1 Cours schématique: Semaine #6 Copyright - École des HEC -

2 Choix en situation d’incertitude Caractéristiques du choix avec incertitude: - Rendement attendu - Risque (variance/écart-type) Une façon de faire un choix est de simplement maximiser le rendement (valeur) attendu. Cependant, cette façon de procéder ne tient pas compte du risque associé à l'alternative et des différentes préférences individuelles devant le risque.

3 Par exemple... Projet A: p 1 = 1, X 1 = 100$ Þ E(A) = 1 x 100$ = 100$ Projet B: p 1 =.5, P 2 =.5, X 1 = 50$, X 2 = 150$ Þ E(B) =.5 x 50$ +.5 x 150$ = 100$ Bien que les 2 projets présentent la même valeur attendue, ils ne présentent pas le même risque (s 1 = 0, s 2 =.50). Þ On a besoin d'une autre méthode pour faire des choix risqués: Þ Max l'utilité attendue, et non simplement la valeur attendue.

4 Quel projet choisir? Un individu risquophobe choisira le projet A. 50$100$150$ Utilité E(A) = E(B) = Revenu EU(A)= 1. U(100$) = 16 EU(B)=.5U(50$)+.5U(150$) = = 15  EU(A) = 16 > 15 = EU(B)

5 La demande pour les actifs risqués Actif: Bien ou valeur qui procure un flux monétaire (ex.: appartement, actions, obligations...). Ce flux peut être explicite (i.e.: loyer, dividende) ou implicite (i.e.: hausse valeur de la propriété ou des actions). Actif risqué: Procure un flux de revenus au moins en partie incertain (i.e.: peut pas prévoir valeur future d'une action...). Action (« stock »): Part des actifs d'une entreprise: Prix + dividendes incertains. Obligation (« bond »): Émis par corporation ou gouvernement: Procure principal et intérêt certain après période de temps.

6 Rendement d’un actif Le rendement d’un actif correspond à: rendement (en%) =flux annuel valeur d’achat C’est-à-dire, le flux monétaire total en % de son prix X 100

7 Par exemple... Ex.: Obligation valeur de 1000$ à l'achat et rapporte 100$/année Þ R(obligation) = 100$/1000$ = 10%. Ex.: Action Bombardier valait 60$ à l'achat et vaut aujourd'hui 70$ après 1 an et 5$ de dividendes ont été versés Þ R(Bombardier) =

8 Rendement en termes réels En terme «réel»: i.e.: après avoir tenu compte de l'inflation: R réel = R nominal (%) - Taux d'inflation (%) Ex.:Si inflation = 4% R(Obligation) = 10% - 4% = 6% R(Bombardier) = 25% - 4% = 21%

9 Les actifs étant généralement risqués, on ne peut connaître à l'avance leur rendement ® on compare donc les actifs sur la base de leurs rendements attendus (i.e.: le rendement qu'ils procureraient en moyenne, CAD.: Valeur attendue du rendement). ® La demande pour des actifs dépend aussi du risque. Les gens n'achètent pas tous des actions car elles sont nettement plus risquées que les obligations Þ voir tableau (livre).

10 Arbitrage Risque vs Rendement Arbitrage Risque vs Rendement ( Modèle CAPM) (Capital Asset Pricing Model) Supposons le problème d'un investisseur qui doit investir son épargne entre 2 actifs: ¯(1-b)® Bonds du trésor (à peu près sans risque): Rendement = Rf (i.e. risk free) ¯(b)® Actions: Rendement attendu = Rm (i.e. marché) ¯ (actuel = r m ) ¯ Problème ® Cherche à déterminer b où b = fraction épargne investie dans actions

11 Le rendement du portefeuille Le rendement attendu du portefeuille d'actifs est: (1)Rendement total est la somme des rendements individuels, pondérés par les fractins qu'on a acheté. Ex.: SiRf=0.04 ÞRp =.5(.12) +.5(.04) = 8% Rm=0.12 b=0.5 Q:Combien risqué est ce portefeuille?

12 Réponse Si on pose que la variance des actions est de s m 2 et écart- type est de s m et la variance des obligations est égale à s f 2 = 0 Þ l'écart-type du portefeuille est : car (2)

13 Arbitrage risque / rendement On peut présenter l'arbitrage risque/rendement qu'offre le marché: En remplaçant (2) dans (1) avec: risque ordonnée à l’origine penterendement

14 Arbitrage risque / rendement C'est l'équation de la droite de budget de l'investisseur car présente l'arbitrage entre le risque du portefeuille (sp ) et le rendement attendu (Rp ). C'est l'équation d'une droite et la pente est une constante: La pente de cette droite est le «prix du risque», puisqu'elle indique combien de risque supplémentaire (DX) un investisseur doit faire face pour obtenir un plus grand rendement (DY) attendu.

15 Graphiquement... RfRfRfRf RmRmRmRm Rendement attendu du portefeuille Écart-type Écart-type (  p ) b=0 b=1 0<b<1 Droite de budget X X Y Y Pente de la droite de l’investisseur: combien de risque supplémentaire un investisseur doit encourir pour obtenir un rendement plus élevé mm i.e.: i.e.:  p =1  m  R p = [R f (R m -R f )  p ]/  m = R m

16 Si l'investisseur veut encourir aucun risque, peut acheter aucune action (b=0) et que des obligations Þ son rendement est alors: Rp = Rf (car ) Pour obtenir un rendement plus élevé, doit encourir du risque Þ peut investir tous ses fonds dans actions (b=1) mais risque = s m. Peut aussi investir fraction 0 0.

17 Solution au problème de l’investisseur On définit des courbes d'indifférences du consommateur qui correspondent aux différentes combinaisons (Rendement, risque) qui procurent différents niveaux d'utilité. Consommateur maximise son utilité attendue compte tenu des paniers (risque, rendement) disponibles du marché Optimum:point de tangence entre la courbe d’indifférence et la droite budgétaire.

18 Graphiquement... RfRfRfRf RmRmRmRm Rendement attendu du portefeuille Écart-type Écart-type (  p ) mm optimum du consommateur A optimum du consommateur B AA BB RARARARA RBRBRBRB

19 Par conséquent... Individus différents choisissent des portefeuilles différents. 2 individus sont illustrés ici: A:est très averse au risque choisit panier avec très peu d'actions et beaucoup d'obligations (risque: sA, rendement = RA ) B:est moins averse au risque et choisit un portefeuille avec plus d'actions, qui est caractérisé par risque sA et rendement RB. Note:Le principe est le même lorsque l ’on fait face à un choix entre plusieurs actifs.