UN ALGORITHME PERFORMANT DE CALCUL DES ERREURS DE FORME Jean-François Debongnie Université de Liège, LTAS/Méthodes de Fabrication

I. Position générale du problème des erreurs de forme fonction d’encadrement

Valeur d’encadrement et erreur de forme d’un compact K Pour une valeur donnée des paramètres, Défaut : Unicité ? Non garantie, sauf en circularité er sphéricité

Ecart … Calcul ? → Nouvelle définition du défaut ≈ Approximation au sens de Tchébycheff … Calcul ?

II. Calcul approché par les moindres carrés Approché par excès Sensible à la distribution des points de mesure NON FIABLE

! III. Méthodes directes Fini ne veut pas dire petit ! Résultat exact en un nombre fini d’opérations ! Fini ne veut pas dire petit ! Complexité Rectitude Planéité Enveloppe convexe Circularité Méthode des 4 points Impraticable Cylindricité Sphéricité ?

IV. Méthodes itératives classiques (gradient, gradient conjugué) Pas directement applicables Minimum en forme d’entonnoir Thalwegs

V. Méthode du simplexe de Nelder & Mead Plus attrayant Experience  Très sensible au point de départ PAS ASSEZ FIABLE

VI. Méthode des normes p Base : Précédentes applications (GOCH) p=50 : non convergé Il faut atteindre des valeurs bien plus grandes : Difficultés : Dépassements de capacité Algorithmes de minimisation

Dépassements de capacité par le haut Dépassements de capacité par le bas Supprimer les termes tels que

Algorithme de minimisation Non régulier pour p grand Première approximation : p =2 Itérations Un coup de Newton-Raphson pour chaque p Contrôle de convergence La norme p doit diminuer à chaque itération (Inégalité de Jensen) Sinon, on bloque p jusqu’à diminution de la norme En pratique, 40 itérations en général

VII. Applications Méthodes testées Barreau cylindrique 22 cercles, 72 positions axiales = 1584 points de mesure Rectitude d’une génératrice

Circularité Cylindricité M.C. > exacte; Simplexe souvent non convergé

Bras de suspension Deux plans : planéité de chacun parallelisme

Palier d’arbre à cames

CONCLUSIONS Erreur de forme = minimum pointu ne peut être obtenu par mesure directe les méthodes numériques sont nécessaires pour obtenir un résultat objectif ○ Les moindres carrés ne donnent PAS un résultat satisfaisant ○ Méthodes directes : souvent lentes inexistantes, cylindricité et sphéricité ○ Simplexe : non fiable ○ Normes p : ROBUSTES RAPIDES