Enoncé des milieux ou réciproque ? Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX AVERTISSEMENT : Certaines images dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire

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le parallélogramme de Varignon Sommaire Enoncé du théorème direct Exercice 1 3points alignés Exercice 2 le parallélogramme de Varignon Enoncé du théorème réciproque Exercice 3

Déplacer un sommet du triangle et observer le segment qui joint les milieux de deux côtés. Enoncé du théorème : Le segment qui joint les milieux de deux côtés d ’un triangle est parallèle au troisième côté et mesure la moitié du troisième côté.

Trace une droite d et trois points A,B et C sur cette droite. Soit O un point non situé sur la droite. On appelle I,J et K les milieux respectifs des segments [OA], [OB] et [OC]. Prouve que I,J et K sont alignés.

Trace une droite d et trois points A,B et C sur cette droite. Soit O un point non situé sur la droite. On appelle I,J et K les milieux respectifs des segments [OA], [OB] et [OC]. Prouve que I,J et K sont alignés O I J K d A B C

Examine le triangle OAB Aide O I J K d A B C

Examine le triangle OBC Aide O I J K d A B C

Dans le triangle ABO, I est le milieu de [AO] et J est le milieu de [BO] Or le segment qui joint les milieux de deux côtés d ’un triangle est parallèle au troisième côté (et mesure la moitié du troisième côté.) Donc la droite (IJ) est parallèle à la droite d Rédige un texte analogue dans le triangle OBC…... Retour Suite

O I J K d A B C Les droites (IJ) et d sont parallèles. Les droites (KJ) et d sont parallèles. Or si deux droites sont parallèles à une même troisième alors ces deux droites sont parallèles. Donc les droites (IJ) et (JK) sont parallèles. Or deux droites parallèles sont distinctes ou confondues. Comme les droites (IJ) et (JK) sont parallèles et passent par le point J, elles sont confondues. I,J et K sont alignés. O I J K d A B C

Le parallélogramme de Varignon. Trace un quadrilatère ABCD. I , J , K , et L sont les milieux respectifs des côtés [AB] ; [BC] ; [CD] ; [DA] . Que constates-tu ? Trace la diagonale [AC] Que peux-tu dire des segments [KL] et [IJ] ? Trace la diagonale [BD] Que peux-tu dire des segments [IL] et [KJ] ? Que peux-tu en conclure ? Voir avec Géoplan

En déplaçant les sommets ABCD trouve une condition suffisante pour que 1) IJKL soit un losange. 2) IJKL soit un rectangle 3) IJKL soit un carré

Déplacer un sommet du triangle et observer la droite parallèle à un côté qui passe par le milieu d ’un autre côté. Enoncé du théorème : La droite parallèle à un côté du triangle, qui passe par le milieu d’un autre côté, coupe le troisième côté du triangle en son milieu.

Construire quatre points A,B,C et D alignés et tels que AB = BC = CD. Soit E un point non aligné avec les précédents, et A ’ le symétrique de A par rapport à E. Montrer que la droite (A ’C) coupe le segment [ED] en son milieu

Construire quatre points A,B,C et D alignés et tels que AB = BC = CD. Soit E un point non aligné avec les précédents, soit A’ le symétrique de A par rapport à E. Montrer que la droite (A ’C) coupe le segment [ED] en son milieu A ’ E A B C D Faire varier la figure sous géoplan

A l ’affichage l = EI l’ = ID

Observe le triangle AA’C. Que peux-tu dire des segments [EB] et [A’C] ? Pourquoi ? E A B C D aide

Dans le triangle AA’C E est le milieu de [AA ’] par définition de la symétrie centrale et par hypothèse B est le milieu de [AC]. A ’ Or la droite qui passe par les milieux de deux côtés d ’un triangle est parallèle au troisième côté. E A B C D Donc les segments [EB] et [A ’C] sont parallèles.

Dans le triangle BED [A ’I] et [EB] sont parallèles et C est le milieu du segment [BD] A ’ Or la droite parallèle à un côté du triangle, qui passe par le milieu d’un autre côté, coupe le troisième côté du triangle en son milieu. E I Donc I est le milieu de [ED] . A B C D

Construire quatre points A,B,C et D alignés et tels que AB = BC = CD. Soit E un point non aligné avec les précédents, et A ’ le symétrique de A par rapport à E. Montrer que la droite (A ’C) coupe le segment [ED] en son milieu Trace une droite d et trois points A,B et C sur cette droite. Soit O un point non situé sur la droite. On appelle I,J et K les milieux respectifs des segments [OA], [OB] et [OC]. Prouve que I,J et K sont alignés.