H. AUBERT* et D.L. JAGGARD** ANALYSE EN ONDELETTES POUR L’EXPLORATION À DISTANCE DE STRUCTURES FRACTALES H. AUBERT* et D.L. JAGGARD** * INPT-ENSEEIHT, 2, rue Charles Camichel, 31071 Toulouse ** Université de Pennsylvanie, Philadelphie, USA Journées scientifiques du CNFRS 24 et 25 février 2005, Paris

La longueur des côtes et des frontières (L.F. Richardson 1961) B D’après B. Mandelbrot 1962

dimension D pour décrire le degré d’irrégularité des courbes Interprétation (B. Mandelbrot 1962) d A B Longueur approchée : courbe « classique » : ainsi d’où la dimension D = 1 courbe telle que : or d’où D = a+1  1 dimension D pour décrire le degré d’irrégularité des courbes

Intégrale de chemin (R. Feynman 1948) D’après Feynman et Hibbs 1965

La dimension de similarité (Mandelbrot 1975) G. Cantor 1883 : une poussière fractale 1 étape 0 1/7 étape 1 étape 2 étape ∞ « POUSSIERE »

La lacunarité 1 1 1/7 1/7 étape ∞ étape ∞ Autre descripteur : la lacunarité L

Les structures fractales « naturelles » Les fractales déterministes et les fractales aléatoires : Ex : surfaces rugueuses, surface de la mer, couvert végétal, réseau fluvial Echelle minimale et échelle maximale entre lesquelles la structure peut présenter des propriétés fractales Etape de croissance (finie) : structures dites pré-fractales

Onde incidente Onde réfléchie DS, L … ? Position du problème Structure fractale Onde incidente Onde réfléchie DS, L … ? Les premiers travaux : Analyse dans le domaine spectral (E. Jakeman 1982) et dans le domaine temporel (M. V. Berry 1979) Corrélation entre D, L … et les caractéristiques de l’onde réfléchie

Réponse impulsionnelle d’un treillis de Cantor DS, L et S RS,L : coefficient de réflexion du treillis de longueur L et à l’étape S

Réponse impulsionnelle d’un treillis de Cantor lacunaire Reflected signal ct/L rs temps DS = ln 4 / ln 7 et S = 5 n0 = 1 et n1 = 1.5

Analyse en ondelettes Transformation continue en ondelettes : Ondelette mère : t Détection et caractérisation des singularités (A. Arnéodo 1996)

Représentation temps-échelle de la transformation en ondelettes module des coefficients en ondelettes Echelle temps

Squelette de la représentation en ondelettes Ensemble des maxima locaux, à une échelle donnée, du module des coefficients en ondelettes Echelle temps

Une dimension à partir des ondelettes nb de maxima échelle Echelle a0/70 Z0 = 2 (4-1) 40 4 répliques a0/71 Z1 = Z0 + 2 (4-1) 41 a0/72 Z2 = Z1 + 2 (4-1) 42 temps à l’échelle :

Une dimension à partir des ondelettes On pose, pour : Ainsi :

Extraction de la dimension de similarité  L = 2 Lmin  L = 1.5 Lmin * L = Lmin

Conclusion et Perspectives Analyse en ondelettes réflexions directes et réflexions multiples extraction directe des descripteurs : dimension 1 et lacunarité 2 mise en cascade de deux treillis de Cantor 3 Domaine de validité de l’analyse saut d’indice de réfraction et largeur de l’impulsion 1 robustesse vis à vis du bruit 3 1 H. Aubert, D.L. Jaggard, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 50, 3 , March 2002 2 A.-S. Saleh, H. Aubert, D.L. Jaggard, Optics Communications, vol. 197, Oct. 2001 3 Y. Laksari, H. Aubert, D.L.Jaggard, J.Y. Tourneret, IEEE Trans. Antennas Propagat., April 2005 Perspectives objets 2-D et 3-D fractales aléatoires auto-similarité continue