Dynamique intégrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire 　Propriétés Intégrales des Modèles Cosmologiques non-homogènes Thomas Buchert LMU Munich Dynamique intégrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire

Dynamique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques Première Partie : Dynamique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques

Le Triangle Cosmique Le Modèle Standard Les Paramètres Cosmologiques Bahcall et al. (1999)

Le Modèle Concordance 0,3 0,7 Bahcall et al. (1999)

Le Modèle « Effectif » A=4 R2 Alune ¼ 40 Asphère Pourquoi nous considerons une distribution lissée ? Exemple d’une Propriété Intégrale: La surface totale d’une sphère représentant le volume total du modèle standard avec k > 0 et la surface totale de la lune … A=4 R2 Alune ¼ 40 Asphère “Surface roughening”

“Surface roughening”

VE VR <  > = 0 Aparté : Lisser la Géométrie des Espaces k = 0 Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Riemannien VE  > 0  < 0  > 0 VR

Le problème avec l’orange :

Comparaison des Volumes ,g t = const. E3

M M Préserver la Masse M B0 ,g _ B La densité lissée riemannienne : La densité lissée euclidienne : M La fraction des volumes : _ B

 = 1.64 Un Modèle Simple e s p a c e e u c l i d i e n Une vraie boule e s p a c e e u c l i d i e n VEuclid = 2/6 VRiemann

Maintenant : Modèles Newtoniens Fin de l’Aparté ! Maintenant : Modèles Newtoniens

homogène et non-homogène Différence entre Modèles homogène et non-homogène Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Euclidien Non-commutativité

La Construction d’un Modèle Générique 1/3 1/3 a(t) = V aD(t)=V t Espace - Temps de Newton Le Modèle Standard Le Modèle «Effectif»

L’évolution lagrangienne M xi = fi (qj,t) i,j=1,2,3 t x2 M x1

L’évolution lagrangienne M t x2 M x1

La déformation lagrangienne v1 = f1 (q1 ,t) f1 (q1 ,t) q1 x1 x1

xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q L’évolution du volume xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q <A>: = 1/V sD A d3 x

Lisser une distribution A xi = fi (q1,t) d3x = J(qi ,t) d3q

Non-Commutativité

Entropie d’information relative Kullback-Leibler : S > 0 d/dt S > 0 : L’information dans l’Univers augmente ! en compétition avec l’expansion

Quelle est la dynamique du domaine ? Etude du taux d’expansion Maintenant : Etude du taux d’expansion

L’équation de Euler : d/dt vi = gi ) d/dt vi,j = vi,kvk,j + gi,j Vi,j = 1/3  ij + ij + ij i = j L’équation de Newton : gi,i =  – 4 G  ) L’équation de Raychaudhuri Lisser sur un domaine spatial : Lisser le taux d’expansion : Le règle de non-commutativé : L’équation de Raychaudhuri :

Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : Les équations généralisées de Friedmann 　　　　 Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :

Le Quatuor Cosmique Le paramètre de Hubble effectif : Les paramètres cosmologiques effectifs : avec : Modèle analytique de vitesses

Est-ce qu’il y a des autres possibilités 2. Conditions frontières d’avoir Q = 0 ? Régions sphériques 2. Conditions frontières

Les Boules en Fer de Newton QR = 0 a R « Top-Hat »

des Modèles Newtoniens Propriétés Globales des Modèles Newtoniens Les conditions de frontière sont périodiques

Le modèle effectif Newtonien sur l’échelle globale est le même que le modèle standard ! Mais: les observations sont faites sur des échelles régionales ) on peut calculer les effets au niveau régional avec les outils standards !

E u c l i d e e n Simulations des structures aux grands échelles MPA Garching

1024 cube Modèle lagrangien 2nd ordre  C D M

lagrangien perturbatif avec un spectre coupé TZA  C D M Le modèle numerique Le modèle lagrangien perturbatif avec un spectre coupé analytique TZA  C D M

Modèle analytique pour les fluctuations intégrales Les Invariants de i|k := (  i /  qk ) : I := trace ( i|k ) II := ½ [ trace ( i|k )2 - i|jj|i ] III := det ( i|k ) 1. L’approximation de Zel’dovich : xi = f Zi (q,t) = a (t) qi + b (t) i (q) v Zi = d/dt f Zi ) QZ = QZ ( v Zi , v Zi,j ) 2. Evolution perturbative du volume : JZ = det (f Zi|k) = a3 [ 1 + b I + b2 II + b3 III ] aD3 (t) = a3 [ 1 + b < I >i + b2 < II >i + b3 < III >i ]

3. Evolution non-perturbative du volume : Les relations dans le cas sphérique : < II > = 1/3 < I > 2 < III > = 1/27 < I > 3 ) QZ= 0 3. Evolution non-perturbative du volume :

Résultat : échelle 100 Mpc/h

Variance Cosmique 300 Mpc/h 600 Mpc/h

« Backreaction » peut se comporter Conclusions : Les effets Newtoniens sont régionaux « Backreaction » peut se comporter qualitativement comme ``  (t) ‘’ Il ne peut pas remplacer quantitativement « l’énergie noire » Mais les autres paramètres cosmologiques sont influencés indirectement et peuvent changer beaucoup !

Le Contexte Relativiste 1/3 aD= VR d2 s = - dt2 + gij dXi dXj t t Espace - Temps de Einstein gij

Les équations généralisées de Friedmann 　　　　 Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : La condition d’intégrabilité : Le cas homogène :

Lisser la géometrie ,g t = const. E3

Conclusions : Les équations relativistes intégrales sont les mêmes que les équations Newtoniennes ! Globalement on n’a pas Q = 0 Q est relié à <R> ( La courbure globale change avec la formation des structures ! ) Les autres paramètres cosmologiques peuvent changer beaucoup, alors: l’effet de la courbure peut être important ( « l’énergie noire » )

Statistique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques Seconde Partie : Statistique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques

Les Fonctionelles de Minkowski Propriétés intégrales du domaine Minkowski (1903) Les Fonctionelles de Minkowski : Gauss-Bonnet Ici: La Topologie !

La Morphologie du Domaine Les équations généralisées de Friedmann : Fonctionelles de Minkowski Le terme « réréaction » : Fonctionelles de Minkowski : Boule en Fer La boule en fer de Newton :

La morphologie du domaine contrôle l’évolution effective Point de Vue Morphologique : La morphologie du domaine contrôle l’évolution effective des champs dans le domaine Mais la topologie peut changer !!

Changement de Topologie

Singularités des Fronts

Comment construire un corps (un domaine) à partir des données observées ? Exemples des données : catalogues des galaxies = une collection de points

Le construction d’un corps I CfA Coma Les contours « excursion »

Le construction d’un corps II Modèle Boole

Morphométrie en fonction de l’échelle 2 1 r r 3 4

Morphometrie d’un Catalogue A P M

Les données limitées au volume 3D P S C z 0,8 Jy : 676 / 661 A P M 100 Mpc/h

Les Fluctuations Morphologiques dans le Catalogue PSCz

Sloan Digital Sky Survey – Sample 12 150 000 galaxies

Sloan Digital Sky Survey Région 2 Région 1

Sample 10 Sample 12

Propriétés Intégrales des Modèles Cosmologiques non-homogènes Conclusions Modèle Newtonien : globalement = Modèle Standard au niveau régional : 1) quatuor cosmique ! Q 2) variance cosmique ( Q petit, mais les autres paramètres changent beaucoup ! ) 3) contrôlé par les fonctionelles de Minkowski Modèle relativiste : courbure globale change avec la formation des structures ! <R> / Q

Relation entre la morphologie et la dynamique intégrale Aparté : Relation entre la morphologie du domaine et la dynamique intégrale

Fixer la frontère du domaine S = const dS = r S / |r S |

Espace de Paramètres Complet .

Lisser les Espace Riemannien Ricci-Hamilton-Flow ｇ ｇ （） i j i j K K　　　 （） i j i j

Lisser la Géometrie et la Masse

Preserving the Hamiltonian Constraint 0,3 0,7