Analyse Numérique Problèmes Pratiques Méthodes itératives

Introduction 1/2 Quel est le point commun entre : la résolution d'un système linéaire par Jacobi par Gauss-Seidel par relaxation le calcul des valeurs propres par la puissance itérée la résolution d'un système non linéaire par Newton par Quasi-Newton Ph. Leray Analyse Numérique

Introduction 2/2 Réponse = Méthodes itératives ! On construit une suite uk+1 = g(uk) qui converge vers û la solution du problème On peut étudier les propriétés "générales" de ces méthodes : convergence taux de convergence accélération de la convergence Ph. Leray Analyse Numérique

Convergence 1/3 On peut écrire les méthodes itératives sous la forme : A x = b avec A = M - N et M régulière M uk+1 =N uk + b uk+1 =M-1N uk + M-1b uk+1 =M-1(M-A) uk + M-1b uk+1 =(I - M-1A) uk + M-1b û solution de A x = b vérifie û =(I - M-1A) û + M-1b Ph. Leray Analyse Numérique

Convergence 2/3 Erreur à la kème itération : Ré-écriture de la suite : ek = û - uk ek+1 = (I - M-1A) uk + M-1b - (I - M-1A) û - M-1b ek+1 = (I - M-1A) ek = (I - M-1A)k e0 ek = Bk e0 avec B = (I - M-1A) Ré-écriture de la suite : uk+1 = B uk + c avec c = M-1b Ph. Leray Analyse Numérique

Convergence 3/3 Théorème : la suite uk converge vers û ssi (B) < 1 démonstration : il faut que ek converge vers 0 quelque soit e0 Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 1/8 En dimension 1 : la suite (uk) converge vers û si l'on arrive à trouver  et  tels que : alors la convergence est d'ordre , avec une erreur asymptotique  Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 2/8 En dimension 1 (suite) Cas particuliers : si =1, la suite a une convergence linéaire si =2, la suite a une convergence quadratique En général, plus si  est grand, plus la suite converge vite. Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 3/8 En dimension 1 (suite) Ex d'une suite de limite 0 : convergence linéaire convergence quadratique Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 4/8 En dimension 1 (suite) 0.9 la convergence linéaire c'est bien... 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 la convergence quadratique c'est mieux ! 0.3 0.2 linéaire quadratique 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 5/8 En dimension n Définitions : taux de convergence = vitesse à laquelle ek tend vers 0 on a ek = Bk e0 donc Définitions :  : facteur moyen de réduction de l'erreur Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 6/8 Définitions (suite) Rk(B) : taux moyen de convergence pour k itérations R(B) : taux de convergence asymptotique en effet Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 7/8 Application combien faut-il d'itérations pour réduire l'erreur d'un facteur  ? étape 1 : convergence donc pour k assez grand puisque on choisit ainsi : problème : k dépend de Rk(B) Ph. Leray Analyse Numérique

Taux de convergence 8/8 Application (suite) conclusion : étape 2 : exprimer k en fonction de R(B) donc ainsi : soit conclusion : Ph. Leray Analyse Numérique

Accélération de la convergence 1/5 Principe : prendre une méthode itérative de convergence linéaire construire une nouvelle suite qui converge plus vite. Exemple : soit une suite (uk) de convergence linéaire supposons que pour k suffisamment grand, Ph. Leray Analyse Numérique

Accélération de la convergence 2/5 Exemple (suite) Méthode du 2 d'Aitken la suite converge plus vite que la suite originale Ph. Leray Analyse Numérique

Accélération de la convergence 3/5 En dimension n uk+1 = B uk + c on va chercher à construire une suite qui converge plus vite que uk en général, on prend : avec Erreur à la kème itération : Ph. Leray Analyse Numérique

Accélération de la convergence 4/5 En dimension n (suite) pour que la nouvelle suite converge rapidement, il faut que : [Pk(B)] soit le plus petit possible Pk(1)=1 le calcul de la nouvelle suite ne soit pas trop lourd ! plusieurs méthodes d'accélération : méthode de Tchebycheff méthode de relaxation symétrique ... Ph. Leray Analyse Numérique

Accélération de la convergence 5/5 En dimension n (suite) Accélération de Tchébycheff si B hermitienne, et si ses valeurs propres [-,] alors : converge vers û avec Ph. Leray Analyse Numérique

Conclusion les méthodes itératives sont très courantes propriétés des méthodes itératives convergence taux de convergence accélération de la convergence : en dimension 1 : méthode d'Aitken (facile et pas "chère") en dimension n : plusieurs méthodes, mais assez lourdes en calcul  il faut trouver un compromis (B) < 1 Ph. Leray Analyse Numérique