Thèse effectuée au laboratoire UMR 5521 Modélisation et Simulation Numérique de la Compression en Matrice de Poudres Métalliques Présentée par Arnaud FRACHON Directeurs de thèse : Pierre DOREMUS Didier IMBAULT

Métallurgie des poudres Cadence de production Pièces axisymétriques et 3D Nuances de poudres variées

Le procédé de compression en matrice Milieu pulvérulent Remplissage de la matrice Masse volumique moyenne de remplissage r0

Le procédé de compression en matrice Vitesse de compression de l’ordre de quelques cm/s Phase de compression : réduction du volume de moitié Masse volumique moyenne en fin de compression r~2r0

Le procédé de compression en matrice Phase de décharge Complète : perte de contact Partielle : contre force

Le procédé de compression en matrice Phase d’éjection Frittage

Le procédé de compression en matrice remplissage Répartition des masses volumiques transfert Modification de la répartition des masses volumiques par mouvement relatif des cavités compression Frottement poudres/outils + géométrie de la pièce = hétérogénéïté de la masse volumique, fractures décharge Relâchement des contraintes axiales Contraintes radiales résiduelles éjection Relâchement des contraintes radiales

Plan de l’exposé Contexte de la simulation numérique Caractérisation du matériau Modélisation Comportement élastique Comportement plastique Simulation numérique Résultats et comparaisons Étude de sensibilité Conclusion et perspectives Contexte : il s’agit d’une étude dans un cadre universitaire en vue d’analyser et de critiquer la précision des modèles de simulations. Par ailleurs, ces développements sont utiles à une future mise en œuvre des codes de simulations dans un contexte industriel. Les travaux de cette thèse qui n’était pas à vocations expérimentales ont conduit à exploiter des résultats de mesures issues du laboratoire 3S et de la littérature. Les travaux réalisées portent sur la modélisation du comportement de la poudre et la simulation numérique.

Place de la simulation numérique au sein de processus d’industrialisation Caractérisation de la poudre Forme et densité simulées après éjection Forme et densité données par le B.E. Simulation numérique NON Correspond aux données du B.E. ? Modification de la cinématique de compression Critique de la modélisation NON OUI Correspond aux données du B.E. ? OUI Industrialisation Fabrication

Démarche de validation de la simulation numérique Caractérisation du matériau Modélisation du comportement Calage Simulation numérique Mesures in situ Critique de la modélisation. Critique de la caractérisation NON Comparaison OK Validation du code

La poudre de fer : caractérisation expérimentale La poudre de fer : caractéristiques Modélisation Comportement élastique Comportement plastique Simulation numérique Résultats et comparaisons Étude de sensibilité Conclusion Ni=4%, Cu=1.5%, Mo=0.5%, C=0.5%, Fe=93.5%, cire=0.6%

La poudre de fer : caractérisation Types d’analyses envisageables Micromécanique Phénoménologique Dispositifs spécifiques aux poudres Caractérisation du comportement de la poudre Caractérisation des interactions poudre-outil Base de données Ensembles des caractéristiques du matériau Modélisation : comportement, interaction Caractéristiques outils et leurs cinématiques Simulation numérique (modèles éléments finis) La façon de caractériser un matériau dépend du type d’analyse que l’on souhaite en faire.

La poudre de fer : caractéristiques Éléments et critère d’analyse des résultats expérimentaux Comportement élasto-plastique Décomposition du comportement e = eel + epl Comportement élastique eel = 0  s=0 Comportement plastique Limite élastique = contrainte seuil Dans le cadre d’un approche phénoménologique, on suppose a priori que le comportement est élasto-plastique.

La poudre de fer : caractérisation de l’élasticité Direction de compression Échantillons cubiques Compression en matrice (fabrication*) Démoulage (pas d’éjection) Poudre de fer DISTALOY AE Ni=4%, Cu=1.5%, Mo=0.5%, C=0.5%, Fe=93.5%, cire=0.6% * Franck TOUSSAINT laboratoire 3S

La poudre de fer : caractérisation de l’élasticité Compression uniaxiale avec des cycles de décharge-recharge selon deux directions s22 s11 Direction de compression e33 e11 e22 mesure 12.5mm 1 2 3 1 2 3 A B Compression suivant le sens de fabrique Compression suivant le sens transverse au sens de fabrique RIERA PRADO université polytechnique de Catalogne (Espagne)

La poudre de fer : caractérisation de l’élasticité Identification pour une direction et une masse volumique Cycle de décharge-charge au cours d’une compression uniaxiale : cycle réversible Déformation axiale totale Contrainte axiales (MPa) 100 200 0.00 0.02 0.04 0.06 Superposition des cycles élastiques (sans déformation plastique) : identification du comportement élastique Déformation élastique Contrainte axiales (MPa) 100 200 0.00 0.02 0.04 Enveloppe élasto-plastique chargement monotone Déformation axiale totale Contrainte axiales (MPa) 100 200 0.00 0.02 0.04 « Élimination » de l’enveloppe élasto-plastique Caractère non-linéaire du comportement élastique

La poudre de fer : caractérisation de l’élasticité Cycles de charge-décharge pour une masse volumique et deux directions Déformation élastique axiale Direction de compression 0.000 0.010 0.005 0.015 0. 25. 50. 75. 100. 125 Ds=28MPa s11 e11 s22 e22 Contrainte axiale (MPa) Caractère anisotrope du comportement élastique Densité de 6.3 g/cm3

Comportement plastique Éléments et critère d’analyse des résultats expérimentaux Limite élastique = contrainte seuil Contrainte seuil évoluant avec des variables d’états Communément au moins la masse volumique ou déformation volumique plastique Dispositifs expérimentaux

Caractérisation de la plasticité q Analyse du comportement mécanique de comprimés à verts jusqu’à rupture p Limite du comportement réversible exprimée par un état de contrainte (contrainte seuil)

Caractérisation de la plasticité 400 Iso-masses volumiques : points expérimentaux 350 Dispersion des mesures 300 250 déviateur Q (MPA) 200 7 g/cm3 150 100 6.6 g/cm3 5.2 g/cm3 50 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 pression moyenne P (MPa) Edith PAVIER laboratoire 3S (1998)

Caractérisation de la plasticité chemins complexes Anisotropie plastique induit par l’histoire de chargement ROTTMANN COUBE RIDEL 2001

Caractéristique du comportement élasto-plastique Comportement élastoplastiques e = eel + epl Partie élastique Non-linéaire Orthotrope de révolution Anisotropie évolutive Partie plastique Écrouissable Première hypothèse : isotrope Seconde hypothèse : anisotrope évolutif

Modélisation du comportement Élastique Plastique La poudre de fer : caractéristiques Modélisation Comportement élastique Comportement plastique Simulation numérique Résultats et comparaisons Étude de sensibilité Conclusion

Comportement élastique Déformation élastique < 3% Petites déformations non-linéarisées Caractéristiques Non-linéaire Orthotrope de révolution Anisotropie évolutive Expression mathématique Tensorielle Contrainte en fonction de la déformation

Description du modèle : tenseur de structure et potentiel élastique Le tenseur de structure prend en compte l’orientation de la structure interne du comprimé à vert (élasticité anisotrope induite par la compression en matrice) L T T’ Direction de compression Proposition pour le potentiel élastique non linéaire orthotrope transverse: Déformation équivalente à un essai de compression uniaxiale.

Comportement orthotrope de révolution Description du modèle Non-linéarité Comportement orthotrope de révolution (b0, b1, c1, a2, a3) Les paramètres (b0, b1, c1, a2, a3) qui caractérisent l’orthotropie de révolution peuvent être exprimés en fonction des modules d’Young, du module de cisaillement et des coefficients de Poisson : b0 b1 c1 a2 a3

Identification des paramètres sont des valeurs fixes essai de compression uniaxiale parallèle à la direction longitudinale (// ) est le module sécant prenant en compte la non-linéarité du comportement élastique -essai de compression uniaxiale parallèle à la direction transverse ( ) -essai de cisaillement dans un plan contenant les directions longitudinale et transversale

Calage du modèle avec les données expérimentales 5.8 g/cm3 Déformation axiale 6.3 g/cm3 Déformation axiale Données expérimentales Modèle 6.98 g/cm3 Déformation axiale Calage des paramètres de la loi établie sur les mesures expérimentales de compression uniaxiale. Pour 6.98 g/cm3, les courbes sont suffisamment proche l’une de lautre pour supposer que le comportement redevient isotrope.

Comportement plastique Modèles isotropes Cam Clay Drucker-Prager/Cap De l’isotropie à l’anisotropie Transformation de l’espace des contraintes pour transformer les modèles isotropes en modèles anisotropes. Les modèles isotropes issus de la mécanique des sols les plus couramment utilisés en métallurgie des poudres. Ils constituent une bonne approximation du comportement mécanique des poudres métalliques d’un point de vu phénoménologique. Or il semble que le comportement soit anisotrope pour les poudres ductiles. On propose ici une méthode de transformation des modèles isotropes en modèles anisotropes induits.

Modèle de Cam Clay p q M 1 c pc Roscoe, Shofield Worth 1958

Modèle de Drucker-Prager/Cap q p droite de rupture p a b d P b R (d+p a tan b ) Drucker, Gibson, Henkel 1957

Modèle plastique anisotrope : principe Dans le cadre de la théorie générale : f(s,ka)=0 Modèles isotropes : Modèles orthotropes de révolution : Direction privilégiée représentée par le tenseur M f(s,ka,M)=0

Transformation des contraintes f(s,ka,M)=0 Utilisation des formes classiques isotropes pour la construction de modèles anisotropes T = F(s) f(T,ka)=0 Micromécanique Phénoménologique

Transformation des contraintes : exemple F : IR6 -> IR6 s -> T = x-1 . s Anisotropie induite par les contacts interparticulaires n W E(n) : fonction de distribution des orientations des contacts Oda, Ohnishi 1992

Transformation des contraintes : application M2I1(T) (I1(T) – Î1) + 27 J2(T) = 0 I1(T) : premier invariant du tenseur T J2(T) : deuxième invariant de la partie déviatoire du tenseur T (M2–9/2) tr2(x-1.s) – Î1M2 tr(x-1.s) + 27/2 tr((x-1.s)2) = 0

Modélisation élasto-plastique Modèles courants Élasticité isotrope linéaire (éventuellement non-linéaire) Plasticité isotrope à écrouissage isotrope Propositions Élasticité non-linéaire anisotrope évolutif Plasticité anisotrope à écrouissage anisotrope Pour valider les propositions Lacunes des dispositifs expérimentaux pour la validation des anisotropies évolutives élastique et plastique Transition vers la simulation : ces lacunes ne remettent cependant pas en cause deux aspects : Un aspect méthodologique qui consiste à analyser les capacités de prédiction des modèles courants Un aspect en rapport avec des résultats expérimentaux antérieurs ob tenus sur presse instrumentées qu’il convient d’exploiter pour produire des modèles de simulation du procédé

Simulation numérique de la mise en forme par compression en matrice Simulation de pièces industrielles La poudre de fer : caractéristiques Modélisation Comportement élastique Comportement plastique Simulation numérique Résultats et comparaisons Étude de sensibilité Conclusion Afin de valider la démarche de simulation numérique, des simulations ont été réalisé sur des pièces réalisées dans des conditions industrielles.

Simulation numérique du procédé Cas industriels : presses instrumentées Enregistrement des cinématiques et des efforts Mesures des dimensions à vert et des masses volumiques Matériau : poudre de fer Condition de simulation numérique Méthode des éléments finis (explicite) Hypothèse : problème axisymétrique Hypothèse : masse volumique initiale homogène Frottement poudre-outils : constant Déplacement des outils imposé Comparaisons des résultats de simulation aux mesures in situ

Pièce en L Kargadallan, Puente, Dorémus, Pavier 1997

Pièce en L : mesures in situ Mesure de la masse volumique en 5 zones de la pièce à vert UP 3 2 1 4 LIP 5 LOP Mesure des efforts de compression au cours de la compression sur 3 outils

Pièce en L : cinématique B Masse volumique en fin de compression 6.85 (6.89) 6.90 (6.93) 7.01 (7.14) 6.92 6.98 (6.94) Mesure (simulation) Hauteur éjectée Concordance entre les valeurs mesurées après éjection et les moyennes simulées en fin de compression. Cela s’explique par le fait que les données expérimentales (notamment les mouvement des outils) ont subit des corrections.

Pièce en L : cinématique B Masse volumique suite à l’éjection 6.85 (6.73) 6.90 (6.79) 7.01 (6.89) 6.92 (6.83) 6.98 (6.85) Mesure (simulation) Non-concordance entre les mesures sur la pièces éjectées et les moyennes simulées suite à l’éjection, mais un écart presque constant. Explication : augmentation des dimension axiale (décharge) et radiale (éjection) pour une masse constante D’ou diminution de la masse volumique.

Pièce en L : cinématique B Les masses volumiques : Modèles b1 et b2 1 2 3 4 5 Mesures expérimentales Modèle b1 Modèle b2 b1 : fin de compression b2 : jusqu’à l’éjection

Pièce en L : cinématique B Les phases de décharge et d’éjection ont une forte influence sur le gradient de masse volumique La comparaison entre les mesures et les résultats de la simulation numérique doit être effectuée sur la pièce éjectée dans les deux cas Pour imposer les déplacements des outils, il est nécessaire de pouvoir lever l’inconnue des cinématiques, surtout en fin de compression

Pièce en L 4 combinaisons de simulation parmi : Modèle de comportement (CamClay/Drucker-Prager/Cap) Modèle de l’outillage (élastique/rigide) Progression dans le cycle de compression (compression seule/compression-décharge-éjection)

Pièce en L : cinématique B Modèle matériau Drucker-Prager/Cap  CamClay outil Rigide élastique cycle Compression seule Jusqu’à l’éjection

Pièce en L : cinématique B Les masses volumiques : Modèles b1, b3 et b4 Modèle b1 1 2 3 4 5 Mesures expérimentales Modèle b3 Modèle b4 b1 : Drucker-Prager/Cap, outils rigides b3 : CamClay, outils rigides b4 : Drucker-Prager/Cap, outils élastiques Le modèle b3 ne reproduit ni les masses volumiques ni le gradient. Le modèle b4 quant à lui est proche du gradient expérimental, mais les valeurs des masses volumiques sont diminuées par le fait que les outils élastiques permettent à la poudre d’occuper un volume plus important.

Pièce en L : cinématique B 1 2 3 4 5 UP LIP LOP Mesures expérimentales Modèle b1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 UP LOP LIP force (MN) Modèle b3 Modèle b4 Bien que présentant des masses volumiques supérieurs aux mesures, le modèle b3 semble moins écrouis par rapport aux mesures et par rapport au modèle b1. Pour le modèle b4, le faible niveau des efforts relevés est lié aux faibles densités enregistrées.

Pièce en L : cinématique B Le modèle de Drucker-Prager/Cap permet d’obtenir de meilleurs résultats sur les masses volumiques et les efforts que le modèle de Cam Clay. Les outils élastiques semblent améliorer le gradient de masse volumique (plus proche des mesures) L’élasticité des outils implique une augmentation du volume donc une diminution de la masse volumique et de la pression de consolidation. D’où des efforts plus faibles

Pièce en H Modèle de comportement : -Drucker-Prager/Cap 3 Calages du comportement de Drucker-Prager/Cap avec des données relativement différentes Mesures des masses volumiques en 7 zones 5 1 2 4 6 3 7 Mesure d’un effort de compression

Pièce en H modèle de Drucker-Prager/Cap Outils rigides Expérience 3S Leicester AEA 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 1 2 3 4 5 6 zone masse volumique (g/cm3) 1 2 3 4 5 6 7

Pièce en H modèle de Drucker-Prager/Cap Outils rigides 3S Leicester AEA -1.00 Expérience -0.80 -0.60 Effort (MN) 1 2 3 4 5 6 7 -0.40 -0.20 0.00

Pièce en H Pièce de géométrie complexe Nombreux outils (6 poinçons) Cinématiques des outils complexes Écarts sur les masses volumiques : [-5%;4%] Écart sur l’efforts : 14%

Simulation numérique de validation Synthèse des pièces L et H : écarts maximaux Masses volumiques : 9% en fin de compression Comparaison après simulation de l’éjection Prise en compte des véritables déplacements d’outils Efforts de compression : 30% Prise en compte de l’élasticité pour la détermination de l’écrouissage Précisions raisonnables mais insuffisantes pour une application industrielle

Du modèle de Drucker-Prager/Cap dans des conditions industrielles. Étude de sensibilité Sensibilité aux calages des paramètres Du modèle de Drucker-Prager/Cap dans des conditions industrielles. La poudre de fer : caractéristiques Modélisation Comportement élastique Comportement plastique Simulation numérique Résultats et comparaisons Étude de sensibilité Conclusion

Pourquoi une étude de sensibilité ? Erreurs de mesures expérimentales Capteurs Erreurs de calage Hypothèses Méthodes de calages Influence sur les résultats de simulation ? Masses volumiques Efforts sur les poinçons

Étude de sensibilité Cas de référence : Pièce en L cinématique E Les variations prises en compte Les paramètres de la loi de comportement E, n, d, b, R, pb Résultats Influence sur les répartitions de masses volumiques Influence sur les efforts en fin de compression

Étude de sensibilité : les variations vol pl Variation initiale Variation finale I std DI1 DI2 DI : expérimentale I std I std DI r = Variations relatives des paramètres de la loi de comportement

Étude de sensibilité : les variations de Pb vol pl Pb (MPa) Pb (MPa) 100000 10000 Pb std 10000 1000 1000 100 100 Dpb1 Dpb2 Dpb : expérimentale 10 10 Pb std 1 e vol pl 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.1 DPb Pb r = std Pb

Sensibilité d’un effort par rapport aux variations de pb UP p q FUP std Pb std pb

Étude de sensibilité : les variations std DI r = O std DO r = Masse volumique en chaque zone de mesure Effort sur chaque poinçon E, n, d, b, R et pb Variations initiales et finales std Or Ir O r I = S

Étude de sensibilité : résultats 0.0% 0.2% 0.4% 0.6% 0.8% 1.0% S Répartition de masses volumiques Sensibilité par rapport aux paramètres élastiques 0% 10% 20% 30% 40% S Efforts sur les poinçons E ini n E fin E ini E fin n

Étude de sensibilité : résultats Répartition de masses volumiques Sensibilité par rapport aux paramètres plastiques 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% S Efforts sur les poinçons d b R p initiale d b R p finale 0% 30% 60% 90% 120% 150% 180% S d b R p initiale d b R p finale b pb R

Étude de sensibilité : application zone 1 2 3 4 5 Intervalle de confiance des résultats de simulations compte tenu des erreurs de mesures 10% d’erreur sur les paramètres plastiques Poinçon supérieur Poinçon inférieur intérieur Poinçon inférieur extérieur On estime à 10% l’erreur lors de la détermination des paramètres plastiques et à 40% pour les paramètres élastiques. 40% d’erreur sur les paramètres élastiques

Étude de sensibilité Sensibilité des répartitions de masses volumiques plus faible que la sensibilité des efforts précision pour la mesure des efforts Forte sensibilité des efforts par rapport à pb et E précision pour la détermination de pb (densification) et de l’élasticité. Forte sensibilité par rapport à b en début de compression essais à faible masse volumique (sans cohésion)

Conclusion Modélisation de la poudre de fer Simulation numérique Proposition d’un modèle élastique non-linéaire d’anisotropie induite Proposition d’extension de la plasticité vers l’anisotropie évolutive Simulation numérique Reproduction des gradients de masses volumiques Comparaison entre simulation et mesures pour une pièce éjectée Reproduction des masses volumiques et des efforts de compression Avoir les vraies cinématiques des outils Prise en compte de l’élasticité pour la détermination de l’écrouissage

Conclusion Étude de sensibilité Nécessité d’une amélioration de la précision dans la mesure et le calage de la pression de consolidation et de l’élasticité

Perspectives Simulation du procédé en tenant compte des véritables cinématiques Qualification des propositions de modèles plastiques au niveau expérimental Détermination des gradients de masses volumiques suite au remplissage Élaboration de critères d’apparition de fissures au cours de la compression-décharge-éjection

Merci de votre attention.

La poudre de fer : caractérisation de l’élasticité Méthode 1 : mesure par ultrason pendant la compression en matrice Phase de compression de l ’échantillon Évolution du module d ’élasticité avec la contrainte de compression Cycle décharge recharge Pour une densité de 7.2g/cm3, le module E est multiplié par un facteur de 1.8 lorsque P varie de 0 à 600 MPa Direction de la mesure du module d’élasticité t Mesures par ultrason pendant la compression en matrice Ref : A. LeR. Dawson  ’ultrasonic evaluation of iron powder during compaction ’

La poudre de fer : caractérisation de l’élasticité Méthode de caractérisation choisie pour l’étude Compression uniaxiale cyclique Caractérisation Compression en matrice Fabrication Élasticité non-linéaire

La poudre de fer : caractérisation de l’élasticité Compression en matrice Compression uniaxiale monotone Caractérisation Compression isotrope Anisotropie élasto-plastique induite

Identification des paramètres Les paramètres (b0, b1, c1, a2, a3) qui caractérisent l’orthotropie de révolution peuvent être exprimé en fonction des modules d’Young, du module de cisaillement et des coefficients de Poisson : L T T’ b0 b1 c1 a2 a3 1) 2) 5) avec 3) 4)

Modèle plastique anisotrope 1

Pièce en L : cinématique E Les masses volumiques 1 2 3 4 5 Résultat de la simulation -3.5% -3.0% -2.5% -2.0% -1.5% -1.0% -0.5% 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 1 2 3 4 5 écart relatif Mesure expérimentale 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7 7.1 7.2 7.3 7.4 1 2 3 4 5 zones masses volumiques (g/cm3)

Pièce en L : cinématique E Les efforts 1 2 3 4 5 UP LIP LOP Mesure expérimentale Résultat de la simulation -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 UP LOP LIP écart relatif 0.5 1 1.5 2 2.5 3 UP LOP LIP force (MN)

Pièce en H modèle de CamClay Outils élastique -6.00% -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% 2.00% 3.00% 4.00% 1 2 3 4 5 6 7 Expérience CamCaly Drucker-Prager/Cap 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 1 2 3 4 5 6 zone masse volumique 1 2 3 4 5 6 7

Pièce en H modèle de CamClay Outils élastique CamClay Expérience Drucker-Prager/Cap -1.00E+06 -8.00E+05 -6.00E+05 1 2 3 4 5 6 7 -4.00E+05 -2.00E+05 0.00E+00

Modèle plastique anisotrope

Pièce en L : cinématique B Les masses volumiques : Modèles b4 et b5 1 2 3 4 5 b4 : compression seul b5 : jusqu’à l’éjection Mesures expérimentales -0.5% 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 1 2 3 4 5 écart relatif Modèle b4 Modèle b5 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7 7.1 1 2 3 4 5 zone masse volumique (g/cm3) b5 b4

La poudre de fer : caractéristiques Milieu pulvérulent = assemblage de grains Milieu discontinu à l’échelle des grains Dispositifs expérimentaux spécifiques indisponible actuellement Du point de vue de la pièce Mécanique des milieux continus compressibles Approche phénoménologique élasto-plastique Expériences de caractérisation Comportement réversible : élastique Comportement irréversible : plastique

Le procédé de compression en matrice Intérêt de ce procédé Cadence de production Minimum de perte de matière Production sans reprise d’usinage Précision des cotes du produit Répartition des masses volumiques Rebond à l’éjection Simulation Pour optimiser les cinématiques de compression

Les contacts au cours de la compression W

Pièce en L : cinématique B Phase de compression Densification

Modèle de Drucker-Prager/Cap Non-associé non-écrouissable (évolutif) q p Associé écrouissable