Nom: GAUTIER prénom : Christian laboratoire: Biométrie et Biologie évolutive Thème de recherche: Bioinformatique évolution des génomes

Analyse

Pourquoi faire des mathématiques en biologie? pour aider à la représentation de systèmes complexes pour aider à comprendre l’évolution de systèmes complexes pour aider à mémoriser et manipuler des systèmes complexes Les mathématiques sont pour nous un outil au service de la biologie

Pourquoi faire de l’Analyse? Il est souvent facile de caractériser localement un système: ce qui se passe pendant un temps très court l’organisation sur une très petite surface L’Analyse permet de passer de structures locales à des formes ou des comportements globaux

Un exemple très simple En phase de croissance les bactéries se divisent régulièrement au cours du temps. Ainsi pendant un intervalle de temps une proportion des bactéries va se diviser... MAIS pendant cet intervalle de temps le nombre de bactéries change !!! On ne peut donc pas dire que la proportion de bactéries qui se divisent est proportionnelle à la longueur de l’intervalle de temps Si le nombre de bactéries pouvant se diviser était constant au cours du temps il existerait un nombre r tel que le nombre de nouvelles bactéries apparues entre les temps t 1 et t 2 serait rx(t 1 -t 2 ) Pour un temps  t très court la condition précédante peut être supposée remplie et on a :  x=rx  t L’Analyse nous permettra à partir de cette propriété locale de connaitre la croissance de ces bactéries

L’Analyse repose sur la notion de nombres Savez vous ce qu’est un nombre? Ne cherchez pas la réponse est : NON

Les entiers: la propriété centrale est que chaque entier possède un suivant ils sont une infinité... dénombrable

Les entiers sont pleins de trous! Je mesure entre 1m et 2m : je ne suis pas le seul ici! Je mesure Voici les nombres rationnels Si on les trie par ordre croissant on ne peut plus donner le suivant d’un rationnel MAIS l’ensemble est encore dénombrable!!!

Pour tout rationnel x il existe un rationnel y aussi proche de x que l’on veut C’est évident! Il suffit de considérer les nombres décimaux Un exemple de nombres rationnels : les nombres décimaux Tous les rationnels peuvent-ils s’écrire comme un nombre décimal? NON! 1/3 n’est pas un nombre décimal

Mais les rationnels sont encore plein de trous!!! C’était déjà connu des Grecs : quelle est le côté de l’hypothénuse d’un triangle rectangle isocèle? Comment démontrer que 2 n’est pas un rationnel?

2 = p q 2 = p2p2 q2q2 Remarque: 2 n’est divisible que par 2 et 1, si le carré d’un nombre entier est divisible par 2 il doit donc être divisible par 4 Pour que p2p2 q2q2 Soit égal à 2 il faut que p 2 soit divisible par 2 donc par 4, donc q 2 est divisible par 2 donc par 4, mais alors p et q étant divisible par 2 n’est pas sous forme irréductible..... p q Sous forme irréductible

L’ensemble des rationnels est plein de trous (suite) La suite de nombre rationnels: Converge vers une limite qui n’existe pas dans les rationnels: il y a encore des trous Comment les boucher? En définissant l’ensemble de toutes les limites !!!! Ça c’est une solution radicale.... Et l’ensemble des REELS vient de naître

Un autre exemple de nombre réel non rationnel le nombre  Si D est le diamètre d’un cercle, vous savez que son périmètre vaut D  Savez vous démontrer qu’un tel nombre existe? c’est à dire que le périmètre d’un cercle est propostionnel à son diamètre. L1L1 L2L2 D2D2 D1D1

Les nombres réels jouent un rôle théorique très important en mathématique mais en pratique on ne manipule que des “décimaux” c’est à dire en fait des entiers à une puissance de 10 près

Les limites

f(x) tend vers y 0 quand x tend vers x 0 x0x0 y0y0 1) Je choisis un intervalle autour de y 0 2) Je trouve un intervalle autour de x 0 (sans x 0 ) tel que son image soit incluse dans l’intervalle 1 Si l’étape 2 est possible quel que soit le choix en 1 alors f(x) tend vers y 0 quand x tend vers x 0

Un exemple simple f(x)=x 2 quand x tend vers 0 Intervalle autour de y 0 =0: ]-s, +s[ s>0 Je choisis s comme je veux Si je considère l’intervalle autour de x 0 =0 : ]-s 1/2, s 1/2 [ son image est dans l’intervalle choisi pour y 0 C’est gagné! x 2 tend vers 0 quand x tend vers 0

qu’est ce qu’une fonction? 1)On définit un sous ensemble de R : ce sera le domaine de définition de la fonction D f 2)f est une application de D f dans R 3)L’ensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de f 4)L’ensemble des points du plan de coordonnées (x,f(x)) est la courbe représentative de f

Comment décrire localement une fonction 1)Quelle est la valeur de f en x 0 ? 2)f est-elle continue en x 0 3)Peut-on approcher f par une fonction linéaire au voisinage de x 0 Pour décrire le comportement de f au voisinage de x 0 on se pose les questions suivantes

f est elle continue en x 0 F tend vers f(x 0 ) quand x tend vers x 0 Une fonction continue nulle part: f(x) = 1 si x est un rationnel, 0 sinon Bof, c’est bien un truc de matheux çà!

Approximation linéaire de f On cherche à écrire f(x) = a(x-x 0 ) + b + e(x) de manière à ce que e(x) soit aussi petit que possible quand x tend vers x 0 Si f n’est pas continue en x 0 celà n’apparaît pas possible Une condition évidente est de choisir b = f(x 0 ) f(x)-f(x 0 ) = ax +e(x) f(x)-f(x 0 ) x-x 0 = a + e(x) x-x 0 f(x)-f(x 0 ) x-x 0 a e(x) x-x 0 0

x0x0 f(x 0 ) x f(x) (x-x 0 ) (f(x)-f(x 0 ))

x0x0 f(x 0 ) x f(x) (x-x 0 ) (f(x)-f(x 0 ))

x0x0 f(x 0 ) x f(x) (x-x 0 ) (f(x)-f(x 0 ))

x0x0 f(x 0 ) x f(x) (x-x 0 ) (f(x)-f(x 0 ))

x0x0 f(x 0 ) x f(x) (x-x 0 ) (f(x)-f(x 0 ))

x0x0 f(x 0 ) approximation linéaire: y=f’(x 0 )(x-x 0 )+f(x 0 )

A quoi sert la dérivée d’une fonction ? à fournir une approximation de la fonction: f(x) = f’(x 0 )x + (f(x 0 ) - f’(x 0 )x 0 ) + e(x) avec e(x)/(x-x 0 ) 0 quand x x0x0 exemple d’utilisation: sin(x)’=cos(x) sin(x)=cos(0)x+e(x)=x+e(x) avec e(x)/x 0 quand x 0 Quelle est la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 ? sin(x)/x=(x+e(x))/x=1 + e(x)/x 1

A quoi sert la dérivée d’une fonction ? à fournir une approximation de la fonction: f(x) = f’(x 0 )x + (f(x 0 ) - f’(x 0 )x 0 ) + e(x) avec e(x)/(x-x 0 ) 0 quand x x0x0 À étudier le sens de variation de f au voisinage de x 0 Exemple: comment varie la fonction : x 3 -27x y’ = 3 x x-inf-3+3+inf y’+-+ y-inf54-54+inf

Notion de monotonie Une fonction continue et monotone admet une fonction réciproque

A quoi sert la dérivée d’une fonction ? à fournir une approximation de la fonction: f(x) = f’(x 0 )x + (f(x 0 ) - f’(x 0 )x 0 ) + e(x) avec e(x)/(x-x 0 ) 0 quand x x0x0 À étudier le sens de variation de f au voisinage de x 0 À étudier la convexité de la courbe représentative La convexité est donnée par le sens de variation de la dérivée et donc par le signe de la dérivée seconde. Un changement de convexité s’appelle un point d’inflexion, il correspond à un zéro de la dérivée seconde. Exemple: (3x 2 -27)’=6x s’annule (et change de signe) pour x=0

Calcul des dérivées 1)Savoir par coeur 2)Combinaisons linéaires 3)Produit 4)Quotient 5)Composition

Plan d’étude d’une fonction 1)Domaine de définition 2)Symétrie, périodicités 3)Sens de variation 4)Branches infinies 5)Éventuellement étude de la convexité et des points d’inflexion

Intégrales L’objectif est de calculer l’aire de surfaces définies par des courbes On se contentera ici des surfaces comprises entre l’axes des x et la courbe représentative d’une fonction continue.

Intégrales L’idée est très simple: on approche la surface hachurée par la réunion de rectangles, comme on sait calculer l’aire d’un rectangle on obtient une approximation de l’aire cherchée.

Intégrales Plus la base des rectangle est étroite meilleure est l’approximation

Intégrales Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a=nh a b

Intégrales a b Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x: A(b)-A(b-h) est voisine de hf(b). f(b) h

Intégrales a b Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x: A(b)-A(b-h) est voisine de hf(b). Lorsque h tend vers 0 on a : A(b)-A(b-h) h f(b) Miracle mathématique: A’(b)=f(b)

Concentration du médicament dans le sang (mg/l) en fonction du temps : f(t) t max : le point où la dérivée s’annule (s’il existe)

Dérivées et primitives célèbres

Intégration d’une somme Intégration par parties Changement de variable

Les aires sont des valeurs signées

Calculs spécifiques aux intégralles Relation de Chasles La formule de base:

Changement de variable dans les intégralles On peut soit 1) déterminer la primitive et appliquer la méthode générale; soit 2) appliquer les changements de variables également aux bornes d’intégration 1) 2)

Équations différentielles Définition formelle : Toutes équations du type F(y’,y,x)=0 où y est une fonction de x Résoudre ou intégrer une équation différentielle consiste à recherche l’ensemble des fonctions qui vérifient l’équation Exemple très simple: y’-x=0 y’=x y=1/2 x 2 +C x=-100:100/10 f=function(x,c){return(0.5*x^2 +c)} plot(x,f(x,0),type="l") lines(x,f(x,1),type="l")

Équations différentielles Quel intérêt en biologie? représente une vitesse  de croissance d’une population: y’=rx r>0  de diffusion y1y1 y2y2 k1k1 k2k2

Équations différentielles Quel intérêt en biologie?  d’élimination y1y1 entrée constante keke sortie proportionnelle à la concentration ksks  croissance pondérale d’un organisme

Intégration des équations différentielles séparées ou séparables?

Intégration des équations différentielles t=-100:100/10 f=function(t,k,l){return(l*exp(k*t))} plot(t,f(t,0.5,1),type="l",ylim=c(-100,+100)) abline(h=0) abline(v=0) lines(t,f(t,0.5,-1),type="l“,col=“blue”)