TNS et Analyse Spectrale I. Le DSP : Introduction II. La Transformée de Fourier Discrète III. La Transformée de Fourier Rapide IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP VI. Estimation spectrale paramétrique Le plan de l’exposé se compose de cinq parties principales : 1. Tout d’abord le problème qui nous a été proposé par la DCN Saint-Tropez sera présenté. Le principe ainsi que les caractéristiques du brouilleurs intelligent seront développés. On mettra en évidence la nécessité d ’un traitement non linéaire des donnés. Ce qui nous amène à la seconde partie de l ’exposé, c ’est à dire l ’identification non linéaire.

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires 1) Introduction à l’aléatoire - Il existe de nombreux signaux naturels ou artificiels comme : le signal de parole, la consommation d ’électricité, un signal binaire de transmission, ... - Pour tous ces signaux, il est difficile de prévoir avec précision l ’échantillon suivant avant de l ’avoir observé ou bien il est difficile de trouver un modèle mathématique d ’évolution ou bien les variations fines ne sont pas intéressantes ou bien le signal est trop important à stocker : - On ne peut donc pas considérer ces signaux comme déterministes. - Par contre, on modélisera le signal obtenu x(t) ou x(n) comme la réalisation d ’un processus aléatoire continu X(t) ou discret X(n). Un processus aléatoire est une variable aléatoire X indexée par le paramètre temps. - On ignorera les valeurs instantanées du signal pour s ’intéresser aux valeurs statistiques (moyenne, variance, autocorrélation, …) - On ne considèrera que des processus aléatoires stationnaires au deuxième ordre et ergodiques. - Un processus aléatoire a une énergie infinie et l ’analyse spectrale de signaux aléatoires est obtenue en prenant la Transformée de Fourier de la fonction d ’autocorrélation. La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires a) caractéristiques statistiques d ’un processus aléatoire continu stationnaire au deuxième ordre : - moyenne - fonction d ’autocorrélation statistique - fonction d ’autocovariance statistique - variance - fonction d ’autocorrélation temporelle - un processus aléatoire stationnaire est ergodique si : La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires b) caractéristiques statistiques d ’un processus aléatoire stationnaire discret : - moyenne - fonction d ’autocorrélation statistique - fonction d ’intercorrélation statistique - variance - Densité Spectrale de Puissance (DSP) - Densité Interspectrale de Puissance La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires c) définition du bruit blanc : - Un bruit blanc B(t) de variance sB2 est un processus aléatoire stationnaire, centré (mB=0) dont la fonction d ’autocorrélation statistique est un dirac de poids sB2 : - bruit blanc discret : - Un bruit blanc discret B(n) de variance sB2 est un processus aléatoire stationnaire, centré (mB=0) discret dont les échantillons B(n) sont non corrélés entre eux : La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires d) filtrage de signaux aléatoires : - On met un signal aléatoire x(n), réalisation d ’un processus aléatoire stationnaire X(n), à l ’entrée d ’un filtre de réponse impulsionnelle h(l). On obtient un signal aléatoire y(n), réalisation d ’un processus aléatoire stationnaire Y(n) : - si l ’entrée est un bruit blanc discret B(n) : On peut imposer au signal aléatoire la corrélation et la DSP qu ’on souhaite ! et La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires Ex 1 - On met une réalisation b(n) d ’un bruit blanc discret B(n) à l ’entrée d ’un filtre de réponse impulsionnelle h(l)=alu(l). On obtient un signal aléatoire y(n). - montrer que y(n)-a y(n-1)=b(n) - calculer et tracer la réponse en fréquence de ce filtre. Quelle est la nature de ce filtre ? - calculer Rhh(k) - calculer Ryy(k)/Ryy(0) - calculer Gyy(f) La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires 2) Notions d ’estimation - Soit un processus aléatoire stationnaire et ergodique X(n), dont on considère N échantillons. Chaque échantillon X(n) est une Variable Aléatoire de densité de probabilité p[X(n)] - Soit un paramètre a du processus aléatoire (la moyenne, la variance, l ’autocorrélation, la DSP, …) est une variable aléatoire, estimation de a obtenue à partir des N échantillons - F est appelé un estimateur. - on peut avoir plusieurs estimateurs d ’un même paramètre (2 estimateurs pour la corrélation , 5 estimateurs pour la DSP) et on privilégiera celui qui donne la valeur la plus proche de la vraie valeur inaccessible(N infini). - on mesurera donc le biais d ’un estimateur : - et la variance de cet estimateur : La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires - Si B=0, l ’estimateur est non biaisé - Si quand l ’estimateur est consistant - Soit un estimateur de la moyenne mX d ’un signal aléatoire x(n) de N échantillons non corrélés : - le biais de cet estimateur : et la variance de cet estimateur La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire - cet estimateur est un estimateur non biaisé et consistant de la moyenne

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires 3) Estimateurs de la fonction d ’autocorrélation a) estimateur 1 non biaisé - Soit un signal aléatoire x(n) de N échantillons, on définit un premier estimateur de l ’autocorrélation : - le biais de cet estimateur : et la variance de cet estimateur La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire A constante de proportionnalité - cet estimateur est un estimateur non biaisé et consistant de la fonction d ’autocorrélation

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires b) estimateur 2 biaisé - Soit un signal aléatoire x(n) de N échantillons, on définit un deuxième estimateur de l ’autocorrélation : - le biais de cet estimateur : et la variance de cet estimateur La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire A constante de proportionnalité - cet estimateur est un estimateur biaisé et consistant de la fonction d ’autocorrélation

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires c) choix entre les estimateurs 1 et 2 - Le problème se pose pour estimer RXX(k) pour des valeurs de k proches de N ex : k=N-1, R1(N-1)=X(0)X(N-1), soit un terme pour estimer RXX(N-1), variance importante R2(N-1)=(1/N)X(0)X(N-1), soit également un terme pour estimer RXX(N-1), biais important, variance plus faible - Ni R1, ni R2 ne sont satisfaisants, il faut s ’arrêter à un décalage kmax de la corrélation d ’environ N/10. - On peut aussi augmenter le nombre d ’échantillons N. - Dans ce cas, la stationnarité en pratique peut ne plus être assurée. - En pratique, on prend plutôt l ’estimateur 2 biaisé et kmax faible. La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires Ex2 : -un processus aléatoire stationnaire a la fonction d ’autocorrélation : avec a=0.75 et sX=1. A l ’aide de Matlab, estimez cette autocorrélation à l ’aide des 2 estimateurs précédents. - Faites varier le nombre de points N et comparez les résultats. x=sig*randn(N,1); [H,W] = freqz(1,[1 -a],128,'whole'); plot(W/2/pi,20*log10(abs(H))) y = filter(1,[1 -a],x); 20 40 60 80 100 120 140 -3 -2 -1 1 2 3 echantillon amp. bruit blanc d'entrée 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 freq. normalisée dB module de la reponse en fréq. du filtre 20 40 60 80 100 120 140 -3 -2 -1 1 2 3 echantillon amp. bruit blanc filtré La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires Ex 2 /suite: Estimation de l ’ autocorrélation du signal d ’entrée du filtre, pour N=128 points : N=128,R1=xcorr(x,'unbiased'); plot(R1(N:2*N-1)) R2=xcorr(x,'biased'); var(x)=0.8968, mean(x)=0.0798 20 40 60 80 100 120 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 décalage amp. fonction d'autocorrélation non biaisée du bruit d'entrée 20 40 60 80 100 120 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 décalage amp. fonction d'autocorrélation du bruit d'entrée La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires Ex2 /suite: - processus aléatoire stationnaire de fonction d ’autocorrélation : avec a=0.75. Estimation de sa fonction d ’autocorrélation pour N=128 points : N=128,R1=xcorr(y,'unbiased'); plot(R1(N:2*N-1)) R2=xcorr(y,'biased'); var(y)= 1.4059, mean(y)=0.2804 20 40 60 80 100 120 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 décalage amp. fonction d'autocorrélation non biaisée du bruit filtré 20 40 60 80 100 120 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 décalage amp. fonction d'autocorrélation biaisée du bruit filtré La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires Ex2 /fin: -un processus aléatoire stationnaire a la fonction d ’autocorrélation : avec a=0.75. Comparaison des estimateurs de l ’autocorrélation en faisant varier le nombre de points N : N=256,R1=xcorr(y,'unbiased'); R2=xcorr(y,'biased'); R=a.^[0:N-1]*std(x)^2/(1-a*a); 50 100 150 200 250 300 -2 -1 1 2 3 4 5 décalage amp. comparaison autocorrélation vraie, R1,R2 La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire