macroscopique 2) L’échelle microscopique

Définition : On appelle libre parcours moyen d'une particule dans un fluide, noté *, la distance moyenne que parcourt cette particule entre deux chocs consécutifs avec les autres molécules du fluide. Ordres de grandeurs : *gaz  10–7 m et *liq  10–10 m.

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles 1) L’échelle macroscopique 2) L’échelle microscopique 3) L’échelle mésoscopique

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles 1) L’échelle macroscopique 2) L’échelle microscopique 3) L’échelle mésoscopique 4) L’axiome de l’équilibre local

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann 1) Relation fondamentale de la statique des fluides

M m = (M,t).d O x y z (R)

Relation fondamentale de la statique des fluides Dans un référentiel R quelconque, en M : gradP = .g + fva

Relation fondamentale de la statique des fluides En M, dans un référentiel R galiléen, avec uniquement les forces pressantes et la pesanteur : gradP = .g

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann 1) Relation fondamentale de la statique des fluides 2) Modèle de l’atmosphère isotherme

O x y z (R) g M T(M) = T0

gradP = .g P1 g O x y z (R) P2 P3 P3 > P2 > P1

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann 1) Relation fondamentale de la statique des fluides 2) Modèle de l’atmosphère isotherme 3) Le facteur de Boltzmann

Lorsqu'un système thermodynamique en équilibre à la température uniforme T, est constitué de particules indépendantes dont l'énergie individuelle E peut prendre plusieurs valeurs discrètes ou continues, la probabilité P(E) pour une particule d’être dans l’état d’énergie E est proportionnelle au facteur ou poids de Boltzmann :

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann 1) Relation fondamentale de la statique des fluides 2) Modèle de l’atmosphère isotherme 3) Le facteur de Boltzmann 4) Interprétations

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann III) Généralisation du facteur de Boltzmann

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann III) Généralisation du facteur de Boltzmann 1) Probabilité d’occupation d’un état

Probabilité d’occupation

Probabilité d’occupation

Probabilité d’occupation Pi Ei E1 Ej E2 E3

Probabilité d’occupation Pi Ei E1 E2 E3 « Basse » température kBT

Probabilité d’occupation Pi Ei E1 E2 E3 E4 E5 E6 « Haute » température

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann III) Généralisation du facteur de Boltzmann 1) Probabilité d’occupation 2) Énergie moyenne et écart quadratique moyen a) L’énergie moyenne

Énergie moyenne

La thermodynamique statistique III) Généralisation du facteur de Boltzmann 1) Probabilité d’occupation 2) Énergie moyenne et écart quadratique moyen a) L’énergie moyenne b) L’écart quadratique énergétique

Écart quadratique énergétique

Écart quadratique énergétique

Écart quadratique énergétique

(E)2 = la moyenne des carrés – le carré de la moyenne Écart quadratique énergétique (E)2 = la moyenne des carrés – le carré de la moyenne

La thermodynamique statistique III) Généralisation du facteur de Boltzmann 1) Probabilité d’occupation 2) Énergie moyenne et écart quadratique moyen 3) Applications a) Système de N particules indépendantes

Écart quadratique énergétique de N particules

Écart quadratique énergétique de N particules Les N particules sont indépendantes

Écart quadratique énergétique de N particules

Écart quadratique énergétique de N particules

Écart quadratique énergétique de N particules

La thermodynamique statistique III) Généralisation du facteur de Boltzmann 1) Probabilité d’occupation 2) Énergie moyenne et écart quadratique moyen 3) Applications a) Système de N particules indépendantes b) Système à deux niveaux d’énergie

Énergie moyenne d’un système à deux niveaux

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann III) Généralisation du facteur de Boltzmann IV) Capacités thermiques classiques

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann III) Généralisation du facteur de Boltzmann IV) Capacités thermiques classiques 1) Densité de probabilité

Densité de probabilité

Densité de probabilité

La thermodynamique statistique I) Les différentes échelles II) Introduction du facteur de Boltzmann III) Généralisation du facteur de Boltzmann IV) Capacités thermiques classiques 1) Densité de probabilité 2) Distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann

Densité de probabilité

Densité de probabilité

Densité de probabilité

Densité de probabilité

La thermodynamique statistique IV) Capacités thermiques classiques 1) Densité de probabilité 2) Distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann 3) Théorème de l’équipartition de l’énergie a) Exemple du gaz parfait monoatomique

Énergie cinétique individuelle moyenne

Énergie cinétique individuelle moyenne

La thermodynamique statistique IV) Capacités thermiques classiques 1) Densité de probabilité 2) Distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann 3) Théorème de l’équipartition de l’énergie a) Exemple du gaz parfait monoatomique b) Généralisation

Théorème de l’équipartition de l’énergie Lorsque l’énergie classique d’une particule fait intervenir de manière indépendante le carré d’une variable, alors la moyenne de ce terme énergétique, pour des particules indépendantes au contact d’un thermostat de température T vaut :

La thermodynamique statistique IV) Capacités thermiques classiques 1) Densité de probabilité 2) Distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann 3) Théorème de l’équipartition de l’énergie 4) Capacité thermique molaire

Capacité thermique

Capacité thermique molaire

En conséquence du théorème de l’équipartition de l’énergie, chaque degré de liberté énergétique quadratique augmente la capacité thermique molaire à volume constant de :

La thermodynamique statistique IV) Capacités thermiques classiques 1) Densité de probabilité 2) Distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann 3) Théorème de l’équipartition de l’énergie 4) Capacité thermique molaire a) Le gaz parfait

La thermodynamique statistique IV) Capacités thermiques classiques 4) Capacité thermique molaire a) Le gaz parfait b) Les solides

Loi de Dulong et Petit Si la température est suffisamment élevée, la capacité thermique molaire à volume constant des solides vaut 3R indépendamment de la nature du solide.

La thermodynamique statistique IV) Capacités thermiques classiques 4) Capacité thermique molaire a) Le gaz parfait b) Les solides c) Retour sur le système à deux niveaux

Système à deux niveaux

Système à deux niveaux

Système à deux niveaux