AQQC ULB2007 module3 - page 1 Module 3 : les fondements logiques de l’AQQC en tant que technique (comprendre le processus à l’oeuvre dans les logiciels de qca)

AQQC ULB2007 module3 - page 2 Plusieurs aspects: un Univers pour les données (mise en forme) trois langages équivalents (expressions) un traitement des données (processus)

AQQC ULB2007 module3 - page 3 Où allons-nous et d ’où venons-nous: 0. Gardons nos objectifs en mémoire! 1. Le rêve de Leibniz concrétisé par George Boole… la logique en calculs 2. La recherche AQQC façon enquête policière…. Leibniz

AQQC ULB2007 module3 - page 4 AQQC Domaine moyen des petits N Equilibre Cas- Variables Qualitatif & Quantitatif Causalité complexe « conjoncturelle multiple » 1 ou 2 cas « versus » bcp de (tous les) cas Prédominance du (des) cas « contre » dominance des variables Guerre des « lettres » contre les « chiffres » Explication purement historique (individualisante) versus recherche de lois (causalité simple, réductrice) Design quasi- expérimental Critère de parcimonie Via Media réduction des oppositions

AQQC ULB2007 module3 - page 5 Accepter plusieurs chemins explicatifs

AQQC ULB2007 module3 - page 6 "Quali-Quanti tative »... Variables qualitativesbinaires Charles Ragin, lorsqu'il popularisa en 1988 son logiciel d'analyse de données binaires a utilisé le terme "qualitatif" pour attirer l'attention sur les variables qualitatives qu'il pouvait traiter. Traitement mathématisé quantitatif Ceci ne doit pas occulter le fait qu'il s'agit néanmoins d'un traitement mathématique de données; l ’AQQC s'inscrit à l ’intersection des méthodes quantitatives et des objectifs qualitatifs.

AQQC ULB2007 module3 - page 7 A quoi s'applique l ’AQQC? A un ensemble de données binaires structurées comme suit: * n variables dites « conditions » ou d’ « input » et une variable « résultat » - à expliquer- ou « output /outcome» * N cas Pour mémoire: N "petit" et n "grand" (sous anciennes versions du logiciel, grand <11, sinon QCA explose) Les valeurs prises par les variables sont codées: 0, 1, ou - ("on ne sait pas" ou "don't care")

AQQC ULB2007 module3 - page 8 1. Du rêve de Leibniz à l ’algèbre de Boole 1. L ’objectif était ambitieux…. 2. Trois langages pour une même façon de penser: –la logique classique, et les tables de vérité –la représentation ensembliste –l ’algèbre de Boole

AQQC ULB2007 module3 - page 9 Fixer un univers de travail VERTS Triangles et 2: deux « cas » différents peuvent converger en une même « configuration » de variables Petits

AQQC ULB2007 module3 - page 10 La construction de cet Univers délimite et structure simultanément les « cas » et les « variables »: -des figures géométriques -des caractéristiques: taille, forme, couleur -des valeurs binaires Cet Univers permet aussi des opérations ou « manipulations », la considération de nouvelles entités: «et» «ou»«non» et toutes leurs combinaisons: la complexité va naître

AQQC ULB2007 module3 - page 11 Ensembles et sous-ensembles Dans notre univers, les 3 ensembles P, V et T découpent potentiellement bcp de sous- ensembles: = 8 zones de base ( les plus petits sous ens ), et en les composant on construit: = 2 8 parties = 1+8+C 2 8 +…C i C 8 8 (combinaisons) Ces nombres deviennent rapidement astronomiques lorsque le nombre d’ensembles de départ croît.

AQQC ULB2007 module3 - page 12 3 variables - 8 zones parties Et UNE variable résultat? VERTS Triangles 2 1 Petits

AQQC ULB2007 module3 - page 13 Traductions... Résultat « ETOILE ROUGE »: = (p et V) ou (PETITE et non verte) = (p et V) ou (P et v) = p.V + P.v Convention: majuscule: la valeur de la variable est 1 (elle est « réalisée »); minuscule: valeur 0, non réalisée VERTS Triangle s 2 1 Les figures « non petites et VERTES » portent une étoile rouge; les figures « petites et non vertes » aussi.

AQQC ULB2007 module3 - page 14 et compagnie... x est petit x est triangle et vert x P x T V X est triangle ou vert X T V T.VT.V T + V Être un petit triangle vert implique être petit P.T.V P P

AQQC ULB2007 module3 - page 15 Couvertures Certains sous-ensembles engendrés par « Petit », « Vert » et « Triangle » peuvent s ’écrire simplement comme intersections (produits) de P, V et T: ce sont les «couvertures» ou «monômes». Il y en a: 6 grandes + 12 moyennes + 8 petites = 26 Les autres sous-ensembles nécessiteront de recourir en outre à des réunions (sommes)

AQQC ULB2007 module3 - page 16 V P T p.v P.V.t V.p.T + v.P.T

AQQC ULB2007 module3 - page 17 Des « couvertures » Maxi...qui ne peuvent pas déborder V P T V.t.p + v.p.t + v.p.T Mieux: p.t + p.v = p.(t+v)

AQQC ULB2007 module3 - page 18 Ensuite... L ’algèbre inspirée à Boole par le rêve de Leibniz…permit le développement des ordinateurs…et souleva de nouvelles questions…qui inspirèrent ingénieurs, logiciens et mathématiciens: comment calculer (au plus vite) cette formule minimale? Les résultats de ces travaux, à leur tour, inspirèrent C. Ragin, qui leur trouva une nouvelle application...

AQQC ULB2007 module3 - page Une enquête imaginaire comme cas d’école, de A à Z 1. Le message codé L ’espion commence mais ne termine pas le décodage….

AQQC ULB2007 module3 - page Le message partiellement décodé : TROUVEZ LA LOI ? ? ? 3. Structuration de l’information : –33 « cas » (caractères) –Cas signifiants (conservés dans message décodé) / cas non signifiants (« bruit » / cas indéterminés (3)) –Numérotation des cas

AQQC ULB2007 module3 - page Conventions: –Un « résultat » est associé à chaque cas : –« 1 » = à conserver –« 0 » = à gommer –« - » = douteux –Trois « conditions » binaires (paramètres) décrivent chaque cas : –Majuscule / minuscule –Plein / évidé –A l’envers / à l’endroit

AQQC ULB2007 module3 - page Représentation (I) : un tableau (données brutes) (p.51)… et quelques observations : cas 8, 17, 27: symétrie prête à confusion cas 31, 32, 33: non décodés cas 1, 3, 13 et 29: lignes identiques: regroupements N° du casMajusculePleinA l’enversA conserver

AQQC ULB2007 module3 - page Représentation (II) : un schéma ensembliste

AQQC ULB2007 module3 - page Dans la boite noire de l’AQQC (I) : la « table des configurations » MPERésultatNombre de cas observés[1][1] C3 010Laucun [1]: les cas “dédoublés” sont comptés deux fois!

AQQC ULB2007 module3 - page Dans la boite noire de l’AQQC (II) : le schéma ensembliste des configurations

AQQC ULB2007 module3 - page Dans la boîte noire de l’AQQC (III) : la minimisation booléenne Règles de base du calcul booléen: –principe du tiers-exclu: A+a=1 –principe de non contradiction: A.a=0 –règles de calcul: A.1=A ; A+0=A ; A.A=A ; A+A=A; commutativité des 2 opérations; double distributivité de + et. –Usant de ces règles et principes, les expressions booléennes peuvent être transformées en expressions « égales » mais plus simples. C’est le principe même de l’algèbre. En particulier: nos zones « 1 »: Mpe+MPe+MPE = (Mpe+MPe) + (MPe + MPE) = Me(p+P) + MP(e+E) = Me+MP ou encore M(e+P)

AQQC ULB2007 module3 - page Les formules minimales Dans cet exemple : 4 « formules minimales » obtenues : Zone « 1 » (résultat homogène « 1 ») : M. (e + P) Zone « 0 » (résultat homogène « 0 ») : p. E Zone « C » (résultat mixte) : m. p. e Zone « - » (résultat douteux) : m. P. E Ces formules correspondent à une « pure description » - mais synthétique - des données. Ce n’est PAS la seule chose que la technique AQQC puisse offrir; pour aller au delà, il convient de revenir aux situations particulières décelées dans les schémas ensemblistes.

AQQC ULB2007 module3 - page L’énigme bientôt résolue En trois étapes, nous pouvons tenter d’« affiner » nos résultats; ces « astuces » seront toutefois utilisées avec circonspection, car leur validité dépend fortement de la structure des données. 1. Reconsidérons les « Contradictions » Zone (1,C): Situation particulière autorisant cet amalgame: le statut spécial des signes de ponctuation (« variable manquante ») 2. Reconsidérons les données manquantes « - » opposer les conjectures possibles et opter pour celle qui donne le plus de sens: conserver qca Zone (1,C,-): soit PE+pe+MP soit PE+pe+Me 1ère remarque: plusieurs solutions concurrentes: le logiciel passe la main au chercheur!! 2ème remarque:la richesse ajoutée le fut au prix d’une complexification; comment redevenir simple?

AQQC ULB2007 module3 - page Simplifier…c’est rendre plus « minimal », plus « court ». Donc utiliser des couvertures plus grandes, en espérant qu’il en faudra en outre moins. On s’autorise à déborder sur l’espace libre, càd sur des cas non observés, certains cas Logiques On opère ainsi une « généralisation plausible », grâce au réservoir des cas non observés, dits cas « Logiques » (L) ou « restants » (R). On quitte la démarche descriptive et déductive pour adopter une démarche inductive, généralisante. Zone (1,C,-) avec cas logiques en couvertures: e+P les cas logiques incorporés pour réaliser ceci sont des « hypothèses simplificatrices »; ici, la liste se résume à: mPe. 4. Enfin, on traite aussi les cas « 0 » en incorporant des cas logiques: la formule obtenue, pE témoigne d ’une complémentarité remarquable par rapport à la précédente …mais c’est assez rare.

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