Cours schématique: Semaine #5 Copyright - École des HEC

Choix en situation d’incertitude Jusqu'à présent, les choix des consommateurs que nous avons considérés étaient dans un contexte où tous les éléments étaient connus: prix, revenu, alternatives, etc. Les individus sont toutefois souvent placés devant des situations qui présentent des risques: choix de carrière, investissements, etc. Déf. du risque: Situation où plusieurs résultats sont possibles et où on est capable d'établir les probabilités de chacun. (i.e.: vs incertitude où on n'est pas capable de déterminer les probabilités).

Par exemple... si découverte ---> 40$ (X1, avec prob. p1) Investir ou non dans les actions d’une compagnie de recherche pétrolière? Comment évaluer la valeur d’un titre dans l’avenir? Si l’on croit que la valeur d’un titre pétrolier variera en fonction de la découverte ou non d’un puit de pétrole et que l’on est en mesure d’établir avec une certaine vraisemblance qu’un résultat va se produire (i.e. probabilité p), alors on peut exprimer la relation suivante: si découverte ---> 40$ (X1, avec prob. p1) Paction (30$) si échec ---> 20$ (X2, avec prob. p2)

Deux types de probabilités 1. Objective: basée sur la fréquence avec laquelle certains événements se produisent (i.e.: sur 100 explorations passées, 25 furent succès ® p1 = 0.25 de succès, p2 = 0.75 d'échec. 2. Subjective: basée sur le jugement personnel, la connaissance du secteur, mais non déduite de l'expérience passée.

Mesures pour caractériser un choix risqué 2 mesures sont utilisées pour caractériser un choix risqué (ou titre boursier): Il s’agit de: 1. La valeur attendue ou l ’espérance 2. La variance

La valeur attendue (ou espérance) Si l’on a deux événements possibles (X1 et X2) et que les probabilités de réalisations de ces deux événements sont respectivement (p1 et p2) alors la valeur attendue correspond à: E(x) = p1X1 + p2 X2 La valeur attendue mesure le rendement moyen (moyenne des résultats pondérés par les probabilités).

Par exemple... Prenons l’exemple de notre titre pétrolier; La valeur attendue correspond alors à: E(X) = (0.25)(40$) + (0.75)(20$) = 25$/action (note: pas un très bon titre!)

Deuxième mesure: la variance La variance mesure le risque (moyenne du carré de la déviation des résultats/à valeur attendue, pondérée par les probabilités) Elle se calcule ainsi: 2 = p1 [(X1 - E(X))2 ] + p2 [(X2 - E(X))2 ] Et donc, la variance de notre titre pétrolier est égale à:  2= 0.25 [(40 - 25)2 ] + 0.75 [(20 - 25)2 ] = 56.25 + 18.75 = 75

• Une autre mesure de risque standart est l ’écart-type, qui consiste en la racine carré de la variance  = 75 = 8.66 $ • Le titre pétrolier est donc caractérisé par une valeur attendues de 25$8.66

Choix entre deux titres Si l'individu a le choix d'un 2e titre boursier (Y) qui a une valeur attendue de 50$ ± 30$, quel sera son choix? Le second titre a une plus grande valeur attendue mais est également plus risqué ®votre choix dépendra de votre attitude face au risque, i.e.: E(Y) = 50 $ > 25 $ = E(X).

Préférences face au risque Afin de caractériser les goûts individuels face au risque, on définit l ’espérance d ’utilité: Mesure l'utilité moyenne (moyenne des utilités associées aux différents résultats, pondérées par les probabilités). E(U(X)) = p1 U(X1) + p2 U(X2) Þ Les individus cherchent à maximiser leur utilité attendue non simplement leur valeur attendue.

Graphe de l'utilité en fonction du revenu d'un individu «risquophobe» Y* = Revenu actuel certain (sans risque) EU(Y*) = Utilité attendue d'un revenu certain EUh(Y*)=Utilité attendue d'une loterie ± h avec une valeur attendue de Y* EU2h(Y*)=Utilité attendue d'une loterie ± 2h avec une valeur attendue Y* 18 17 16 15 13 8 Revenu (Y) Y* - 2h Y* -h Y* Y* + h Y* + 2h 50$ 75$ 100$ 125$ 150$

E(U(Y*)) > E(Uh (Y*)) > EU2h (Y*) Généralement, les individus sont caractérisés par des fonctions d'utilités concaves (reflète l'utilité marginale décroissante du revenu) pour lesquelles: E(U(Y*)) > E(Uh (Y*)) > EU2h (Y*) La plupart des individus ont de l ’aversion pour le risque, c'est-à-dire qu'ils préfèrent un revenu certain (Y*) à une loterie (h) et cette dernière à une plus grande loterie (2h) (i.e.: risquophobe: n'aime pas le risque) sur le graphique précédent, l'utilité d'un revenu certain de 100$ Þ EU(20$) = U(20$) = 16. Loterie h: EUh (Y*) = .5U(75$) + .5U(125$) = .5 x 13 + .5 x 17 = 15 Loterie 2h: EU2h (Y*) = .5U(50$) + .5U(150$) = .5 x 8 + .5 x 18 = 13 Þ On remarque que le niveau d'utilité du revenu certain est plus élevé que les lotteries.

Graphe de l'utilité en fonction du revenu d'un individu «neutre au risque» 14 12 10 8 6 Revenu (Y) Y* - 2h Y* -h Y* Y* + h Y* + 2h 50$ 75$ 100$ 125$ 150$

L’individu neutre au risque Certains individus toutefois sont neutres au risque et pour eux, seule la valeur attendue est importante. EU(Y*)=EUh(Y*)=EU2h(Y*) Ces individus sont indifférents entre un gain certain (Y*) et des lotteries de même valeur attendue. EU(Y*) = EU(100$) = 10 EUh(Y*) = .5U(75$) + .5U(125$) = .5 x 8 + .5 x 12 = 10 EU2h(Y*) = .5U(50$) + .5U(150$) = .5 x 6 + .5 x 14 = 10

Graphe de l'utilité en fonction du revenu d'un individu «risquophile» 26 16 14 10 8 4 2 Revenu Y* - 2h Y* -h Y* Y* + h Y* + 2h 75$ 50$ 100$ 125$ 150$

Des individus qui aiment le risque? Comme le montre le graphique précédent, on retrouve également des individus qui aiment le risque et qui préfèrent le revenu incertain d'une lotterie au revenu certain. EU(Y*) < EUh (Y*) < EU2h (Y*) EU(Y*) = EU(100$) = 8 EUh(Y*) = .5U(75$) + .5U(125$) = .5 x 4 + .5 x 16 = 10 EU2h(Y*) = .5U(50$) + .5U(150$) = .5 x 2 + .5 x 26 = 14 Note: Pour ces individus, l'utilité marginale d'une unité de revenu supplémentaire est croissante.

Prime de risque (Risk Premium) La prime de risque est le montant d'argent qu'un individu est prêt à débourser afin d'éviter un risque. L'importance de cette prime dépend de l'aversion au risque de l'individu et de l'importance du risque lui-même. Exemple: Supposons 2 emplois: Emploi A paye revenu certain de 20,000$ (salaire fixe) Emploi B paye revenu incertain de 10,000 (p=.5) ou 30,000$(p=.5) (i.e. à la commission)

Prime de risque Utilité 18 16 F 14 E 10 Revenu 10 20 20 30 Y*

Prime de risque (suite) EU(Emploi A) = U(20,000$) = 1 EU(Emploi B) =.5U(10,000$) + .5U(30,000$) = .5 x 10 + .5 x 18 = 14 EU(Emploi A) > EU(Emploi B) Notez que les 2 emplois ont le même revenu (valeur) attendu de 20,000$ (i.e.: E(Emploi B) = .5 x 10,000$ + .5 x 30,000 $ = 20,000 $). Toutefois, l'emploi B est plus «risqué» (i.e.: a un écart type de 10,000$). L'individu préfère l'emploi certain (Emploi A) puisque celui-ci lui procure plus d'utilité.

Prime de risque (suite) Question: L’individu serait-il prêt à payer un montant pour éviter l’emploi B? Si oui, combien? Réponse: Graphiquement: Valeur F - E: 20,000$ - 16,000$ = 4,000$ Þ Valeur EU (Emploi A) - Valeur EU (Emploi B) = = Valeur EU(Y*) - Valeur EUh (Y*) = 4,000$ La prime de risque (prime d'assurance maximale) est le montant d'argent que l'individu serait prêt à payer pour éviter risque: qui le laisse indifférent entre les 2 situations. Accepterait-il une diminution de salaire de 4000$ plutôt que de prendre l'emploi B?