SIMPLIFICATION D’UNE RACINE CARREE

Prendre la racine carrée d’un nombre positif consiste à chercher un nombre positif dont le carré est le nombre situé sous le radical. Par exemple, pour calculer la racine carrée de 25, nous devons rechercher un nombre positif dont le carré est 25. Ce nombre existe et est égal à … 5. Tout nombre positif a une racine carrée. Le nombre 2 a une racine carrée, mais cette valeur ne peut pas s’écrire sous forme décimale, ni même sous forme d’une fraction. La racine carrée de 2 vaut environ 1,414 mais n’est pas égal à 1,414. mais le carré de 1,414 ne donne pas 2. Ce carré est proche de 2 , mais différent : 1,414² = 1,9993969 ! La seule écriture possible de la racine carrée de 2 est ……. La racine carrée de 3, c’est-à-dire le nombre positif dont le carré est 3 s’écrit

Nous pouvons cependant « calculer » certaines racines carrées. Par exemple : Si nous ne considérons que les nombres entiers ( positifs ), certaines racines carrées se simplifient. Par exemple : Seules les racines carrées de carrés parfaits sont des entiers. Tous les autres nombres entiers auront des racines carrées … irrationnelles. Ces nombres 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 ; 144 … sont appelés des carrés parfaits. ( Un carré parfait est le carré d’un nombre entier) Ces carrés parfaits ( dont la racine carrée a une écriture simple ) vont nous permettre de simplifier certaines racines carrées.

Premier carré parfait: Nous constatons que : A = Simplifier : A = A = Premier carré parfait: 4 Nous constatons que : 12 = 4 x 3 A = A = Peut-on continuer la simplification ? Il est impossible d’écrire 3 comme le produit d’un carré parfait par un autre nombre ( 3<4 ). On arrête ! Puisque la racine carrée d’un carré parfait est un nombre entier, nous pouvons écrire : Question : Peut-on écrire le nombre 12 comme produit d’un carré parfait par un autre nombre ? A = Nous allons maintenant utiliser une propriété des racines carrées : Prenons les carrés parfaits (autre que 1) dans l’ordre et vérifions.

18 n’est pas divisible par 4. 18 est divisible par 9 et s’écrit : Simplifier : B = B = B = B = 18 n’est pas divisible par 4. 18 est divisible par 9 et s’écrit : 18 = 9 x 2 (Conseil :Toujours commencer par écrire le carré parfait en premier ) Cherchons si 18 est le produit d’un carré parfait par un autre nombre ( c’est-à-dire : est-ce que 18 est divisible par un carré parfait ? )

Mais 18 est encore divisible par un carré parfait : 9 Simplifier : C = Nous pouvions également chercher, dès le début, un carré parfait plus grand. Il suffit de faire rapidement les divisions de 72 par tous les carrés parfaits jusqu’à 64 ( le carré parfait suivant 81 étant supérieur à 72 ). Nous avons : 72 = 36 x 2 C = C = C = Donc Mais 18 est encore divisible par un carré parfait : 9 18 = 9 x 2 Nous devons donc continuer ; C = 72 est divisible par 4. 72 = 4 x 18 Nous avons donc : C = C =

EXERCICES Simplifier : Nous pouvions également écrire : Si 4 est un carré parfait, 36 l’est également. Nous pouvions également dire que 144 est un carré parfait : le carré de 12 . D’où le résultat !

UN PEU PLUS LOIN . . .… Utilisons une propriété de la racine carrée : ( a positif ) Simplifier : A ce stade, nous pouvons nous apercevoir que 18 « contient » encore un carré parfait, à savoir 9. Nous pouvons donc le faire apparaître et décomposer 18. Simplifier : Devons-nous nécessairement faire apparaître un carré parfait ? OUI et NON Nous pouvons également écrire 12 sous la forme 12 = 6 x 2 Nous avons donc : Mais la racine carrée de 6 ne se simplifie pas ! Décomposons alors 6 : 6 = 3 x 2