Étude de l’écoulement moyen L’utilisation des équations de Navier-Stokes pour l’étude des écoulements turbulents est parfaitement justifiée, cependant la résolution de ces équations pour le cas d’un écoulement turbulent est inaccessible. Toutes les approches pratiques de calcul font appel à la notion de grandeur moyenne et on s’intéresse au comportement de ces moyennes.

Traitement de l ’écoulement turbulent 1. Approche semi-empirique. 2. Approche statistique. 3. Similitude. 4. Approche phénoménologique. Approche statistique : Les paramètres caractéristiques de l’écoulement ont un caractère aléatoire, c’est-à-dire, peut connaître à priori une loi de distribution de probabilité. Étude des phénomènes turbulentes en utilisant la théorie de similitude Approche phénoménologique : étude particulier de certaines structures cohérentes qui peuvent être décelées dans l’écoulement. Ex : thermiques.

Traitement de l’écoulement moyen Approche statistique Hypothèse ergodique; hypothèse de Taylor Décomposition et postulats de Reynolds Définition de certaines quantités statistiques Énergie cinétique turbulente Flux turbulents

Caractéristiques de la turbulence 1. Caractère aléatoire de sa distribution spatiale et temporelle. 2. Augmentation de la diffusivité des propriétés du fluide due à un mélange plus efficace. 3. La grande valeur pour le tourbillon dont la distribution prend également un caractère aléatoire. 4. Grande dissipation d ’énergie.

5. Importance primordiale des termes non-linéaires

Caractéristiques de l ’écoulement turbulent Les variables qui caractérisent le mouvement turbulent sont aléatoires. (???) Les équations d ’évolution de ces variables sont non linéaires (???).

Traitement statistique Une variable aléatoire est un paramètre pour lequel on connaît à priori une certaine loi de probabilité. Exemple: la vitesse longitudinale du vent mesurée dans une soufflerie. Comment obtenir un échantillon ? 1) Plusieurs enregistrements dans les mêmes conditions expérimentales; 2) Série de mesures temporelle; 3) Plusieurs mesures simultanées dans domaine spatiale donnée. La fonction de distribution des paramètres aléatoires peut être calculé en ayant un grande nombre d’échantillons. Loi des grands nombre. Pour obtenir ces échantillons il faut réaliser l’expérience un grand nombre N de fois dans les mêmes conditions. Or les phénomènes atmosphériques sont pratiquement impossibles à reproduire. Cependant, si la turbulence est statistiquement homogène, des mesures simultanées a des points différents du domaine nous donne un grand nombre d’échantillons dans les mêmes conditions. Si l’écoulement est permanent, les mesures temporelles à un point de mesure donnée constituent une série d’échantillons permettant l’obtention de la fonction de distribution.

Spectre de turbulence dans la CLA

Mesures dans la couche limite

Spectre de la turbulence 1 3 2 L ’analyse harmonique d ’un enregistrement de vitesse w(t) suggère que la turbulence résulte de la superposition de mouvements oscillatoires plus ou moins irréguliers, d ’amplitude, de phase et de longueur d ’onde différentes, en autres termes, de tourbillons de longueur de tailles différentes (Taylor). On est donc amener à considérer une limite inférieure et une limite supérieure de la taille des tourbillons ou de sa longueur d ’onde. C ’est ainsi que par exemple, dans l ’atmosphère, la turbulence couvre toute un intervalle de longueurs d ’onde qui s ’étend du domaine visqueux jusqu ’au tourbillon planétaire dont la dimension est de l ’ordre de 107 m. À chaque taille de tourbillon il est associé une certaine énergie cinétique. Nous pouvons construire un spectre de turbulence en fonction de la longueur d ’onde en analysant la contribution de chaque longueur d ’onde à l ’énergie cinétique turbulente totale. La crête 1, de période 100 h correspond à l ’énergie associée aux systèmes synoptiques. La crête suivante (2), à 24 h, monte l ’énergie cinétique due aux variations diurnes. La crête suivante (3) correspond aux maximum d ’énergie associé à la turbulence de la couche limite. L ’existence d ’un intervalle de fréquences où l’énergie cinétique est pratiquement nulle sépare nettement deux régimes distincts, à droite le régime turbulent, à gauche le régime moyen. La plupart des analyses de turbulence supposent que cette séparation existe. Les phénomènes à meso échelle, comme la formation des nuages convectif, orages, etc. sont difficiles à décrire.

Décomposition de Reynolds Les observations macroscopiques d ’une quantité ne permet de définir les variations à petite échelle, il a lieu de découpler les variations à petite échelle en utilisant la décomposition de Reynolds : les variables instantanées sont séparées en partie moyenne et une partie fluctuante. Valeur instantané = valeur moyen + fluctuation

Choix du type de moyenne ? But : résoudre les équations de mouvement Le type de moyenne choisi doit permettre l ’obtention d ’équations du mouvement moyen déterminées.

Propriétés des moyennes choisies 1) Les moyennes doivent être différentiables au moins jusqu ’à l ’ordre requise par les équations de mouvement. 2) Les moyennes doivent satisfaire les postulats de Reynolds.

Postulats de Reynolds 1) La moyenne des fluctuations est nulle 2) La corrélation entre les fluctuations et la quantité moyennée doit être nulle. 3) la moyenne appliquée à une moyenne doit reproduire la même moyenne. La moyenne n ’est pas aléatoire.

Conséquences des postulats de Reynolds 4) Si la moyenne n ’est pas aléatoire, alors 5) La moyenne d ’une somme est égale à la somme des moyennes 6) La moyenne de la dérivée est égale à la dérivée de la moyenne

Conséquences des postulats de Reynolds

Théorème de Leibniz

Conséquences de la décomposition et des postulats de Reynolds Il est intéressant de noter que même si la moyenne est nulle, le produit des fluctuations associé à deux quantités est une mesure de la corrélation existant entre ces deux variables. Par exemple si l ’atmosphère possède une stratification instable, on s ’attend à ce que tout élément de fluide ayant un excès de température T ’ > o s ’élèvera alors q ’un autre pour lequel T ’< 0 se mettra à descendre. On peut donc s ’attendre à ce que en moyenne la corrélation entre la vitesse vertical et la température soit positive. Tableau

Moyenne d ’ensemble La moyenne qui satisfait les postulats de Reynolds est la moyenne d ’ensemble Statistiquement parlant, la valeur moyenne d ’une quantité peut être définie comme suit. Considerons une expérience consistant à mesurer une quantité dépendant de t et x et repetons cette expérience un grand nombre de fois. À chacune d ’elles correspond une distribution fii(x,t) appelée une réalisation. L ’ensemble de ces réalisations est défini par S, constitué de N réalisations. La moyenne d ’ensemble est alors définie par Si N est suffisamment grand, cette technique permet de filtrer les variations aléatoires de f. L ’intérêt de cette définition provient de ce qu ’elle satisfait un certain nombre de propriétés mathématiques appelées propriétés de Reynolds.

Quel moyenne ? La moyenne d ’ensemble c ’est la moyenne idéale… … mais, est-elle réalisable? Hypothèse ergodique Si un processus est ergodique, les espérances mathématiques estimées a l ’aide de moyennes temporelles sont les mêmes que celles estimées à l ’aide de moyennes dans l ’espace. Les signaux aléatoires sont dits stationnaires lorsque leur valeur moyenne est indépendante du temps, c ’est-à-dire que le résultat de leur analyse statistique reste les mêmes quelque soit le moment où on commence l ’observation d ’une partie déterminée du signal. De plus ces signaux aléatoires stationnaires sont ergodiques s’il est identique de faire une moyenne statistique à un instant donnée sur différents essais ou de faire une moyenne temporelle suffisamment longue sur un seul de ces essais.

Condition d ’ergocité Si la turbulence est homogène et stationnaire (statistiquement ne change pas ni dans le temps ni dans l ’espace), les moyennes spatiales, temporelles et d ’ensemble seraient égales.

Hypothèse de Taylor Turbulence dans un champ L’hypothèse de Taylor repose sur l’idée d’un champ de turbulence figé. On peut alors considérer qu’il y équivalence entre un enregistrement temporel de fluctuation et un enregistrement spatial instantané. Cette hypothèse est bien vérifiée quand le taux de turbulence est faible. Dans ce cas, on peut dire que le champ turbulent est transporté à la vitesse moyenne de l’écoulement au moins sur un intervalle de temps assez court. Turbulence dans un champ de vitesse moyenne M élevée

Moyennes selon Stull Moyenne temporelle : Moyenne spatiale : A) Moyenne temporelle Par exemple, si on veut définir la température moyenne du mois de janvier, on prend comme valeur de la période T un mois et la température moyenne et obtenue par une intégration numérique des observations faites au jour le jour. Cette technique est particulièrement utilisée dans des études diagnostiques visant à obtenir des informations sur la climatologie du mois de janvier. La période de temps sur laquelle on effectue cette intégration agit comme un filtre que enlève les phénomènes se produisant très rapidement. En moyennant sur un mois on filtre les phénomènes synoptiques se produisant sur une période de quelques jours. Par contre un blocage atmosphérique persistant est susceptible d ’influencer de façon appréciable la valeur moyenne. Si on choisi T=1 jour, la moyenne temporelle filtrera les variations diurnes. Pour T = 1 an on filtre les variations dues au saisons, etc. B) moyenne spatiale Dans ce cas on utilise la distribution spatiale des données. Une moyenne souvent utilisée dans les études de la circulation générale, consiste à effectuer une moyenne sur un cercle de latitude. Ceci permet de voir la variation d ’une grandeur en fonction de la latitude seulement. On peut aussi faire de moyennes mixtes (espace et temps). C) Moyenne d ’ensemble Les moyenne introduites éliminent complètement la dépendance de la grandeur envers la variable selon laquelle on intègre. Une solution consiste à définir la valeur moyenne par ça permet de filtrer les variations rapides de la variable tout en gardant une valeur moyenne à chaque instant. Par contre cette moyenne n ’est pas sans inconvénient. Moyenne d ’ensemble :

Définition générale de moyenne A) Moyenne temporelle Par exemple, si on veut définir la température moyenne du mois de janvier, on prend comme valeur de la période T un mois et la température moyenne et obtenue par une intégration numérique des observations faites au jour le jour. Cette technique est particulièrement utilisée dans des études diagnostiques visant à obtenir des informations sur la climatologie du mois de janvier. La période de temps sur laquelle on effectue cette intégration agit comme un filtre que enlève les phénomènes se produisant très rapidement. En moyennant sur un mois on filtre les phénomènes synoptiques se produisant sur une période de quelques jours. Par contre un blocage atmosphérique persistant est susceptible d ’influencer de façon appréciable la valeur moyenne. Si on choisi T=1 jour, la moyenne temporelle filtrera les variations diurnes. Pour T = 1 an on filtre les variations dues au saisons, etc. B) moyenne spatiale Dans ce cas on utilise la distribution spatiale des données. Une moyenne souvent utilisée dans les études de la circulation générale, consiste à effectuer une moyenne sur un cercle de latitude. Ceci permet de voir la variation d ’une grandeur en fonction de la latitude seulement. On peut aussi faire de moyennes mixtes (espace et temps). C) Moyenne d ’ensemble Les moyenne introduites éliminent complètement la dépendance de la grandeur envers la variable selon laquelle on intègre. Une solution consiste à définir la valeur moyenne par ça permet de filtrer les variations rapides de la variable tout en gardant une valeur moyenne à chaque instant. Par contre cette moyenne n ’est pas sans inconvénient.

Autres variables statistiques Variance biaisée Variance non biaisée Écart type

Autres variables statistiques Covariance entre A et B Corrélation Auto corrélation spatiale (s) Auto corrélation temporelle (t)

Décomposition de Reynolds Les caractéristiques de la moyenne et des fluctuations d ’une variable dépendent de l ’échelle que nous intéresse

Choix des échelles de temps et d ’espace Auto corrélation spatiale (s) Auto corrélation temporelle (t)

Choix des échelles de temps et d ’espace r

Hypothèse de Taylor

Interprétation physique de la variance

Interprétation physique de la covariance

Énergie cinétique Énergie cinétique instantanée Énergie cinétique de l ’écoulement moyen (MKE) Énergie cinétique turbulente moyenne (TKE) tableau

variance du champ de vitesse versus turbulence = mesure de l ’intensité de la turbulence

Étude statistique de la turbulence Analogie entre le mouvement brownien des molécules et le mouvement désordonné des tourbillons. Discussion