Géométrie 2 Les vecteurs 2 – Coordonnées de vecteurs 3 – Somme de deux vecteurs 4 – Multiplication d’un vecteur par un réel 5 – Vecteurs colinéaires

Comment passer d’une figure à l’autre ? On dira que la figure k est l’image de la figure j par la translation de vecteur AB AB B A k j

Un vecteur se caractérise par : sa direction son sens, de A vers B sa norme, la longueur AB B A AB

Que dire des vecteurs suivants ? Même direction Même sens Même norme

À noter … Cahier de cours …

B C AB A 1 - Vecteur Un vecteur se caractérise par : sa direction son sens, de A vers B sa norme, la longueur AB A Notation pour la norme : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens, même norme. En revanche, Exemples : On dit que est un représentant du vecteur ont même direction, même sens mais pas la même norme Et est appelé vecteur nul

2 - Coordonnées d’un Vecteur (repère quelconque)

B O I J 2 + A M + 3 AB 2 - C AC

O I J M - 4 - 1 N MN S 2 RS R - 3

O I J E F G EF GH H

O I J L +1 3 +4 K OK 1 -1 4 OL

À noter … Cahier de cours …

+1 +4 J M 1 OM O I 4 2 – Coordonnées d’un vecteur Dans un repère (O,I,J), les coordonnées d’un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que u = OM O I J M 1 4 +4 +1 OM

Exemples : B O I J AB +1 +4 A +2 C CD -3 EF D F E -3

Calcul des coordonnées D’un vecteur

A O I J yA M yB B xB xA

xB - xA yB - yA A Signe ? yA M yA - yB yB B J xB O I xA xB - xA AB

À noter … Cahier de cours …

xB - xA yB - yA Si A(xA;yA) yB B et B(xB;yB) Alors yB - yA yA A AB J Calcul des coordonnées d’un vecteur : O I J Si A(xA;yA) et B(xB;yB) Alors yB B yB - yA yA A yB - yA xB - xA AB xB - xA xA xB

3 – Somme de deux vecteurs (repère quelconque)

Une translation suivie d’une autre … AB BC AC + = C AC BC B A AB

À noter … Cahier de cours …

C B A u + v v u AB BC AC + = Relation de Chasles La somme de 2 vecteurs u et v est un vecteur, noté u + v , obtenu en disposant bout à bout les vecteurs u et v Propriétés : Si u et v alors u + v u + v = v + u u + 0 = u (u + v) + w = u + (v + w) C B A u + v v u Relation de Chasles AB BC AC + =

C D u + v v A B u Règle du parallélogramme : Etant donné deux représentants AB de u et AC de v La somme u + v est le vecteur AD tel que ABDC soit un parallélogramme C D u + v v A B u

(à noter … cahier de cours) 4 – Multiplication d’un vecteur par un réel (à noter … cahier de cours)

Soit u et k un réel, le vecteur k u est le vecteur de coordonnées A B Exemple : AB BA + = AB BA = - Propriété : donc

(à noter … cahier de cours) 5 – Vecteurs colinéaires (à noter … cahier de cours)

signifie que (AB) // (CD) Soit u et v deux vecteurs, s’il existe un réel k tel que u = k v , on dit que les vecteurs u et v sont colinéaires. Exemple : Les deux vecteurs sont colinéaires Propriétés: AB et CD colinéaires signifie que (AB) // (CD) D C B A AB et AC colinéaires signifie que A, B, C sont alignés A B C