Translations et vecteurs. Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire

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Sommaire Définition de la translation Propriété des translations Le vecteur associé à la translation Caractérisation vectorielle d ’un parallélogramme Sommaire Caractérisation vectorielle du milieu Composée de deux translations : somme de 2 vecteurs Méthode pratique pour construire la somme de deux vecteurs Les vecteurs : un outil pour démontrer

La figure F1 glisse sans tourner vers la position F2 On dit que F2 est l ’image de F1 par la translation qui transforme A en B. F1 M A Ou M en M’…. F2 B M’

Translation : Dire que le point M’ est l ’image d ’un point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme. B M’ A M Figure géoplan : Piloter A, B ou I pour voir les différents parallélogrammes N’ N Remarque : si N est sur la droite (AB) alors ABN’N est un parallélogramme aplati (Les diagonales [AN’] et [BN] du quadrilatère aplati ABNN’ ont même milieu)

On retiendra les propriétés suivantes : Deux figures qui se correspondent par une translation ont les mêmes dimensions, les mêmes mesures d ’angles et la même aire. C B A L ’image de trois points alignés par une translation est formée de trois points alignés dans le même ordre. C’ B’ A’ L ’image d’une droite d par une translation est une droite parallèle à d.

On peut dessiner beaucoup d’autres représentants du même vecteur . Vecteurs et translations Lorsque la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D on dit que ces points pris deux à deux dans cet ordre représente le même vecteur et on note : On peut dessiner beaucoup d’autres représentants du même vecteur . C A Tous les représentants d’un même vecteur sont parallèles, ont même sens et même longueur. D B

De plus C est l ’image de B par la translation qui transforme A en D Retenons Si ABCD est un parallélogramme alors C est l ’image du point D par la translation qui transforme A en B C B A D De plus C est l ’image de B par la translation qui transforme A en D donc

Si alors ABCD est un parallélogramme. Retenons: Si alors ABCD est un parallélogramme. Si AB = DC C B D A alors ABCD est un parallélogramme De plus BC = AD

Composée de deux translations. On applique une translation de vecteur u suivie d’une translation de vecteur v à la figure. La composée de deux translations est une translation. Le vecteur de la translation composée est appelé somme des vecteurs des deux translations. Le vecteur somme u + v ne dépend pas des représentants de u et v choisis.

Attention au sens des flèches Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec l’extrémité du premier. Si les deux vecteurs sont bien disposés Attention au sens des flèches

Attention au sens des flèches Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec l’extrémité du premier. Si les deux vecteurs ont même origine On dessine un autre représentant du vecteur v Attention au sens des flèches

Attention au sens des flèches Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec l’extrémité du premier. Si les deux vecteurs sont placés de façon quelconque On dessine un autre représentant du vecteur v Attention au sens des flèches

Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec l’extrémité du premier. Si les deux vecteurs sont dans la même direction et de sens contraire... Ou de même sens On dessine un autre représentant du vecteur v Attention au sens des flèches exercices

Théorèmes à admettre Etant donnés trois points A,B et I si AI = IB Si I est le milieu de [AB], alors I est le milieu du segment [AB]. B I A Réciproque alors AI = IB. B I A

On donne la figure codée suivante. Hypothèses : EA=AD=AB=BC=CD Démontrer que les droites (ED) et (AC) sont parallèles. 1) En utilisant des propriétés de géométrie. 2) En utilisant les vecteurs. D C E A B

Pourquoi le triangle EDB est-il rectangle en D ? 1ère méthode Pourquoi le triangle EDB est-il rectangle en D ? A est le milieu du segment [EB] et AD = 1/2 EB D C Or si D est situé sur le cercle de diamètre [EB] alors le triangle EDB est rectangle en D. E A B

Pourquoi les droites (AC) et (BD) sont-elles perpendiculaires? ABCD est un losange or D C Les diagonales d ’un losange sont perpendiculaires donc (AC) et (BD) sont perpendiculaires. E A B

Donc (ED) et (AC) sont parallèles. D ’après la question 1° Les droites (ED) et (DB) sont perpendiculaires; et d ’après la question 2° les droites (AC) et (DB) sont perpendiculaires. Or si deux droites sont perpendiculaires à une troisième alors elles sont parallèles. D C Donc (ED) et (AC) sont parallèles. E A B

2ème méthode Utilisons les vecteurs A est le milieu de [EB] La caractérisation vectorielle du milieu permet d'écrire D C E A B

Hypothèses : EA=AD=AB=BC=CD ABCD est un losange (donc un parallélogramme) La caractérisation vectorielle du parallélogramme permet d'écrire D C E A B

donc Alors EACD est un parallélogramme et ses côtés opposés [ED] et [AC] sont parallèles. D C E A B