Aspects énergétiques des systèmes mécaniques.

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. Notion de travail mécanique. Le travail mécanique est un mode de transfert d’énergie entre un objet et le milieu extérieur. Ce transfert est lié au déplacement du point d’application d’une force. Il a pour effets : de modifier la valeur de la vitesse de l’objet dans ce référentiel. de déformer l’objet. de modifier le position de l’objet dans le référentiel choisi.

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 2. travail d’une force constante. a) Force constante. La direction, le sens, et la valeur, ne changent pas pendant le déplacement.

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 2. travail d’une force constante. b) Travail. B a A

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 2. travail d’une force constante. b) Travail. Le point d’application de se déplace de A à B en suivant une trajectoire quelconque. WAB( ) : Travail de la force (J) F : valeur de la force (N) AB : déplacement (m). a =

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 2. travail d’une force constante. b) Travail. WAB( ) ne dépend pas du chemin suivi entre A et B.

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 2. travail d’une force constante. c) Exemple: Travail du poids d’un corps. WAB( ) = = P×GAGB × cos a = ± P ×h + si G descend. - si G monte. z GA zGA h a zGB GB O

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 2. travail d’une force constante. c) Exemple: Travail du poids d’un corps. Dans tous les cas : WAB( ) = P×(zGA – zGB) a h zGB zGA O z GB GA zG est l’altitude de G. L’axe Oz étant : vertical vers le haut. O étant arbitraire.

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 3. Expression du travail dans le cas général. a) Travail élémentaire. Dans le cas d’une force non constante, pour être ramené au cas précédent, on calcule le travail sur un déplacement élémentaire, la force étant considérée comme constante au cours de ce déplacement.

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 3. Expression du travail dans le cas général a) Travail élémentaire. A B

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 3. Expression du travail dans le cas général b) Travail total entre A et B. C’est la somme de tous les travaux élémentaires entre A et B

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 4. Travail de la tension d’un ressort. a) Définition de la tension. C’est la force exercée à l’extrémité d’un ressort, l’autre extrémité étant fixe. (Le système est donc le ressort).

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 4. Travail de la tension d’un ressort. b) Travail élémentaire. x A0 A A vide: x = 0 Étiré: x > 0 Comprimé: x < 0

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 4. Travail de la tension d’un ressort. b) Travail élémentaire. Principe : On calcule le travail élémentaire lorsque l’allongement passe de x à x + dx en supposant que pendant ce déplacement est constant :

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 4. Travail de la tension d’un ressort. b) Travail élémentaire. x A A0 O x + dx

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 4. Travail de la tension d’un ressort. b) Travail élémentaire.

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 4. Travail de la tension d’un ressort. b) Travail total pour passer de l’allongement x1 à l’allongement x2 Calcul par intégration:

I. Transfert d’énergie par travail mécanique. 4. Travail de la tension d’un ressort. b) Travail total pour passer de l’allongement x1 à l’allongement x2 Méthode graphique (en supposant x > 0): F = kx kx2 W kx dW kx1 1/2kx1² x O x1 x x + dx x2

II. Énergie potentielle. 1. Notion d’énergie potentielle. L’énergie potentielle Ep d’un système est l’énergie que possède ce système du fait des positions relatives des différentes parties du système en interaction.

II. Énergie potentielle. 1. Notion d’énergie potentielle. Pour qu’un système possède de l’énergie potentielle il doit être déformable

II. Énergie potentielle. 2. Énergie potentielle élastique. Un ressort possède de l’énergie potentielle lorsqu’il est allongé ou comprimé. Son énergie potentielle est nulle si le ressort est détendu. C’est l’état de référence.

II. Énergie potentielle. 2. Énergie potentielle élastique. L’énergie potentielle stockée dans un ressort dont l’allongement est x est égale à l’énergie qu’on lui a fourni pour le faire passer d’un allongement nul à l’allongement x.

II. Énergie potentielle. 2. Énergie potentielle élastique. Epe(x): Énergie potentielle élastique (J). k : raideur du ressort (N.m-1) x : allongement algébrique du ressort (m)

II. Énergie potentielle. 3. Énergie potentielle de pesanteur. A zG Terre z O Dans la position A de l’objet, le système {Terre, objet} possède de l’énergie potentielle de pesanteur due à la position de cet objet par rapport à la Terre et à leur interaction.

II. Énergie potentielle. 3. Énergie potentielle de pesanteur. A zG Terre z O L’interaction est ici le poids de l’objet et la force opposée exercée par l’objet sur la Terre. Le système possède de l’énergie potentielle puisque si on lâche l’objet celui-ci se met en mouvement.

II. Énergie potentielle. 3. Énergie potentielle de pesanteur. L’énergie potentielle que possède l’objet dans le champ de pesanteur (supposé uniforme) lorsque qu’il est à l’altitude est z est égale à l’énergie qu’on lui a fournie pour le faire passer de l’altitude 0 à l’altitude z. L’objet étant au repos au départ et à l’arrivée. L’énergie potentielle de pesanteur est nulle si l’objet est à l’altitude z = 0. C’est l’état de référence. A zG Terre z O

I. Énergie potentielle. Epp(z) = mgz 3. Énergie potentielle de pesanteur. Epp(z) = mgz A zG Terre z O Epp(z): Énergie potentielle de pesanteur (J). mg : poids de l’objet (N). z : altitude du centre d’inertie de l’objet, l’axe des altitudes étant vertical vers le haut (m)

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. Au cours du mouvement, à la date t, l’énergie cinétique du solide est EC(t) = 1/2mvGx²(t) EC(t) = 1/2m. ² L’énergie potentielle élastique du ressort est, à la date t, où l’allongement est x : Epe(t) = 1/2.k.x²

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. Soit EC(t) + Epe(t) = 1/2m. ² + 1/2.k.x² En dérivant par rapport au temps:

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. Or C’est l’équation différentielle du mouvement de G Donc:

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. D’où:

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. a) Définition. L’énergie mécanique du système {solide, ressort} est à chaque instant égale à la somme de l’énergie cinétique du solide et de l’énergie potentielle élastique du ressort.

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. b) conservation. L’énergie mécanique du système {solide, ressort} Se conserve si le système évolue sans frottement.

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. c) Valeur. Puisque EM est constante on peut la calculer lorsque: vGx = 0 alors x = xM

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal non amorti. d) Conséquence. Au cours des oscillations il y a transformation réciproque d’énergie cinétique en énergie potentielle élastique.

III. Énergie mécanique du système {solide, ressort}. 3. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal amorti. d) Conséquence. En cas de frottement, l’amplitude des oscillations donc l’énergie mécanique diminue au cours du temps. Pendant la durée Dt la variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces de frottement :

IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile a) Rappel. x z a

IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile a) Rappel. donc et

IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile a) Rappel. Au cours du mouvement, à la date t, l’énergie cinétique du projectile est: L’énergie potentielle de pesanteur est, à la date t, où l’altitude du centre d’inertie du projectile est z :

Dérivons par rapport au temps: IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile a) Rappel. Soit Dérivons par rapport au temps:

IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile a) Rappel. Or Donc:

IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile a) Rappel. D’où

IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile b) conservation L’énergie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur se conserve si le mouvement se fait sans frottement.

Alors Epp (0) = 0 et EM = EC(0) IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile c) Valeur Si à t = 0 z = 0 Alors Epp (0) = 0 et EM = EC(0)

il y a transformation réciproque énergie potentielle de pesanteur. IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile d) Conséquence. Au cours du mouvement il y a transformation réciproque d’énergie cinétique en énergie potentielle de pesanteur.

En cas de frottement l’énergie mécanique diminue au cours du temps. IV. Énergie mécanique d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. 1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un projectile d) Conséquence. FIN En cas de frottement l’énergie mécanique diminue au cours du temps. Pendant la durée Dt la variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces de frottement :