Deuxième séance de regroupement PHR004 Rappels de cours (Leçons 4 et 5) Commentaires sur les exercices Questions / Réponses

Forces, travail, puissance et énergie

Les lois de Newton Ce sont des lois qui permettent de lier étroitement les deux notions de force et de mouvement. Loi d'Inertie : si un corps mobile n'est soumis à aucune force, il continue éternellement à se déplacer dans la même direction et à la même vitesse Loi du mouvement : Loi d'égalité ou d’actions réciproques :

Travail d'une Force Travail élémentaire d'une force lors d'un déplacement (élémentaire) Le travail W est égal à la circulation de la Force le long du parcours M1M2 dW = 0 Force ne travaille pas Ex : Réaction Ex : Tensions Ex : Frottements projet-idea.u-strasbg.fr/depotcel/DepotCel/.../Travail_dune_Force.ppt -

Travail élémentaire en coordonnées cartésiennes Le travail est une grandeur scalaire, sa valeur peut être considérée comme la somme des travaux effectués lors d'un déplacement quelconque décomposé en des trajets parallèles aux axes x, y, z respectivement. Travail élémentaire en coordonnées cylindriques: projet-idea.u-strasbg.fr/depotcel/DepotCel/.../Travail_dune_Force.ppt -

Puissance instantanée – Energie cinétique C'est le travail fourni par unité de temps: L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m animé d’une vitesse v est Si la puissance est positive, la force est motrice, si la puissance est négative, la force est résistante. Si plusieurs forces sont appliquées à m, on a : projet-idea.u-strasbg.fr/depotcel/DepotCel/.../Travail_dune_Force.ppt -

Théorème de l’énergie cinétique : La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées effectués lors de ce déplacement.

Forces conservatives – Forces dissipatives Une force est dite conservative si pour tous les points A et B le travail pour aller de A en B ne dépend pas du chemin suivi entre A et B Toutes les forces transformant l’énergie mécanique en une autre forme d’énergie (chaleur, rayonnement...) sont dissipatives Exemples de forces dissipatives : Force de frottements solides Force de frottements liquides Si la force est conservative on peut définir une fonction de l’espace Ep(x,y,z) qui ne dépend que du point M(x,y,z) de l’espace considéré. La fonction Ep (x,y,z) est l’énergie potentielle au point M(x,y,z)

Variation d’énergie potentielle La relation suivante n’est vraie que si la force F(r) est conservative : Si les bornes de l’intégrales ne sont pas parfaitement identifiées, il faut se rappeler du fait que l’énergie potentielle est définie à une constante additive près projet-idea.u-strasbg.fr/depotcel/DepotCel/.../Travail_dune_Force.ppt -

Récapitulatif Deux types d’énergie : Energie mécanique E = Ec + Ep Energie cinétique Ec : liée au mouvement Energie potentielle Ep : liée à la position Energie mécanique E = Ec + Ep L'énergie mécanique se conserve (est constante) si les forces sont conservatives  DE = DEc +D Ep = 0

Les oscillateurs

Différents types d’oscillateurs Oscillateur libre non amorti Oscillateur forcé sur un système non amorti Oscillateur libre sur un système amorti par frottements visqueux Cas des faibles frottements : le régime pseudo périodique Cas des forts frottements : le régime apériodique Cas limite : l’amortissement critique Oscillateur forcé sur un système amorti par frottements visqueux (Exercice n°5 –L05 : AFM)

Oscillateur mécanique libre non amorti Horizontal Vertical Attention à la CE : PFD : Attention force de rappel : T = - K  (allongement total)

Oscillateur mécanique libre non amorti Oscillateur horizontal ou vertical, on aboutit toujours à la même équation différentielle Ne négliger jamais un paramètre si on ne vous le demande pas explicitement N’oublier pas la condition d’équilibre à chaque fois que vous avez affaire à un ressort vertical L’allongement Dx est toujours compté par rapport à la longueur à vide du ressort l0 Dans toutes les équations différentielles relatives aux oscillateurs, il faut toujours s’arranger pour avoir le facteur 1 qui précède la dérivée seconde , le facteur qui précède x est

Oscillateur mécanique forcé non amorti Excitation sinusoïdale Projection sur l'axe des x Intuitivement la masse va osciller à la même pulsation que la force appliquée A cos x + B sin x = C cos x + D sinx  A = C et B = D Résonance

Oscillateur mécanique libre amorti + Force de frottement Projection sur l'axe des x Equation caractéristique : Discriminant : a r

Oscillateur mécanique libre faiblement amorti Discriminant négatif Solutions complexes de l’équation caractéristique: Solution générale de l’équation différentielle : x(t) ≠ x(t + T) : l’amplitude des oscillations diminue avec le temps Mouvement pseudo périodique Pseudo pulsation Pseudo période

Oscillateur mécanique libre fortement amorti Discriminant positif Solutions réelles de l’équation caractéristique: Solution générale de l’équation différentielle : Régime Apériodique  Pas d’oscillations Le temps de relaxation le plus grand imposera la décroissance de l’exponentielle.

Régime critique Discriminent nul Solution générale de l’équation différentielle : . Temps de relaxation pour le régime critique : Le temps de relaxation pour le régime apériodique est toujours plus important que celui du régime critique. Si on désire un retour rapide à l’équilibre (pour les amortisseurs d’une voiture par exemple) on a un intérêt de se rapprocher le plus possible du régime critique.

Oscillateur mécanique forcé et amorti (1/2) + Excitation sinusoïdale + Force de frottement Ressort horizontal. Projection sur l'axe des x : On peut poser : x(t) = xm cos(wt + j) et résoudre l’équation : Plus simple : passage au nombre complexe Amplitude complexe Déterminer x(t) = Déterminer les valeurs de : x0 et j 

Oscillateur mécanique forcé et amorti (2/2) Equation du mouvement : Rappel mathématique : Dans notre cas :