CSI 4506: Introduction à l’Intelligence Artificielle Representation et Logique I

Plan des Cours des Deux ou Trois Semaines Suivantes Partie I: Logique Propositionnelle Partie II: Calcul avec Predicats Partie III: Logique Non-Monotonique Partie IV: Preuves de Resolution

Motivation (1) Afin de resoudre les problemes complexes rencontres en Intelligence Artificielle, on a besoin de deux choses: D’un grand montant de connaissances De mechansmes de manipulation de ces connaissances Example, pris de MYCIN: Si le patient a une infection bacteriale cutanee et si des organismes specifiques ne sont pas apparent dans l’analyse sanguine du patuent, alors il y a evidence que l’organisme responsible pour l’infection est le staphylococcus

Motivation (2) Souvent, l’information a encoder dans la base de donnees d’un systeme de productions (example: Un Systeme Expert) prend ses origines dans des assertions descriptives qui sont parfois difficiles a representer naturellement par des structures simples telles que des tableaux de donnees ou des ensembles de nombres Par Exemple: MYCIN doit rapporter et manipuler des ensembles d’assertions.

Survol (1) Dans cette partie du cours, afin de surmonter le probleme de la representation des connaissances, nous utiliserons des langages logiques Definition: Une logique est un Instrument Mathematique qui permet de construire et de manipuler des expressions symboliques. Nous etudierons deux langages de logique traditionnels: La Logique Propositionnelle et Le Calcul a Predicates. Nous nous arreterons brievement sur un langage non-traditionnel: La Logique Non-monotonique.

Survol (2) Dans chaque langage logique etudie, nous: Definirons le langage (Syntaxe) Montrerons la facon don’t il est utilise pour representer des assertions (Semantique) Expliquerons comment des inferences peuvent etre faites d’ensembles d’expressions de ce langage. Discuterons de la maniere dont les assertions peuvent etre deduites d’autres assertions dans ce langage.

La Logique Propositionnelle, P Partie I La Logique Propositionnelle, P

Plan du Cours Terminologie I: Syntaxe Semantique Lois d’Equivalence Formes Normales Regles d’Inference Preuves et Theoremes Terminologie II: Complexite Computationnelle Preuve de theoremes automatisee: Reduction de buts Preuves par contradictions

Terminologie I Propositions: Une assertion qui peut etre vraie ou fausse Formules: la negation d’une proposition, la conjonction ou la disjonction de deux formules, l’implication d’une formule a l’autre, l’equivalence de deux formules. Formule bien Formee (Well-Formed Dormula (wff): Une formule legale. Valeur Logique (Truth Value): La valeur logique (vraie ou fausse) d’une proposition ou d’une formule Interpretation: Le don d’une valeur logique de wffs dans un monde possible. (Voir definition formelle plus tard)

Syntaxe pour P Un ensemble de variables propositionnelles Les connectives: , , , ,  Un ensemble de wffs definies inductivement de la maniere suivante: Les variables propositionnelles A1  A2  … An ou chaquue Ai est une wff A1  A2  … An ou chaque Ai est une wff  A ou A est une wff A  B et A  B ou A et B sont des wffs

Semantique pour P : Tables Logiques B=T B=F A=T T F A=F A  B B=T B=F A=T T A=F F Et Ou A  B B=T B=F A=T T F A=F A A=T F A=F T Implication Non

Lois d’Equivalence (1) Lois d’Elimination: Lois de De Morgan: (A)  A A  B  A  B Lois de De Morgan: (A  B)  A  B (A  B)  A  B Lois de Distributivite: A  (B  C )  (A  B)  (A  C) A  (B  C )  (A  B)  (A  C)

Lois d’Equivalence (2) Lois de Commutativite: Lois d’associativite: A  B  B  A A  B  B  A Lois d’associativite: (A  B)  C  A  (B  C) (A  B)  C  A  (B  C) Loi Contrapositive: A  B  B  A

Formes Normales Il existe souvent plusieures manieres de representer la meme assertion logique: Exemple: P  Q P  Q  (P  Q) Il est necessaire d’etablir une convention La Forme Normale Conjonctive (CNF): Une base de donnees de formules est en CNF si elle est representee comme une conjonction de disjonctions de literaux. La Forme Normale Disjonctive (DNF): Une base de donnees de formules est en CNF si elle est representee comme une conjonction de disjonctions de literaux. Nous travaillerons principalement sur la CNF

Exemples (Ils seront presentes au tableau en classe)

Conversion d’une wff a une CNF 1. Elimination des symboles d’implication 2. Reduction de la portee des symboles de negation: On veut que chaque symbole de negation soit applique a une variable propositionnelle au plus. 3. Distribution des disjonctions 4. Elimination des symboles de conjonction

Regles d’Inference (1) Definition: Un mechanisme par lequel on peut tirer des conclusions. Modus Ponent: A  B A B MP: 1,2 Conjonction B A  B CONJ: 1,2

Regles d’Inference (2) Regle de Resolution A1  ….  Ai  C  Ai+1 …  Am B1  ….  Bj  C  Bj+1 …  Bn A1  …  Am  B1  …  Bn RR: 1,2

Preuves et Theoremes Definition: Une preuve est une sequence d’assertions dans un langage approprie (e.g., P) dans laquelle chaque assertion est un axiome ou la consequence immediate d’une regle d’inferenceet d’une assertion precedente dans la sequence. (Voir exemple en classe) Definition: Chacune des lignes de la preuve est un theoreme du systeme formel.

Terminologie (1) Axiomes: Faits et Regles Interpretation: Assignation de valeurs aux literaux. Model: Une interpretation qui donne la valeur “vrai” a tous les axiomes Regles d’inference justes (sound): Manipulations qui produisent de nouveaux theoremes a partir d’axiomes ou d’ancien theoremes tels que les models des theoremes anciens ou des axiomes sont garantis d’etre des models des nouveaux theoremes

Terminologie (2) Validite: Une wff qui est T (vraie) pour toutes les interpretations possibles est valide. Satisfiabilite: Si la meme interpretation donne a chaque wff d’un ensemble de wffs la valeur T, alors on dit que cette interpretation satisfait l’ensemble de wffs. i.e., un ensemble de wffs est satisfiable s’il a un modele Completude: Une regle d’inference est complete si, etant donne un ensemble de wffs S, la regle peut inferrer toutes les expressions qui decoulent logiquement de S.

Complexite Computationnelle Determiner la satisfiabilite d’une formule arbitraire de P est NP-Complet. i.e., Il est peu probable que la satisfiabilite peut etre determinee en temps Polynomial dans la longueur de la formule. Etant donne que la satifiabilite est difficile a etablir et, si on suppose que nous sommes interesses en des theories qui sont justes et completes, il sera difficile de determiner si une formule abitraire est un theoreme. En realite, cependant, on peu souvent tirer les conclusions qui nous interesse puisque tout ce que l’on vient de dire represente le cas extreme (pire).

Preuve de Theoreme Automatisee en P (1) Reduction de But Example: Prouver R, etant donne: ( P  Q )  R R1 ( S  T )  Q R2 S F1 T F2 P F3 Solution: R  (R1) P, Q  (F3) Q  (R2) S, T  (F1) T  (F2) 

Preuve de Theoreme Automatisee en P (2) Resolution par Refutation (Preuve par Contradiction) 1. Convertir les axiomes en CNF 2. Contredir le But 3. Utiliser la regle d’inference de resolution autant de fois que necessaire jusqu’a ce que vous arriviez a une tautologie ( T  T )  Succes!!! (Un exemple sera montre en classe)