OUTILS MATHEMATIQUES POUR LES SII MPSI Cours de SII Chapitre III OUTILS MATHEMATIQUES POUR LES SII - CALCUL VECTORIEL - I – Expression d’un vecteur dans une base orthonormée I.1 – Base orthonormée I.2 – Composantes d’un vecteur I.3 – Norme d’un vecteur II – Changer un vecteur de base II.1 – Construire les figures de changement de base II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base III – Opérations sur les vecteurs III.1 – Addition des vecteurs III.2 – Multiplication par un réel III.3 – Produit scalaire III.4 – Produit vectoriel III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne »

I – Expression d’un vecteur dans une base orthonormée I.1 – Base orthonormée Z Afin de bien modéliser l’espace qui nous entoure, nous choisirons une base composée de 3 vecteurs (i,j,k) . Elle sera : i k j  Orthonormée : - vecteurs orthogonaux 2 à 2 - de longueur unitaire (norme=1) 1 M V  Directe O I.2 – Composantes d’un vecteur Y  Un vecteur V est défini par ses composantes dans la base (i,j,k) X ou j I.3 – Norme d’un vecteur k  La norme (= module) d’un vecteur est la distance entre l’origine et l’extrémité de ce vecteur. On note : i

I – Expression d’un vecteur dans une base orthonormée I.1 – Base orthonormée Z Afin de bien modéliser l’espace qui nous entoure, nous choisirons une base composée de 3 vecteurs (i,j,k) . Elle sera : j i k  Orthonormée : - vecteurs orthogonaux 2 à 2 - de longueur unitaire (norme=1) 1 M V  Directe O I.2 – Composantes d’un vecteur Y  Un vecteur V est défini par ses composantes dans la base (i,j,k) X ou Lorsqu’il est représenté graphiquement, le vecteur est défini par : I.3 – Norme d’un vecteur Une direction (la parallèle à la droite qui porte le vecteur)  La norme (= module) d’un vecteur est la distance entre l’origine et l’extrémité de ce vecteur. On note : Un sens (symbolisé par une flèche) Une norme (la longueur du vecteur)

F serrage II – Changer un vecteur de base En SII, on associe à chaque pièces (ou groupe de pièces) d’un mécanisme un repère. Un repère est constitué d’un point et d’une base orthonormée directe : i j k u v w y x z Ces bases sont donc en mouvement les unes par rapport autres. En général, il s’agit d’un mouvement simple : Rotation autour d’un axe, Translation rectiligne le long d’un axe. F serrage Fréquemment, il faut exprimer dans une base ((x,y,z) par exemple) un vecteur dont on connaît les coordonnées dans une autre base ((u,v,w) par exemple) Pour cela, on utilise une figure de changement de base.

a b F serrage II – Changer un vecteur de base En SII, on associe à chaque pièces (ou groupe de pièces) d’un mécanisme un repère. Un repère est constitué d’un point et d’une base orthonormée directe : u v w y x z a b Ces bases sont donc en mouvement les unes par rapport autres. En général, il s’agit d’un mouvement simple : Rotation autour d’un axe, Translation rectiligne le long d’un axe. F serrage Fréquemment, il faut exprimer dans une base ((x,y,z) par exemple) un vecteur dont on connaît les coordonnées dans une autre base ((u,v,w) par exemple) Pour cela, on utilise une figure de changement de base.

x , u z w v y   II.1 – Construire une figure de changement de base Soit une base (u,v,w) en rotation autour de l’axe x par rapport à une base (x,y,z). Pour construire la figure de changement de base, il faut :  1 - Placer, orienté vers soi, le vecteur autour duquel tourne la base par rapport à l’autre. (il s’agit donc d’un vecteur commun aux deux bases) x , u  2 - Compléter, sous la forme d’un « L », de manière directe la base qui sert de référence au mouvement. z w  3 - Dessiner et compléter de manière directe la base en mouvement en la décalant d’un petit angle (15°) dans le sens trigonométrique.  v  4 - Indiquer le paramètre de mouvement orienté.  Dans cet exemple, (t) correspond au paramètre de rotation entre les deux bases…. y 6

II.1 – Construire une figure de changement de base x , u y v w z  Soit une base (u,v,w) en rotation autour de l’axe x par rapport à une base (x,y,z). Pour construire la figure de changement de base, il faut :  1 - Placer, orienté vers soi, le vecteur autour duquel tourne la base par rapport à l’autre. (il s’agit donc d’un vecteur commun aux deux bases)   2 - Compléter, sous la forme d’un « L », de manière directe la base qui sert de référence au mouvement. z w  3 - Dessiner et compléter de manière directe la base en mouvement en la décalant d’un petit angle (15°) dans le sens trigonométrique.  v  4 - Indiquer le paramètre de mouvement.  Dans cet exemple, (t) correspond au paramètre de rotation entre les deux bases…. y x , u 7

y z v w  II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): a b 8

y z v w  II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): Grace à la figure de changement de base, on voit facilement que : 9

y z v w  II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): Grace à la figure de changement de base, on voit facilement que : et 10

y z v w  II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): Grace à la figure de changement de base, on voit facilement que : et On a donc, exprimé dans la base (x,y,z) : Le vecteur garde son identité, quelque soit la base dans laquelle ses composantes sont exprimées ! 11

y0 y1  x1  x0 Les 4 projections possibles sont donc à maitriser parfaitement : 12

y0 y1  x1  x0 Les 4 projections possibles sont donc à maitriser parfaitement : 13

y0 y1  x1  x0 Les 4 projections possibles sont donc à maitriser parfaitement : 14

y0 y1  x1  x0 Les 4 projections possibles sont donc à maitriser parfaitement : 15

Un outil pour retrouver ces quatre projections : Base d’arrivée dans le sens direct Base de départ dans le sens direct y0 y1 x1 y1  x0 x1 y0  x0 Les 4 projections possibles sont donc à maîtriser parfaitement : 16

y0 y1 x1 y1 x0 x1 y0 x0   cos  -sin  sin  cos  Un outil pour retrouver ces quatre projections : Base d’arrivée dans le sens direct Base de départ dans le sens direct y0 y1 x1 y1  x0 cos  -sin  x1 y0 sin  cos   x0 Une lecture dans les deux sens Les 4 projections possibles sont donc à maîtriser parfaitement : 17

y0 y1 x1 y1 x0 x1 y0 x0   cos  -sin  sin  cos  Un outil pour retrouver ces quatre projections : Base d’arrivée dans le sens direct Base de départ dans le sens direct y0 y1 x1 y1  x0 cos  -sin  x1 y0 sin  cos   x0 Une lecture dans les deux sens Les 4 projections possibles sont donc à maîtriser parfaitement : 18

III – Opérations sur les vecteurs V1 + V2 III.1 – Addition des vecteurs Dans l’ensemble (E) des vecteurs, l’addition d’un vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et d’un vecteur V2(X2,Y2,Z2) est un vecteur tel que : V1 N M V1 + V2 V2 V1 L’addition vectorielle conduit à la relation de Chasles :

III – Opérations sur les vecteurs III.1 – Addition des vecteurs Dans l’ensemble (E) des vecteurs, l’addition d’un vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et d’un vecteur V2(X2,Y2,Z2) est un vecteur tel que : L’addition vectorielle conduit à la relation de Chasles : III.2 – Multiplication par un réel V Dans l’ensemble (E) des vecteurs, la multiplication d’un vecteur V(X,Y,Z) par un réel  est un vecteur colinéaire à V tel que : .V - .V 1 2

III – Opérations sur les vecteurs III.1 – Addition des vecteurs Dans l’ensemble (E) des vecteurs, l’addition d’un vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et d’un vecteur V2(X2,Y2,Z2) est un vecteur tel que : L’addition vectorielle conduit à la relation de Chasles : III.2 – Multiplication par un réel V Dans l’ensemble (E) des vecteurs, la multiplication d’un vecteur V(X,Y,Z) par un réel  est un vecteur colinéaire à V tel que : .V - .V 1 2

Réel ! III.3 – Produit scalaire V Angle (U,V) U Propriétés : Définition : Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre réel suivant noté U.V : Angle (U,V) U  Expression analytique : Propriétés : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit scalaire des deux vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et V2(X2,Y2,Z2) s’écrit : Symétrie : Distributivité : Réel ! Multiplication par un réel :

III.3 – Produit scalaire V Angle (U,V) U Propriétés : Définition : Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre réel suivant noté U.V : Angle (U,V) U  Expression analytique : Propriétés : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit scalaire des deux vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et V2(X2,Y2,Z2) s’écrit : Symétrie : Distributivité :  Cas particulier : i j k U V Le produit scalaire est nul : Si un des deux vecteurs est nul Si les 2 vecteurs sont  Multiplication par un réel :

Il permet de faire la projection d’un vecteur sur un axe Remarque : III.3 – Produit scalaire V U Angle (U,V) Définition : Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre réel suivant noté U.V : Il permet de faire la projection d’un vecteur sur un axe Remarque :  Expression analytique : Propriétés : Symétrie : Distributivité : Multiplication par un réel : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit scalaire des deux vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et V2(X2,Y2,Z2) s’écrit : Si le vecteur U est unitaire Alors C’est la projection du vecteur V sur l’axe de vecteur unitaire U.  Cas particulier : i j k U V Le produit scalaire est nul : Si un des deux vecteurs est nul Si les 2 vecteurs sont 

On utilise aussi la règle du « tire bouchon » III.4 – Produit vectoriel V Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que : Support de UV  Sa direction est au plan (U,V) U  Son sens est tel que le trièdre (U,V, UV) est direct UV UV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

On utilise aussi la règle du « tire bouchon » III.4 – Produit vectoriel V Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que : Support de UV  Sa direction est au plan (U,V) U  Son sens est tel que le trièdre (U,V, UV) est direct UV UV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

On utilise aussi la règle du « tire bouchon » III.4 – Produit vectoriel V Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que : Support de UV  Sa direction est au plan (U,V) U  Son sens est tel que le trièdre (U,V, UV) est direct UV UV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

On utilise aussi la règle du « tire bouchon » III.4 – Produit vectoriel V Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que : Support de UV  Sa direction est au plan (U,V) U  Son sens est tel que le trièdre (U,V, UV) est direct UV Sa norme est UV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

! III.4 – Produit vectoriel Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que :  Expression analytique : exemple : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V1(X1,Y1,X1) et V2(X2,Y2,X2) s’écrit : Les 2 vecteurs doivent être exprimés dans la même base ! !

III.4 – Produit vectoriel Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que : Propriétés : antisymétrie :  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et V2(X2,Y2,Z2) s’écrit : Distributivité : Multiplication par un réel :

III.4 – Produit vectoriel  Exemple : Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que : i j k  Expression analytique : - En utilisant la définition, exprimer ij Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et V2(X2,Y2,Z2) s’écrit :  Cas particulier : i j k Le produit vectoriel est nul : Si un des deux vecteurs est nul Si les 2 vecteurs sont colinéaires U V

III.4 – Produit vectoriel  Exemple : Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté UV tel que : i j k 1 1 90°  Expression analytique : - En utilisant la définition, exprimer ij Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V1(X1,Y1,Z1) et V2(X2,Y2,Z2) s’écrit : - En utilisant l’expression analytique, exprimer kj 1  Cas particulier : i j k Le produit vectoriel est nul : Si un des deux vecteurs est nul Si les 2 vecteurs sont colinéaires U V

l y z v w  V1 V2 d h III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne » Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! Exemple : calculer V1V2 ?

y z v w  III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne » Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! Exemple : calculer V1V2 ? x , u y v w z + x

III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne » Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! Exemple : calculer V1V2 ? + x 35

y z v w  III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne » Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! Exemple : calculer V1V2 ? x , u y v w z x = cos + x 36

y z v w  III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne » Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! Exemple : calculer V1V2 ? z w  v + x sin x , u y

III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne » y z v w  V1 V2 d l h Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! Exemple : calculer V1V2 ? ou

Ceci n’est vrai que si la base est orientée avec z vers l’observateur Remarque : En pratique, et à condition que la figure de changement de base soit correctement construite, on peut déterminer le signe du résultat des différents produits vectoriels de vecteurs unitaires de la façon suivante: Pour 2 vecteurs unitaires de bases différentes mais définis sur la figure de changement de base Pour 2 vecteurs unitaires de la même base Donc : + si on fait le produit vectoriel dans le sens direct + si on fait le produit vectoriel dans le sens « trigonométrique » Donc : - si on fait le produit vectoriel dans le sens indirect Donc : - si on fait le produit vectoriel dans le sens « horaire » Donc : Pour 2 vecteurs unitaires de bases différentes et qui ne sont pas définis sur la figure de chan-gement de base : Il faut projeter dans une autre base au moins un des 2 vecteurs. 39

Un peu d’entrainement…  Soit une base (x1,y1,z1) en rotation par rapport à la base (x,y,z)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z(=z1)   = (x,x1)  Soit une base (x2,y2,z2) en rotation par rapport à la base (x1,y1,z1)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe x1(=x2)   = (y1,y2)  Soit une base (x3,y3,z3) en rotation par rapport à la base (x2,y2,z2)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z2(=z3)   = (x2,x3) 40

Un peu d’entrainement…  Soit une base (x1,y1,z1) en rotation par rapport à la base (x,y,z)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z(=z1)   = (x,x1)  Soit une base (x2,y2,z2) en rotation par rapport à la base (x1,y1,z1)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe x1(=x2)   = (y1,y2)  Soit une base (x3,y3,z3) en rotation par rapport à la base (x2,y2,z2)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z2(=z3)   = (x2,x3) 1 - Dessiner les figures de changement de base

y1 y x1 x z2 z1 z = z1 y2 y1 x1 = x2 y3 y2 x3 x2 z2 = z3 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer :  x1  x z2 z1 z = z1  y2  y1 x1 = x2 y3 y2  x3  x2 z2 = z3 42

y1 y x1 x z2 z1 z = z1 y2 y1 x1 = x2 y3 y2 x3 x2 z2 = z3 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer :  x1  x Il n’existe pas de figure de changement de base qui permette de calculer directement ce produit vectoriel ! z2 z1 z = z1  y2  y1 x1 = x2 y3 y2  x3  x2 z2 = z3 43

x1 y1 x3 y3 x x2 y y2 c -s c -s s c s c y3 y2 y1 y x3 x1 x2 x z = z1 z2 = z3 44

z1 -z2 -sin.x1 -sin.x2 ou z2 z1  y2  y1 x1 = x2 45

Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : Il n’existe pas de figure de changement de base qui permette de calculer directement ce produit vectoriel ! 46

x3 y3 x2 y2 c -s s c y2 x2 y3 x3 = z3 z2 z1 y1 z2 y2 = x2 x1   47

Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : 48

Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : Ou alors… 49

y2 z2 y1 z1 c -s s c z2 z1 z = z1 y2 y1 x1 = x2 y2 x2 y3 x3 = z3  50

y2 x2 y3 = z3 z2 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : y2 x2 y3 = z3 z2  51

Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : 52

x3 y3 x2 y2 c -s s c y2 x2 y3 x3 = z3 z2 z1 y1 z2 y2 = x2 x1   53

y x y1 x1 = z1 z Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : y x y1 x1 = z1 z  54

Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : 55

x1 y1 x3 y3 x x2 y y2 c -s c -s s c s c x x1 = z1 z y y1 y2 x2 56

z1 z1 y1 z2 y2  = x2 x1 -z2 -sin.x1 57

Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : 58

III.6 – Produit mixte Le produit mixte des 3 vecteurs , est le nombre réel suivant noté : Propriétés : Changement de signe si l’on intervertit 2 vecteurs  Pas de changement de signe si l’on fait une permutation circulaire: 59

III.7 – Double produit vectoriel III.6 – Produit mixte Le produit mixte des 3 vecteurs , est le nombre réel suivant noté : Propriétés : Changement de signe si l’on intervertit 2 vecteurs  Pas de changement de signe si l’on fait une permutation circulaire: III.7 – Double produit vectoriel 60

III.8 – Division vectorielle 61