Couche limite atmosphérique Théorie de la similitude Définition La couche limite atmosphérique est la partie de l’atmosphère en contact avec la surface terrestre, directement influencée par la présence de celle-ci

Hypothèse de similitude Si les conditions de réalisation de deux expériences sont identiques leurs résultats sont aussi identiques Mêmes causes  mêmes effets Il n ’y est pas nécessaire que tous les paramètres définissant l ’expérience aient les mêmes valeurs : il faut cependant qu ’ils satisfassent les conditions de similitude.

Similitude Similitude est la théorie et l ’art de prédire le comportement d ’un phénomène en construisant un modèle du phénomène (ou prototype). Similarité géométrique : deux systèmes sont similaires géométriquement s ’il ont un rapport d ’échelle L/L* constant Similarité cinématique : pour qu ’il y ai de la similitude cinématique entre deux écoulements doivent être similaires aux endroits correspondants : u1/u1* = u2/u2* . Similarité dynamique : pour qu ’il y ai de la similitude dynamique toutes les forces en jeu, quand à leur intensité, direction et leur point d ’application doivent être similaires. Notons que la similitude dynamique est une condition nécessaire à la similitude cinématique

? ? Similitude géométrique Considérons un phénomène dont la dimension linéaire est L. Soit L* l ’échelle caractéristique. Toutes les autres dimensions doivent être dans le rapport L/L* . ? Les surfaces doivent satisfaire le rapport (L/L*)2 ? Les volumes doivent satisfaire le rapport (L/L*)3

Similitude dynamique Considérons la loi de Newton : Forces possibles: Force d ’inertie Force de viscosité Force de pression Force de compressibilité Force de pesanteur Force de tension superficielle

Similitude dynamique Les deux écoulements sont similaires si:

Rapports de forces : nombres sans dimensions

Similitude Les différences observées entre les résultas de deux expériences similaires ne sont pas imputables à une différence de nature mais uniquement à des différences d ’échelle. La théorie de similitude se base dans l ’organisation des variables que définissent le phénomène en groupes sans dimensions. Pour la formation de ces groupes sans dimensions on recours à l ’analyse dimensionnelle.

Dimensions : le 7 grandeurs de base Grandeur Symbole dimensionnel Unité masse M kilogramme longueur L mètre temps T seconde intensité électrique I ampère température  kelvin intensité lumineuse J candela quantité de matière N mole

Analyse dimensionnelle : homogénéité dimensionnelle L ’homogénéité dimensionnelle constitue une contrainte assez puissante sur la forme des relations entre les paramètres physiques qui sont identifiés comme importants pour définir le phénomène à étudier. théorème  Soit l ’ensemble de n paramètres b1, b2, …, bn. Le théorème  nous dit que si r des n paramètres ont des dimensions physiques indépendantes, alors on peut former (n-r) paramètres physiques indépendants et sans dimensions. Chaque combinaison sans dimensions est formée à l ’aide d ’un ensemble libre maximum, p. ex. : b1, b2, …, br et de l ’un des paramètres de l ’ensemble complémentaire, ici br+1, br+2, …, bn.

Théorème  : procédure 1 - Identification de tous les paramètres pertinents pour l ’étude du problème spécifique (éviter d ’introduire trop de paramètres). 2 - Mettre sur pied un ensemble complet de variables sans dimensions qui caractériserons le phénomène 1, 2, …, n-r. (r est la base dimensionnelle et doit contenir toutes les dimensions fondamentales) 3 - Prendre des mesures afin relier ces variables entre elles et ainsi déterminer la forme des fonctions universelles qui gouvernent le phénomène : f(1, 2, …, n-r)=0 Exemple: profil vertical de la vitesse dans la CLP

Théorème  : exemple 1 [T-1] Variables importantes pour la description du phénomène et dimensions de chaque variable: [L] Altitude [LT-1] Frottement au sol [LT-1 ] Flux cinématique de chaleur en surface [T-1] Paramètre de Coriolis [LT-2 -1] Paramètre de flottabilité

Théorème  : exemple 1 Construction de la matrice dimensionnelle : L 1 1 1 1 1 M T -1 -1 -1 -2 -1  -1 -1 Rang de la matrice = r = 3

Théorème  : exemple 1 Choix des «variables clé» ou base dimensionnelle Contraintes: a) le nombre de variables clé doit être égale au rang de la matrice dimensionnelle. b) toutes les dimensions doivent être représentées; c) doivent être dimensionnellement indépendantes. [T-1] Base dimensionnelle: [L] [LT-1] Paramètres dépendants [T-1] [LT-2 -1 ] [LT-1 ]

Théorème  : exemple 1 Rang de la matrice = r = 3 Base dimensionnelle: Paramètres dépendants

Théorème  : exemple 1 Calcul des fonctions 

Théorème  : exemple 1

Théorème  : exemple 1 Traditionnellement on définie deux échelles de longueur :

Théorème  : exemple 1 et sont des fonctions à déterminer par la théorie du phénomène ou expérimentalement. Conclusion : 1) L ’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle entre les paramètre. 2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales où théoriques.

Théorème  : exemple 2 (Stull) Écoulement d ’un fluide dans une conduite: Comment varie les contraintes de cisaillement  Variables clé : contraintes de cisaillement, densité, viscosité, vitesse, diamètre de la conduite, rugosité de la conduite. Dimensions :    u D z0 ML-1T-2 ML-3 ML-1T-1 LT-1 L L Nombre de dimensions indépendantes: M,L,T = 3 Choix des variables clé : (, z0, u), (, D, u), (, , D)

Théorème  : exemple 2 (Stull) Écoulement d ’un fluide dans une conduite: Comment varie les contraintes de cisaillement  Dimensions :    u D z0 ML-1T-2 ML-3 ML-1T-1 LT-1 L L variables clé : (, D, u) variables dépendantes : (, , z0) Groupes  :

Théorème  : exemple 2 (Stull) Écoulement d ’un fluide dans une conduite: Comment varie les contraintes de cisaillement  Groupes  : Coefficient de transfert 1/Re de rugosité Rugosité relative où

Théorème  : exemple 2 (Stull) Résultats expérimentaux Comment varie les contraintes de cisaillement  Discussion

Classes de similitude Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la CS Similitude de la couche de mélange Similitude de locale Convection libre locale Similitude de Rossby

Classes de similitude Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la CS Applicable dans la couche de surface Couche de surface : où les flux sont constants. On utilise alors les flux à un seul niveau. Cette théorie est valable seulement quand il y a du vent et que u* est différent de zéro. Échelles importantes : L = longueur de Monin Obukhov (1m à 200 m) zo = paramètre de rugosité (1 mm à 1 m) u* = vitesse de frottement (0.05 à 0.3 m/s) *SL = échelle de température (0.1 à 2.0 K) q*SL = échelle d ’humidité (0.1 à 5g/kg)

? Similitude de Monin Obukhov Appliquée essentiellement dans la couche de surface définie comme la couche à flux constant. Variables importantes pour la description de et dimensions de chaque variable: Flux cinématique de chaleur en surface [L] Altitude [LT-1] Frottement au sol [LT-2 -1] Paramètre de flottabilité [LT-1 ] ? Base dimensionnelle [L,T, ]

Similitude de Monin Obukhov r=3 n-r = 2 Base dimensionnelle

Similitude de Monin Obukhov

Similitude de Monin Obukhov : longueur de Monin Obukhov Échelles dans la couche de surface stratifiée : Longueur 1m à 200 m 0.05 à 0.3 m/s Vitesse Température 0.1 à 2.0 K

Similitude de Monin Obukhov : gradients sans dimensions

Détermination des fonctions universelles Conditions des mesures: stationnarité et homogénéité Mesures :

Détermination des fonctions universelles Kansas 1968

Théorie de la similitude de Monin Obukhov Erreur dans Stull pg. 384

Théorie de la similitude de Monin Obukhov Prouver que :

Similitude de Monin Obukhov : mesure de stabilité instable neutre stable -2 +2